采用灰色關聯—層次分析法的機床橫梁優化設計

鞠家全，劉傳進，崔德友，邱自學

（1.南通大學 機械工程學院，江蘇 南通 226019；2.南通國盛機電集團有限公司，江蘇 南通 226003）

1 引言

近年來，數控機床正朝著高速、高效、高精方向發展[1]，機床橫梁支撐著滑板、滑座、主軸箱等部件的重量，在機床加工工件過程中，橫梁還承受著來自刀具的銑削力，因此機床橫梁對機床的加工精度、加工產品質量有著重要的影響。因此對橫梁靜動態特性進行研究與分析，以提高其綜合性能是很有必要的。

近年來，國內外眾多學者對機床橫梁進行了深入研究，研究主要集中在橫梁的筋板結構、筋板厚度，橫梁箱體壁厚、橫梁截面尺寸上，采用的方法主要有拓撲優化設計、單因素多目標優化設計、仿生設計等。文獻[1]中對龍門加工中心橫梁進行了4種筋板結構的設計，證明V型筋板結構橫梁是最優設計；文獻[2]中對大型鋁型材龍門加工中心橫梁進行了靜動態特性研究，優化了橫梁截面形狀與筋板布局從而提高橫梁靜動態性能；文獻[3]中對機床橫梁筋板厚度，橫梁外壁厚度進行了研究，從而得到性能較優的橫梁結構；文獻[4-5]中采用仿生學原理優化設計了橫梁內部筋板結構，實現橫梁的優化；文獻[6]中采用靈敏度法對機床橫梁內部筋板厚度進行了多目標優化設計，優化了筋板X、W向及縱向厚度，從而提高橫梁性能。

針對影響橫梁的主要因素筋板結構及筋板厚度對橫梁進行了優化，此外針對橫梁薄弱位置進行了局部結構改進，采用單一變量、多個評斷指標方法，以及灰色關聯—層次分析法篩選最佳的參數組合，從而獲得最合理的橫梁優化結果，為其它大型零部件的設計提供了方法參考。

2 橫梁薄弱位置結構設計

2.1 原橫梁仿真分析

企業現生產的橫梁（原橫梁）為“米”型筋板結構，筋板的厚度為30mm，橫梁材料為HT300。在非工作狀態下，橫梁除了受到自身重力外，在豎直方向上承受著滑座、滑枕、主軸箱等零部件的重力，在底部承受著滾珠絲杠座給予橫梁的支撐力，在后側受到液壓鎖緊裝置的壓緊力。對原橫梁進行建模并導入ANSYS中進行仿真分析，分析結果，如圖1所示。其中橫梁質量為13585kg，最大變形量為 36．109μm，一階固有頻率 138．68Hz，最大應力為 4．456MPa。

圖1 原橫梁有限元仿真分析Fig．1 Finite Element Analysis of the Original Crossbeam

以上分析可以發現，橫梁的一階固有頻率滿足實際生產的需求，即不會發生共振現象；此外，橫梁的最大應力只有4．456MPa，遠小于材料的許用應力，因此在后續的設計過程中將橫梁的一階固有頻率和應力作為評估的次要指標。由振型云圖中可知，橫梁形變量最大的位置在橫梁的上導軌面，因此針對橫梁上導面處進行結構設計，以提高其剛性。

2.2 橫梁上導軌面結構設計

橫梁在優化前，其上導軌面下側的支撐筋板為水平設計，如圖2所示。當外載荷施加于導軌面時，橫梁整個上導軌如同懸臂梁結構，這將導致橫梁導軌面的端部受到很大的扭轉彎矩，易使導軌面發生較大的彎曲和扭轉變形。針對這種懸臂梁結構，最常見和有效的改進措施使在懸臂梁下端增加支撐筋板，以克服自身結構的不足。結合橫梁自身結構特點，對上導軌面下側的支撐筋板進行了改進設計，如圖2（b）所示。將下側的支撐筋板傾斜θ角度設計，以降低橫梁形變量。

圖2 上導軌支撐筋板優化前后Fig．2 Before and After Optimization of Supporting Guide Rib Plates

傾斜角度θ的不同對橫梁的各項性能均有影響，如表1所示。在筋板結構，筋板厚度不變的情況下，設計并分析了4種支撐筋板傾斜角度的橫梁，傾斜角度分別是 35°、45°、55°、65°。其中一階固有頻率和最大應力與原橫梁相比基本不變，但是對形變量影響很大，均降到了33μm以下，平均降幅達9．1%，質量降幅不大，但均有不同程度的減輕。

表1 不同傾斜角度導軌仿真分析結果Tab.1 Finite Element Analysis Results of Different Tilt Angle of Guide Rib Plates

為挑選出最佳的傾斜角度，作了傾斜角度與頻率和質量的曲線圖，如圖3所示。由曲線走勢圖可知，隨著角度的逐漸增加：（1）橫梁質量呈先減小后增加趨勢，且在（35～55）°之間降幅緩慢，而在55°以上時呈迅速增加趨勢；（2）橫梁一階固有頻率呈先增加后減小趨勢，且在（35～55）°之間增幅迅速，而在55°以上時呈逐步減小趨勢；（3）傾斜角度在55°時，橫梁質量最輕，一階固有頻率最大。因此，橫梁導軌支撐筋板傾斜55°為最佳方案。

