典型構件疲勞微裂紋全壽命預測方法研究

孫志禮，柳溪溪，柴小冬，于 瀛

（東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819）

1 引言

疲勞失效是機械設備中零件的主要失效形式之一，對于電子工程、航空航天、光學、軍事等領域中的設備，要求有較高的精度，而設備中關鍵零件或構件的力學性能和使用壽命，很大程度上受到疲勞產生的微裂紋、微缺陷的影響，某個關鍵構件的失效可能會導致整個設備無法正常工作，進而影響生產，造成經濟損失。因此，為確保機械設備的可靠運行，準確地預測關鍵構件中裂紋形成及擴展壽命，在工業生產中有著重要的意義[1]。

一般情況下，機械結構疲勞失效過程主要分為裂紋形成和裂紋擴展兩個階段，并分別采用不同的方法獨立地分析兩個階段。裂紋形成階段用到的是實驗的方法以及實驗與統計經驗相結合的方法，而裂紋擴展階段主要用到斷裂力學的理論[2]。雖然概念上兩個階段不同，從量上看兩階段的界限模糊不清，計算過程中無法很好地定義兩者之間的界限。斷裂力學模型則無法描述出零件表面微缺陷或裂紋的形成及其發展對宏觀力學性能的影響。實際上，從損傷力學的角度來看，裂紋形成、裂紋擴展是連續損傷演化的過程，可以將兩個階段統一起來研究。應用損傷力學，主要研究材料內部微缺陷的產生及發展所引起的宏觀上的力學效應，其理論描述了由于微裂紋的發展導致材料破壞的過程和規律。目前，已有學者根據損傷力學相關理論研究出將裂紋萌生與裂紋擴展統一計算的模型，并且已經應用在了一些領域里[3-5]。但這些模型普遍應用的范圍較窄，并且沒有給出微觀損傷過程中單個單元損傷的演化。

針對現有方法的不足，根據損傷力學理論以及有限元方法，構建求解疲勞壽命的統一模型，計算過程中引入了附加載荷法[6]，通過連續計算損傷后各階段的剛度矩陣，分析了微觀上單元損傷的劣化過程，同時簡化了計算過程，給出了疲勞微裂紋損傷模型，并通過理論計算結果與試驗結果做對比，驗證了方法的可行性。

2 模型的建立

根據損傷力學理論建立疲勞壽命計算模型的基本思路為：選取合適的損傷變量實現對材料微結構劣化過程的描述；建立損傷演化方程，反映材料內部損傷的變化規律；建立損傷本構方程，求解計入損傷后的應力場、位移場、應變場[7]。

2.1 損傷因子及損傷演化方程的引入

損傷力學中以損傷因子D來反映材料的劣化過程[8]：

式中：E—無損狀態的彈性模量；E′—處于損傷狀態的彈性模量。

一般來說，材料無損狀態時D=0，材料完全損傷時D=1。將D的值作為材料破壞與否的判定。

將損傷變量引入到本構方程中：

式中：參數β反映了耦合的程度，取值0≤β≤1。

對于單軸加載的情況，將加載等效為當量損傷驅動力，結合損傷驅動力門檻值，損傷演化方程可表示為[9]：

式中：σmax—受載荷最大時對應的單元等效應力；R—應力比；q—材料常數；α，p—材料參數，由材料的中值疲勞曲線確定；σth0—材料無損狀態的應力門檻值。

2.2 附加載荷的計算

由于損傷的存在，使得材料剛度出現變化，為直觀地反映這一變化，將本構方程中損傷因子存在的部分看作附加力，將其引入到有限元方程中可以得到：

式中：K—總體剛度矩陣；δ—單元節點的位移；f—所施加外力；

式中：Kk—各單元剛度矩陣的擴展矩陣；Dk—各單元的損傷度。

2.3 模型計算過程

結合損傷理論和有限單元法，進行疲勞壽命的計算，取試件初始損傷為，上標代表危險單元的編號，取0時，代表第一個危險單元的計算過程，下標為計算單個危險單元壽命的循環次數，x為單元序號。模型計算過程如下：

（1）對所選試件進行靜力分析，得到各單元等效應力，將等效應力最大的單元作為危險單元，記最大等效應力為σMe。

（3）根據危險單元的損傷步長確定各單元的損傷步長：

（4）由步驟（1）～（3），可得危險單元前進一個步長下各單元損傷度的大小

（5）由附加載荷法計算各單元的等效應力，得到危險單元的等效應力 σ0Me1，重復步驟（2）～（4），直至 D0（0）=1 為止，此時危險單元完全破壞，危險單元壽命為：

N0即為裂紋萌生壽命，由步驟（1）～（5）循環已經得到了各單元損傷度D0（x），選取損傷度次小的單元進行壽命計算，依次得到其余危險單元的壽命，直至試件發生斷裂，裂紋形成與擴展總體壽命為

