應力水平對橋機金屬結構優化及可靠性的影響

陶元芳，葉青林，范小寧，師 瑋

（太原科技大學 機械工程學院，山西 太原 030024）

1 引言

橋機金屬結構優化設計往往只追求結構輕量化，其最優解常常把強度、剛度和穩定性的許用值用到極限，這樣做不能確保結構是否安全，而工程設計人員一般都留有一定的設計裕度[1]。而實際工程設計中，一般留有一定的安全裕度，而不采用優化設計的最優解。引入了應力水平來定量的衡量設計裕度，如式（1）所示，用可靠度來衡量結構是否安全。通過采用不同的設計裕度，分別對橋機金屬結構進行優化設計，并對優化結果進行可靠性分析，研究了應力水平對橋機金屬結構優化設計及可靠性的影響。

式中：σ—廣義設計應力，表示危險截面驗算點強度、剛度、穩定性的實際值；［σ］—廣義許用應力，表示強度許用值、剛度許用值、穩定性許用值；η—廣義應力水平，表示設計時廣義許用應力的最大使用比例。

2 橋機金屬結構的優化設計模型

2.1 設計變量

圖1 主梁、端梁截面簡圖Fig.1 The Section Diagram of Main Girder and End Girder

以主梁和端梁截面參數作為設計變量，如圖1所示，共有12個設計變量：主梁翼緣板寬度B、主梁上翼緣板厚度d1、主梁下翼緣板厚度d2、主梁主腹板厚度d3、主梁副腹板厚度d4、主梁腹板高度H，端梁上翼緣板厚度d5、端梁下翼緣板厚度d6、端梁左腹板厚度 d7、端梁右腹板厚度d8、端梁腹板高度H1。定義向量X為所有設計變量組成的向量，則：X=（d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）

2.2 約束條件

2.2.1 主梁約束條件

設垂直載荷與水平載荷在主梁第i（i=1，2，…，6）個驗算點的應力分別為 σix、σiy。

（1）靜強度約束。主梁跨中①點最大自由彎曲正應力約束：

主梁跨中②點最大約束彎曲正應力約束：主梁跨端③點最大切應力約束：

式中：Fc1—腹板上的垂直剪切力；Tn—水平慣性力引起的扭矩；hd—主梁跨端處腹板高度；A0—主梁跨端截面面積。

④點同時有約束彎曲和約束扭轉：

（2）疲勞強度約束，起重機整機工作級別A5以上對應結構工作基本E4以上要進行疲勞強度校核[2]。

主腹板受拉翼緣焊縫⑤點疲勞強度約束：

式中：［σr］—疲勞許用應力與工作級別有關。

大隔板下端與腹板連接的焊縫⑥點疲勞強度約束：

式中：σ6max、τ6max—載荷組合A計算的大隔板下端與腹板相連接

的焊縫存在較大的拉應力和切應力。

（3）主梁剛度約束，主梁跨中靜撓度約束：

式中：ΣP—移動集中載荷之和；S—橋架跨度；b—小車輪距；［YS］—許用靜撓度。

主梁垂直動剛度約束，以滿載小車位于跨中時產生的垂直自振頻率來表征橋架主梁的動剛度。

式中：y0—額定起升載荷點產生的靜位移；λ0—額定起升載荷對鋼絲繩產生的靜位移；β—結構質量影響系數；［fV］—自振頻率控制值，一般可取2MHz。

（4）主梁穩定性約束，主梁整體為穩定性要求高寬比不超過3。

2.2.2 端梁約束條件

（1）靜強度約束，1-1截面應力約束。

式中：σ（1-1）x、σ（1-1）y—垂直載荷與水平載荷在 1-1 截面角點的應力。

2-2截面主、端梁搭接處應力約束：

式中：σ2-2x、σ2-2y—垂直載荷與水平載荷在2-2截面角點的應力。

3-3截面由垂直載荷作用的剪力在腹板上產生的剪應力：

式中：Fdc—3-3截面垂直剪切力；

Sdx—驗算點以上截面對x軸的靜距。

（2）穩定性約束，端梁整體為穩定性要求高寬比不超過3。

（3）工藝尺寸約束。

圖2 端梁截面示意圖Fig.2 The Section Diagram of End Grider

2.3 目標函數

以橋機金屬結構的質量作為目標函數，對于雙梁橋機金屬結構，可按下式計算：f（X）=2（G主梁+G端梁） （16）式中：G主梁—一根主梁的質量；G端梁—一根端梁的質量。

2.4 優化算法

粒子群算法本身是一種基于群智能的隨機無約束優化算法，但是通過結合懲罰函數法對粒子群算法進行改進可以有效解決約束優化問題，并且這種算法實現容易，精度高，收斂快[3]。

