迭代的穩(wěn)健超高維變量篩選

何曉群，馬學(xué)俊

（1.安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 725000；2.中國人民大學(xué) 應(yīng)用統(tǒng)計科學(xué)研究中心,北京100872；3.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，超高維數(shù)據(jù)越來越多出現(xiàn)在遺傳、基因芯片、磁共振成像、信用評分等領(lǐng)域。由于計算成本、統(tǒng)計精度和算法穩(wěn)定性等原因，傳統(tǒng)的處理高維的方法表現(xiàn)并不理想。為此，F(xiàn)an和Lv(2008)[1]基于Pearson相關(guān)系數(shù)提出SIS(Sure Independent Screening)。但SIS也存在明顯的缺點(diǎn)：（1）不能刻畫自變量和因變量非線性的關(guān)系；（2）對異常值比較敏感。這個問題最早由Garher和Guddat在討論Fan和Lv(2008)[1]的SIS文章討論中提出，即SIS對于模型假設(shè)和異常值(Outliers)不穩(wěn)健。SIS自2008年提出，目前已從線性模型推廣到廣義線性模型、可加模型、變系數(shù)模型和模型釋放(Model-free)等(Fan等2009,2010,2011,2014；Liu等2014)[2-6]。本文主要研究模型釋放的超高維變量篩選。

模型釋放不需要假設(shè)具體模型。Zhu等(2011)[7]提出SIRS研究了模型假設(shè)的釋放，其通過離散化Y實(shí)現(xiàn)釋放模型假設(shè)的效果。Li和Wei等(2012)[8]基于距離相關(guān)系數(shù)提出DC-SIS，該方法釋放了模型的假設(shè)，并且也適合組變量的變量篩選。Li等(2012)[9]基于Kendall相關(guān)系數(shù)提出RRCS(Robust Rank Correlation Screening)，該方法對于厚尾分布、離群點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)具有一定的抵抗力。Shao和Zhang(2014)[10]基于鞅差距離(Martingle Difference Correlation)提出MDC-SIS方法。Ma和Zhang(2016)[11]基于分位數(shù)相關(guān)系數(shù)(Quantile Correlation)提出一種新的方法(QC-SIS)。如果不重要的自變量和重要的自變量高度相關(guān)，而其他重要變量和因變量的關(guān)系比較弱時，或者存在某一些自變量單獨(dú)對因變量的影響不大，而他們聯(lián)合起來對因變量影響比較顯著；那么前面提到方法將不能勝任。Fan和Lv(2008)[1]提出迭代的SIS方法，即ISIS，但它不能解決自變量和因變量之間的非線性，且對異常值比較敏感。Zhu等(2012)[4]提出迭代的SIRS，即ISIRS。該方法可以解決非線性問題和異常值問題，但利用對數(shù)據(jù)的信息利用不充分。Zhong和Zhu(2014)[12]提出迭代(Iterative)的DC-SIS，即DC-ISIS。該方法對于異常值比較敏感。如何更加有效的利用數(shù)據(jù)，實(shí)施迭代穩(wěn)健的超維高模型釋放變量篩選方法是目前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

本文在Ma和Zhang(2016)[11]的研究基礎(chǔ)上提出迭代(Iterative)的QC-SIS，即QC-ISIS。相比ISIS，提出的方法更穩(wěn)健，并且可以刻畫自變量和因變量的非線性關(guān)系。相比ISIRS和DC-ISIS，提出的方法更加有效。因?yàn)镼C-ISIS充分利用了數(shù)據(jù)的信息，即不僅利用了因變量的離散信息和自變量信息，也利用了因變量的分位數(shù)信息。而DC-ISIS利用距離相關(guān)系數(shù)，對異常值不穩(wěn)健。

1 方法

1.1 基于分位數(shù)相關(guān)系數(shù)的變量篩選

假設(shè)Y是因變量，X=(X1,X2,…,Xp)T是p維自變量。F(y|x)=P(Y|X=x)表示給定x下X1的條件分布。為了方便，作下記號：

A={k,F(y|x)依賴于Xk}

I={k,F(y|x)不依賴于Xk}

Ma和Zhang(2016)[11]利用分位數(shù)相關(guān)系數(shù)提出的QC-SIS是求下面集合：

={1≤k≤p,排在最靠前面的d個}

其中d=[n/log(n)]或n-1等([a]表示是a的整數(shù)部分)，wk的定義是：

其中假設(shè)Xk已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，即均值為0，方差為1。0＜τ1≤τ2≤…≤τn＜1是分位點(diǎn)，一般設(shè)

1.2 迭代的QC-SIS

與Zhu等(2011)[7]和Zhong和Zhu(2014)[12]類似，本文采用下面迭代算法：給定d。

第一步：利用QC-SIS得到選擇前p1＜d個自變量集合，記為1；對應(yīng)的自變量集合記為XA1。第二步：使用下面方法得到新的自變量：

第三步：重復(fù)第二步可以得到3、4等，直到d=||1||+||2||+ … +||||。其中 ||H||表示H的條件數(shù)。或者說d=p1+p2+…+pL。

需要注意的是：

（1）d一般是事前給定的，如[n/log(n)]。

（2）QC-ISIS之所以可以解決重要變量和因變量的關(guān)系比較弱或者聯(lián)合自變量變量篩選問題，因?yàn)榈诙街袑ψ宰兞窟M(jìn)行了變換使得信息不會重復(fù)，即與是正交的，因?yàn)椋?/p>