圖3 傾斜角度與頻率、質量關系曲線圖Fig．3 Relationship Between Tilt Angle and Frequency&Weight

3 橫梁筋板結構設計

橫梁內部筋板結構優化設計是橫梁、立柱、工作臺等大型零部件優化設計的基本方法，筋板結構的不同對零件的最大變形量、固有頻率、質量、應力均有不同程度的影響。以筋板厚度和傾斜角度為不變量，如圖4所示。以筋板結構為單一變量，除了原橫梁“米”型筋板結構外，另外針對橫梁設計了六種筋板結構，分別是：“V”型、“菱”型、“O”型、“井”型、“M”型、“十菱”型。

圖4 六種筋板結構Fig．4 Six Kinds of Stiffened Plate Structures

對上述7種筋板結構的橫梁進行仿真分析，結果，如表2所示。對分析結果進行如下處理：

按質量由輕到重順序排序：

M型＜菱型＜井型＜O型＜米型＜V型＜十菱型

按形變量由小到大順序排序：

十菱型＜菱型＜井型＜米型＜O型=V型＜M型

按一階固有頻率由大到小順序排序：

井型＜M型＜O型＜米型＜菱型＜十菱型＜V型

由以上分析可發現：雖然“M”型橫梁的質量和一階固有頻率均排在前列，但是形變量卻是最大的，因此將其排除；“十菱”型的橫梁質量最重且遠大于原橫梁質量，因此將其排除；“菱”型的橫梁雖然質量和頻率均排在第二位，但是其固有頻率比原橫梁小，因此將其剔除。排除以上結構的橫梁，只有“井”型橫梁的綜合性能最優，各性能排序分別在第三、第三、第一位，因此，“井”型橫梁筋板結構才是最佳結構方案。

表2 不同筋板結構橫梁仿真分析結果Tab.2 Analysis Results of Different Stiffened Plate Structures of Crossbeam

4 橫梁筋板厚度設計

4.1 不同筋板厚度設計

由第2、第3節的分析得到“井”型筋板，傾斜角度55°為最佳的參數組合，為挑選出合適的橫梁筋板厚度，對“井-55°”型橫梁進行了不同筋板厚度的設計與分析，其結果如表3所示。

表3 不同筋板厚度橫梁仿真分析結果Tab.3 Analysis Results of Different Thickness of Stiffened Plates

從表中數據可以發現，每一種筋板厚度橫梁的各項性能均有優劣，很難如筋板結構、傾斜角度選擇優方案一樣從直觀的數據判斷中挑選出最佳的筋板厚度方案。因此，針對表3中的數據量少，評斷指標多的情況，選擇灰色關聯，層次分析法對筋板厚度優選方案進行分析選取。

4.2 灰色關聯—層次分析法

（1）將橫梁四個評斷指標轉化為矩陣A：

其中對于越大越優的評斷指標（一階固有頻率）[7-8]：

對于越小越優的評斷指標（質量、形變量、應力）[7-8]：

式中：分辨系數 ρ=0．5，i=1，2，…，6；j=1，2，3，4。

（5）采用層次分析法中成對比較法，利用9級比例標尺確定各個評斷指標間的相對重要程度[9]，構建矩陣B：

（6）層次分析法權重的計算[9]

式中：γj=γj1ω1+γj2ω2+γj3ω3+γj4ω4，j=1，2，3，4。

4.3 優選方案確定

根據式（1）～式（5），計算得關聯系數矩陣ξ：

根據式（6）構建的評斷指標相對重要程度矩陣B：

由式（7）、式（8）計算的層次分析法權重ω：

根據式（9）計算的各個方案的關聯重要程度，為便于后續方案的篩選，將矩陣γ中的數據以表格形式表示，如表4所示。

表4 各個方案的關聯度Tab.4 Correlation Degree of Each Scheme

由表4可知：“井-55°-15mm”關聯度最大，因此擬將“井-55°-15mm”方案作為最佳方案，并與原橫梁各項性能進行比較，如表5所示。

表5 優化前后比較Tab.5 Compare Between Before and After Optimization

由以上比較可以發現：優化后橫梁的質量減輕了751kg，形變量減少了3.6%，一階固有頻率增加了3.5%，雖然應力有所增加，但是其值遠遠小于材料HT300的許用應力，不影響整體的性能。綜合上述分析，“井-55°-15mm”的參數組合方案是最優方案，優化后橫梁的各項性能均有所提高，其中質量減輕最為明顯。

5 結論

對原橫梁進行建模與分析，以橫梁筋板結構、筋板厚度、薄弱位置的結構作為優化的目標，采用單一變量，多評斷指標進行參數的選擇，結合灰色關聯與層次分析法評定最優方案，結果表明：（1）橫梁最薄弱位置位于上導軌面，對上導軌面下側的支撐筋板進行傾斜設計，傾斜設計后橫梁的形變量平均降低了9.1%，經分析支撐筋板傾斜55°是最優設計方案。對橫梁筋板結構進行優化設計，經分析后橫梁“井”型筋板設計最優；對不同筋板厚度的橫梁進行設計與分析，其中筋板厚15mm為最優設計。（2）優化后橫梁最佳參數組合為“井-15mm-55°”，其中橫梁質量減輕最為明顯，減輕了751kg，形變量減少了3.6%，一階固有頻率增加了3.5%，橫梁各項性能得到有效提高。（3）采用灰色關聯與層次分析法對仿真數據進行分析處理，實現對數據量小，評斷指標多的工程類問題的解決，拓展了兩種方法的應用領域，為其它零部件的設計提供了有益的方法指導。

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