Matlab在函數輔助學習中的應用

陳建宇

（石家莊市第一中學，河北石家莊050010）

0 引言

二次函數圖像和斜面平拋運動性質的知識點是高中數學、物理學習的重要內容，傳統的基于教材的學習方式無法呈現出函數的運動和變化過程，更難以繪制出準確的函數圖像，使得函數圖像與函數性質之間的關系難以理解[1]。為此，采用基于軟件工具的圖形化顯示研究方法，輔助直觀深入理解這些內容。國際上，數學類軟件工具主要有Matlab、Mathematica和Maple，其中Matlab是美國Math Works公司出品的數學軟件，因其提供計算、圖形和文字處理的統一環境而深受中學生歡迎[2]。利用其數學分析以及可視化性能的優越性，可以將抽象的問題形象化，從而加深對問題相關結論的理解，使學習內容之間的聯系更為突出。

1 二次函數圖像性質研究

二次函數的定義是一個二次多項式，一般式為=2+ +(≠0)，其中 為二次項系數且不等于零。在二次函數性質中，開口方向、大小與二次項系數的關系可以通過Matlab編程調整參數，實現一次性繪制多組二次項系數的二次函數曲線[3-5]。主要過程為：針對需要研究的問題確定參數，實現含參數變量的二次函數，確定繪圖范圍，按給定參數值調用繪圖函數，改變參數值循環執行上述步驟。為簡化問題，固定 和 的值，設定5組不同的 值，如表1所示。

表1二次函數參數設置

按照參數設置，采用Matlab的繪圖函數，可一次繪制出5組二次函數曲線，如圖1所示。

圖1二次函數圖像

從圖1中可以看出，＞0時，二次函數圖像開口向上；＜0時，二次函數圖像開口向下；隨著||的增大，二次函數圖像開口變大，隨著||的減小，二次函數圖像開口變小。

Matlab主要程序如下[3]：

for=[1,2,3,4,5]；%循環 5組

plot(,)； %繪制函數曲線

grid on

axis([-6,6,0,30])；

pause(1) %間隔1 s

hold on

end

2 斜面平拋運動性質研究

利用上述二次函數圖像性質研究方法可以進一步研究斜面平拋運動性質問題，在理論證明末速度方向與平拋初速度無關的基礎上，采用Matlab編程顯示不同平拋初速度情況下的拋物軌跡，計算并繪制拋物落點的速度方向，提供形象化研究支撐[3-5]。

（1）原理證明

設 為位移偏向角，由于小球從斜面頂端平拋且落在斜面上，這里 也就等于斜面與水平面夾角，故 為定值；

為速度偏向角；_0是平拋初速度，_是末速度在豎直方向上的分量；、分別代表水平、豎直方向位移；表示平拋全過程所用時間，證明如下：

式中，因 為定值，所以 為定值，末速度方向始終相同，與平拋初速度無關。

（2）斜面及拋物軌跡繪制

在Matlab中通過繪制一次函數模擬斜面，使之過定點（0，50），可根據一次函數斜率大小調整斜面陡緩。在Matlab中通過繪制二次函數 =2+ + 圖像中部分曲線模擬小球由斜面頂端平拋下落至斜面的運動軌跡，通過固定一次項系數和常數項 的值，將二次函數對稱軸鎖定在 軸處，并使之過定點（0，50），這樣可保證小球從斜面頂端平拋，圖像中對稱軸右半段單調遞減部分為小球由斜面頂端平拋下落的運動軌跡，計算與繪圖方法與二次函數相同。

（3）參數調整

可根據二次項系數（＜0）絕對值大小的改變模擬該實驗中不同的平拋初速度：隨著||的增大，二次函數圖像開口變大，平拋初速度增大；||減小，圖像開口變小，平拋初速度減小。為簡化問題，固定 和 的值，設定3組不同的平拋二次項系數模擬不同的平拋初速度，如表2所示。

表2平拋二次函數參數設置

（4）末速度方向繪制

①利用Matlab中求解方程組的功能，計算出小球在斜面上落點處的坐標；

②根據物理學中常用的微元法，可以從小球在斜面上的落點處附近的二次函數圖像上取間隔極近的2點，利用這2點求出落點處的一條二次函數圖像切線，即為末速度方向。

這里需要說明的是，由于小球必須從斜面頂端拋下，才能使此推論成立，所以上文所述一次函數與二次函數的交點會出現2個，即平拋初始位置和落點處，由此引發的問題是：若僅依據兩函數交點坐標繪制切線，那么其中一條將始終過點（0，50），而這條切線沒有實際意義。

為了排除這個問題，對Matlab求解方程組時用到的Solve函數進行深入分析，發現其輸出是一個數組，確知2組解的話，取出其中某一組應是[(1)，(1)]、[(2)，(2)]，所以可以直接取[(2)，(2)]進行切線的計算和繪制，運行結果如圖2所示。

圖2斜面平拋運動

圖2中，虛線即繪制出的切線，表示小球末速度方向，可以看出，隨著平拋初速度的增大，小球落在斜面上的位置不斷變化，但切線相互平行，末速度方向始終不變。

Matlab主要程序如下：

for=[-0.05,-0.02,-0.01]；

%繪制平拋曲線%

plot(,1,'',1,,'',,,'black')；

grid on

hold on

%繪制落點切線%

[,]=solve([num2str(a),'? ? +50-=0'],'50-0.5? -=0','','')；

plot(,,'-.') %繪制切線

end

3 結束語

利用Matlab進行函數及應用問題的學習探究，可以化抽象為具體，為培養數形結合的數學思想提供方便易用的工具。除本文主要利用的Matlab對函數性質分析的圖形化顯示和求解方程組的功能外，還探索了其他諸如繪制馬鞍形曲線和三角函數曲線等人們難以理解和繪制的圖像，體會到了其優越的可視化性能。

[1]董雪瑤,鄭春香.MATLAB在高中數學研究性學習中的應用研究[J].信息技術與信息化,2016,9(9):92-95.

[2]李冰,吳迪.將MATLAB軟件在高中數學教學中進行推廣的幾點設想[J].計算機教學與教育信息化,2014,10(5):3033-3036.

[3]劉浩,韓晶.MATLAB R2012a完全自學一本通[M].北京:電子工業出版社,2013.

[4]王亞芳,等.MATLAB仿真及電子信息應用[M].北京:人民郵電出版社,2011.

[5]王中鮮,等.MATLAB建模與仿真應用教程(第2版)[M].北京:機械工業出版社,2014.