（3）L的選擇具有一定的主觀性。Zhu等(2011)[7]認(rèn)為L=2且p1=d/2；Zhong和Zhu(2014)[12]建議L=2且p1=5。本文在模擬試驗(yàn)和實(shí)例分析中采用前一個準(zhǔn)則。

2 Monte Carlo模擬

本文將通過數(shù)值模擬評價QC-ISIS的效果。設(shè)置d=[n/log(n)]，n=200，p=2000，重復(fù)模擬1000次。為了評價QC-ISIS與ISIS、ISIRS、DC-ISIS以及它們的非迭代方法，使用如下指標(biāo)：

（1）Bj表示給定d包含Xj被選中的比例。

（2）B表示給定d所有顯著自變量全部被選中的比例。

例1：與Fan和Li（2008）[1]，以及Zhu等（2011）[7]類似，考慮如下的線性模型：

其中β=2-U且U是來自于(0,1)區(qū)間的均勻分布。σ=0.5 ，X～N(0,Σ),Σ=(σij)。其中（1）σii=1，i=1,2,i≠j。ε來自于如下兩種分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為3的t分布。為了比較8種方法對于異常值的敏感程度，本文在自變量X1上隨機(jī)添加r百分比例的異常值

從表 1和表 2，可以看出：（1）QC-SIS、SIS、SIRS和DC-SIS對于X1、X2和X3的效果很好，但對于X4均失效。而QC-ISIS、ISIS、ISIRS和DC-ISIS對X1、X2、X3和X4效果都很好。（2）對于自變量X1、X2和X3的識別，迭代的方法仍優(yōu)于非迭代的方法。其主要原因是第一步?jīng)]有選出的，往往第二步可能被選出。（3）SIS、DC-SIS、ISIS和DC-ISIS對異常值比較敏感，而QC-SIS、SIRS以及它們的迭代方法對于異常值有一定的穩(wěn)健性。（4）無論是否存在異常值時，QC-SIS表現(xiàn)都很好，均優(yōu)于其他方法。綜合來看，QC-ISIS表現(xiàn)優(yōu)于ISIS、ISIRS和DC-ISIS。

表1 例1正態(tài)分布下的模擬結(jié)果

表2 例1 t(3)分布下的模擬結(jié)果

例2：與Zhu等(2011)[7]類似，考慮如下的轉(zhuǎn)換模型：

為了在自變量X1上隨機(jī)添加r百分比例的異常值其設(shè)置與例1一樣。

從表3和表4（見下頁）可以看出：（1）SIS、DC-SIS以及它們的迭代算法不適合轉(zhuǎn)換模型，對異常值比較敏感。（2）對于單個自變量的判斷，QC-SIS優(yōu)于SIRS。（3）對于迭代的算法，QC-ISIS顯著優(yōu)于ISIRS。而非迭代時，它們的差距不會超過5%，而迭代方法幾乎超過10%。綜合來看，對于轉(zhuǎn)換模型，QC-ISIS最好，ISIRS其次，ISIS最差。

3 結(jié)論

本文研究了迭代的QC-SIS。它可以解決不重要的自變量和重要的自變量高度相關(guān)，而其他重要變量和因變量的關(guān)系比較弱；或存在某一些自變量單獨(dú)對因變量的影響不大，而他們聯(lián)合起來對因變量影響比較顯著等問題。從模擬的線性模型和轉(zhuǎn)換模型結(jié)果來看，QC-ISIS優(yōu)于ISIS、ISIRS和DC-ISIS。

表3 例2正態(tài)分布下的模擬結(jié)果

表4 例2 t(3)下的模擬結(jié)果

[1]Fan J,Lv J.Sure Independence Screening for Ultrahigh Dimensional Feature Space[J].Journal of the Royal Statistical Society,Ser.B,2008,70(5).

[2]Fan J,Samworth R,Wu Y.Ultrahigh Dimensional Feature Selection:Beyond the Linear Model[J].Journal of Machine Learning Research,2009,(10).

[3]Fan J,Song R.Sure Independence Screening in Generalized Linear Models With NP-dimensionality[J].The Annals of Statistics,2010,38(6).

[4]Fan J,Feng Y,Song R.Nonparametric Independence Screening in Sparse Ultra-high-dimensional Additive Models[J].Journal of the American Statistical Association,2011,106(494).

[5]Fan J,Ma Y,Dai W.Nonparametric Independence Screening in Sparse Ultra-high-dimensional Varying Coefficient Models[J].Journal of the American Statistical Association,2014,109(507).

[6]Liu J,Li R,Wu S.Feature Selection for Varying Coefficient Models With Ultrahigh-dimensional Covariates[J].Journal of the American Statistical Association,2014,109(505).

[7]Zhu L,Li L,Li R,et al.Model-free Feature Screening for Ultrahigh Dimensional Data[J].Journal of the American Statistical Association,2011,106(496).

[8]Li R,Wei Z,Zhu L.Feature Screening via Distance Correlation Learning[J].Journal of the American Statistical Association,2012,107(499).

[9]Li G,Peng H,Zhang J,et al.Robust Rank Correlation Based Screening[J].The Annals of Statistics,2012,40(3).

[10]Shao X,Zhang J.Martingale Difference Correlation and Its Use in High Dimensional Variable Screening[J].Journal of the American Statistical Association,2014,109(507).

[11]Ma X,Zhang J.Robust Model-free Feature Screening via Quantile Correlation[J].Journal of Multivariate Analysis,2016,(143).

[12]Zhong W,Zhu L.An Iterative Approach to Distance Correlation-based Sure Independence Screening[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2015,85(11).