3 橋機金屬結構的可靠性分析

3.1 不確定因素及其分布統計

影響橋機金屬結構可靠度的不確定因素主要包括：起升載荷的不確定性，材料參數的不確定性，加工制造過程引起的幾何尺寸的不確定性等。在隨機可靠性分析中，可用概率模型來描述不確定性因素[4]。定義表征影響橋機結構可靠性的不確定性的基本隨機變量為 X′，則：X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）

3.1.1 起升載荷的不確定性模型

橋式起重機的起升載荷可認為近似服從截尾正態分布，一些服從威布爾分布規律的載荷在一定條件下也可以用正態分布來近似[3]。起升載荷 P～N（μp，σ2p）且 P?［0，PQ］。其中，μp為起升載荷均值，μp=aPQ；σp為起升載荷標準差，σp=bμp；PQ為額定起升載荷；a、b為起升載荷均值系數、起升載荷變異系數，與起重機金屬結構工作級別有關，可以根據實測數據或者經驗值推算得到。

3.1.2 材料參數的不確定性

（1）材料的屈服極限。起重機金屬結構常使用塑性材料Q235和Q345，用達到屈服極限強度來表征材料發生破壞。在做可靠性分析或設計時，需要對所用的鋼材做實驗來估計材料屈服極限的分布，如沒有實驗數據，可近似認為材料的強度基本可用正態分布來描述，可以取屈服極限均值=1.1σs，變異系數[5]Vs=0.07。對于Q235，屈服極限均值=258.5MPa，標準差Sσ=18.095MPa。（2）材料的彈性模量。鋼材的彈性模量可以認為服從正態分布。鋼材的彈性模量均值=2.06×105MPa，變異系數 VE=0.03，標準差 SE=VE6.18×103MPa。（3）材料板厚的不確定性。GB/T 709—2006 對熱軋鋼板的板厚的允許偏差進行了詳細規定，然而實際工程上應用的鋼板卻與標準不符。我國絕大部分起重機所用的鋼板使用負偏差，有些負偏差甚至達到公稱厚度的7%[6]。為了研究方便，以正態分布來描述鋼板板厚的分布，設鋼板厚度的公稱尺寸為δ，上偏差為0，下偏差為 Δδ，根據“3σ”原則，板厚的均值δˉ=（δ-Δδ）/2，標準差 Sσ=Δδ/6。由此可以得到主梁和端梁截面參數（d1～d8）的分布規律。

3.1.3 加工過程引起的幾何尺寸的不確定性

一般認為由加工制造過程引起的幾何尺寸的不確定性服從正態分布，仍舊按照“3σ”原則，根據公稱尺寸和上下偏差求出各幾何尺寸的最大值 xmax和最小值 xmin，則均值xˉ=（xmax+xmin）/2，標準差Sx=（xmax-xmin）/6。由此可以得到主梁和端梁截面參數B，H，B1，H1的分布。

3.2 橋機結構主要失效模式

根據橋機金屬結構的載荷特點和優化設計數學模型，提出橋機金屬結構系統3S（（強度、剛度、穩定性）失效準則，根據失效準則可以確定相應的失效模式[7]。（1）主梁靜強度失效：主梁危險點①～④處超過許用值，則認為失效，共有四種失效模式。（2）主梁疲勞強度失效：主梁危險點⑤、⑥處應力超過疲勞應力許用值，則認為失效，共有兩種失效模式。（3）主梁剛度失效:主梁跨中靜撓度達到許用靜撓度，或主梁滿載自振頻率未達到自振頻率控制值，共有兩種失效模式。（4）主梁穩定性失效：金屬結構高寬比超過3，則認為失效，共有一種失效模式。（5）端梁強度失效：端梁危險截面1-1、2-2、3-3處應力超過許用值，則認為失效，共有三種失效模式。（6）端梁穩定性失效準則：端梁高寬比超過3，則認為失效，共有一種失效模式。

橋機金屬結構的各失效模式均以是否滿足3S（強度、剛度、穩定性）要求來判定，與優化設計中的約束條件一致。優化設計中的第 k（k=1，2，…，13）個約束條件 gk（X）取應力水平 η=1，同時把確定性變量變成服從一定概率分布的不確定變量[8]，可轉化成相應的失效模式的功能函數。橋機金屬結構失效樹，如圖3所示。橋機金屬結構各失效模式間是“或門”關系，即任一失效模式的發生均會引起橋機金屬結構的失效，且各基本事件Gk（X）＞0（k=1，2，…，13）之間存在相關性。