式中：L—危險單元的序號。

3 程序的編寫流程

采用matlab軟件對計算過程進行編程，程序的設計流程，如圖1所示。

圖1整體計算流程Fig．1 The Whole Calculation Process

圖1 中初始條件包括材料的參數以及對所分析試件有限元模型網格劃分后各單元編號和各節點坐標。D為危險單元損傷度。輸出結果包括試件壽命，單元破壞的順序及編號。

4 損傷模型的驗證

4.1 有限元模型及其相關參數

以文獻[10]中疲勞試驗數據為依據，算例采用LY4高強度鋁合金鋼板中的兩種試件，對試件軸向加載，試驗頻率為（110～130）Hz。試件1材料參數及應力比，如表1所示。

建立相應模型1，網格劃分，如圖2所示。

圖2 模型1的網格劃分Fig．2 Meshing of the First Model

將缺口處的網格進行細化分，將劃分結果以及材料參數導入程序中進行計算，得到的第一個危險單元為972號單元，位于缺口邊緣位置。

模型2的材料參數及應力比，如表2所示。建立相應的模型2，網格劃分，如圖3所示。

表2 試件2的損傷參數表及應力比Tab.2 The Damage Parameter and Stress Ratio of Second Sample

圖3 模型2的網格劃分Fig．3 Meshing of the Second Model

同樣，在寬度較小的區域進行網格的細劃分，第一個危險單元為1406號單元，出現在寬度最小的邊緣位置。

4.2 單元的損傷演化分析

為分析單個單元等效應力變化，以模型1的計算為例，根據危險單元壽命的計算結果，列出各步長對應的載荷循環次數，以第一個危險單元為研究對象，在最大應力為150MPa時計算得到972號單元的損傷演化，如圖4所示。

圖4 各損傷步長對應的載荷循環次數Fig．4 The Frequence of Cyclic Loading in Every Step

由圖4可見，載荷循環次數呈現為先增大后減小的趨勢，在材料參數及加載確定的情況下，其數值與單元等效應力和損傷度有關。當步長前進到18的時候，開始出現波動，初步認為出現波動的原因是對應的載荷出現波動，由此觀察各損傷步長下載荷的變化圖形，如圖5所示。

圖5 各損傷步長下對應危險單元的等效應力Fig．5 The Equivalent Stress of Dangerous Element in Every Step

由圖5可見，步長前進到18后，危險單元等效應力出現波動，驗證了圖4載荷循環次數的波動。此時認為危險單元在前18次循環作為主要承載力的單元，而18次循環后，由于損傷累積，承載能力相對其它單元較快減小，微觀上，與相近單元交替作為主要承載力的單元。循環35次后，危險單元承載的力急劇減小，（35～100）次循環間，承載力逐步減為0，表明危險單元損傷因子累積為1后破壞，失去承載能力，由此描述了試件微結構的損傷演化過程。

4.3 計算結果的對比

根據式（10），計算不同載荷條件下試件的總體壽命，計算結果，如表3所示。

表3 試件1疲勞壽命的計算結果Tab.3 The Calculated Results of the First Sample’s Fatigue Life

由表3可見，試件1的疲勞壽命隨所施加載荷的增大而減小。同樣計算得到試件2的疲勞壽命，并將計算結果與試驗結果作對比，繪制成曲線圖，如圖6、圖7所示（圖中虛線代表的是由試驗數據擬合的計算結果，點代表的是試驗點，實線為應用計算模型計算得到的結果）。

圖6 試件1計算結果與試驗結果的對比Fig．6 Comparison of Calculated and Experimental Results of First Sample

圖7 試件2計算結果與試驗結果的對比Fig．7 Comparison of Calculated and Experimental Results of Second Sample

由圖6、圖7可見，試件的疲勞壽命均隨所施加載荷的增大而減小，計算結果與試驗結果存在誤差，誤差的出現是計算過程中損傷參數的確定存在一定的偏差，也可能為試驗本身存在誤差。進一步計算相對誤差在10%以內，在可接受范圍內，可視為計算結果與試驗結果基本吻合，驗證了疲勞裂紋損傷模型的正確性；通過采用多個試件進行計算驗證，說明了計算模型具有較好的適用性。

5 結論

應用損傷力學理論建立疲勞裂紋損傷模型，以LY4鋁合金板材為例進行裂紋萌生及擴展壽命計算，通過對比試驗結果分析，得出以下結論：

（1）單個單元在損傷演化過程中，等效應力呈現為先增大后減小的趨勢，對于金屬材料，單元的等效應力在材料損傷過程會呈現一定的跳動變化，最后逐漸減為0，而單元的承載能力則一直呈衰減趨勢。

（2）兩組試件的疲勞壽命均隨所施加載荷的增大呈減小的趨勢。

（3）將統一模型應用到軸向加載的金屬板件上，誤差在可接受范圍內，可以準確地預估單軸加載板件的壽命，對于研究金屬材料微觀尺度上損傷演化具有重要的參考意義。

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