圖3 橋機金屬結構失效樹Fig．3 Fault Tree of Overhead Traveling Crane Metal Structure

3.3 橋機金屬結構可靠性分析方法

結構系統一般存在多種失效模式，而且各失效模式之間之間存在相關性。此外，結構各失效模式極限狀態方程一般為隱式的非線性方程，不利于直接求解。Monte Carlo法是一種被公認的相對精確且簡單通用的可靠性分析方法[9-10]。借助計算機可以產生服從任意概率分布的隨機數，且模擬次數N越大，失效概率Pf的模擬值與真實值的誤差越小，一般建議95%的置信度保證Monte Carlo法的誤差足夠小，N必須滿足N≥100/Pf[10]。

4 實例分析

為了研究應力水平這一設計裕度對橋機金屬結構優化設計及可靠性的影響，利用面向對象的軟件開發方法，以VC++6．0為開發工具，編制了橋機金屬結構優化設計和可靠性分析軟件。利用編制的軟件，通過改變應力水平，對橋機金屬結構進行優化設計，然后對優化結果采用Monte Carlo法進行可靠性分析，記錄數據，繪制曲線變化曲線。實例分析一：80t/28m中軌雙梁橋機金屬結構，工作級別 E7，影響結構可靠度的基本隨機變量 X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）T各參數均服從正態分布，分布參數分別為：起升載荷均值系數0．80，變異系數0．30，起升載荷均值 E（Q）=0．8×80t=64t，起升載荷標準差 σ（Q）=0．3×E（Q）=19．2t；材料為 Q235，屈服極限均值 σs=258．5MPa，標準差 Sσ=18．095MPa；抗彎彈性模量均值 E=2．06×105MPa，標準差 SE=6．18×103MPa；鋼板厚度 d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8正偏差取 0，負偏差取0．5mm；截面參數 B，H，B1，H1正偏差取 5mm，負偏差取 5mm。應力水平從70%到120%間隔5%進行一次優化設計，將得到的最優解采用蒙特卡羅法計算可靠度。保證蒙特卡羅法求解可靠度的精度達到10-4，模擬次數應為N=106，將采集的樣本數據記錄，如表1所示。根據表1中樣本數據繪制變化曲線，如圖4所示。

表1 80t/28m（E7）橋機金屬結構樣本數據Tab.1 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data

圖4 80t/28m（E7）橋機金屬結構樣本數據變化曲線Fig．4 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane MetalStructure Sample Data Changing Curve

表2 80t/28m（E7）橋機金屬結構樣本數據Tab.2 80t/28m（E7）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data

實例分析二：80t/28m中軌雙梁橋式起重機，工作級別E5，影響結構可靠度的基本隨機變量 X′=（P，σs，E，B，d1，d2，d3，d4，H，B1，d5，d6，d7，d8，H1）T各參數均服從正態分布，分布參數分別為：起升載荷均值系0.50，變異系數0.50，起升載荷均值E（Q）=0.5×80t=40t，起升載荷標準差 σ（Q）=0.5×E（Q）=20t；其他參數與實例分析一相同。樣本采集方法與實例分析一相同，將采集的樣本數據記錄，如表2所示。根據表2中數據繪制變化曲線，如圖5所示。

圖5 80t/28m（E5）橋機金屬結構樣本數據變化曲線Fig.5 80t/28m（E5）Overhead Traveling Crane Metal Structure Sample Data Changing Curve

5 結論

（1）應力水平與橋機結構的優化設計目標函數（金屬結構重量）近似成線性關系。隨著應力水平的提高，金屬結構重量均可近似線性遞減。（2）隨著應力水平降低，結構的可靠度不斷提高，但提高的幅度越來越小，可分為三個階段：變化較快階段、緩慢變化階段和近似不變階段。在變化較快階段，隨著應力水平的降低，結構的可靠度近似成線性不斷提高；在緩慢變化階段，隨著應力水平的降低，結構的可靠度也在提高，但變化的幅度遠不如變化較快階段；在近似不變階段，隨著應力水平的降低，結構的可靠度的提高量微乎其微幾乎不變，在變化曲線上近似一條無限趨向于1的水平直線，即提高換取較高可靠度的回報率越來越低。（3）不能盲目的追求結構的可靠度而過度的降低應力水平，也不能盲目的追求結構輕量化而過度的提高應力水平。適當的提高應力水平，即留有一定的設計裕度，使結構的可靠度在緩慢變化階段，既可以減輕金屬結構的重量，也可獲得較高的可靠性水平。做起重機的金屬結構設計時，應力水平一般不能超過100%，推薦選90%左右。（4）同等應力水平、相同起重量的橋機金屬結構，工作級別高的可靠度要偏低。做金屬結構設計時，工作級別高的起重機應選擇相對較低的應力水平，即需要留有更大的設計裕度；在其他條件一致的前提下，結構的可靠性主要受工作級別也就是起升載荷分布參數的影響。

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