延期支付下的供應鏈博弈模型

周曦嬌，劉 誠

（中南大學 數學與統計學院，長沙 410012）

0 引言

隨著經濟全球化的到來，企業之間的競爭越來越激烈，不僅存在同一級企業的競爭，也存在供應鏈系統中上游企業和下游企業之間的博弈。企業在追求各自利潤最大化的同時，不同的企業關系、合作與否以及采取的營銷策略對企業的收益有著至關重要的作用。

Abad P L論述了在非變質商品的供應鏈系統中不同博弈模型中供應商和零售商的利潤分配的差異[1]，本文在其基礎上引入了退化率，探究供應商和零售商對于變質商品的銷售策略。而在供應鏈中存在延期支付的情況，一些學者在算法上也做了深入的研究，Gupta D等[2]研究了存在延期支付的隨機存儲模型，闡述了如何確定最優存儲水平以及延期支付中的相關參數。國內學者邱昊[3]討論了延期支付期限的確定，但本文和他在模型的構建上有很大的差異，比如在他的論文中需求和零售商價格都是已經確定的，而本文中需求是價格的函數，銷售價格是目標優化當中要確定的變量。在供應鏈博弈的方面，也參考了江世英[4]研究的綠色供應鏈博弈模型，比較了不同模型中供應鏈上下游企業利潤分配的差異。由于變質商品的退化率的引入，模型的計算復雜了許多，本文借鑒了文曉巍[5]的算法，使用泰勒展開式進行近似化簡，使得計算簡便了許多。

1 模型的參數設置和假設

1.1 參數設置

本文中參數的設置情況如表1所示。

1.2 模型的假設

（1）只考慮一種產品。

表1 參數對照表

（2）需求只受價格影響，D(P)=K·P-E，K＞0，E為需求的價格彈性，該商品富有彈性，即E＞1。

（3）不允許缺貨。

（4）每周期終止時刻，系統的存貨量為0。

（5）忽略從發出訂貨到商品到達的時間。

（6）供應商對提前付款沒有折扣，在最后期限前必須付款。

（7）Ie=Ip，Ih+Ip=I。

（8）Is=a+bM，a＞0，b＞0，即銷售商的機會成本率是關于延期支付期限的線性增長函數。

（9）固定訂貨費A在零售商購買商品當時消費，延期支付的是應付給供應商的購買商品的成本，即VQ。

（10）供應商采取按需訂貨的策略，因此不會產生庫存費用。

2 零售商問題

零售商的目標是確定零售價格P和銷售周期T（即確定訂貨量Q），使得利潤最大化。由于庫存的變動與顧客需求和其本身的存貨退化率有關，故有下式：

2.1 T≥M

（1）每周期的銷售收入=PDT

（2）每周期的購貨成本=VQ

其中除去VDT的部分為存貨的退化成本，即購貨成本包括退化成本。

（3）每周期的訂貨成本=A

（4）每周期的利息收入（機會增長）

當存在延期支付時，由于供應商對提前付款沒有折扣，為了增加收益，零售商不會提前付款。在零售商支付貨款前，[0,M]這段時間內，為維持信貸平衡，零售商賣出貨物的同時，會因為已賣出和已退化的貨物產生對供應商的負債，但是零售商會從這筆屬于供應商的貨款中獲得利息。一些學者將零售商得到的所有貨款帶來的利息算作利息收入，本文參照Abad P L的算法[1]，不考慮貨款中從原本屬于零售商的資金而獲得的利息收入，該收入不屬于零售商從該供應鏈系統中獲得的收益，即利息收入為從應支付給供應商的賣掉和退化的商品的貨款中取得的利息。

故利息收入如下：

（5）每周期的庫存費用（除去存貨融資）

（6）每周期存貨的機會成本（存貨融資）

在延期支付到期時零售商將所有貨款支付給供應商，在[M,T]的時間段里，零售商還有存貨，他將資金投入到這些存貨中，在存貨還沒賣出時會產生相應的機會成本。計算如下：

零售商的利潤為：

Πb(P,T)=年銷售收入-年購貨成本-年訂貨成本+年利息收入-年庫存費用-庫存的機會成本

2.2 T≤M

在這種情況下，銷售收入、購貨成本、訂貨成本、庫存費用與M＜T的情況是相同的，而由于零售商在支付貨款時已經賣出了所有商品，故不存在投資資金在存貨上，沒有機會成本，存貨融資為0。

利息收入：

經計算得到，T≤M和M＜T兩種情況下零售商利潤的表達式是相同的。

3 供應商問題

供應商的目標是設定延期支付的期限M和賣給零售商單位貨物的價格V，使得利潤最大化。供應商的利潤構成如下：

（1）每周期的銷售收入=VQ

（2）每周期的產品成本=CQ

（3）每周期的訂貨成本=S

（4）每周期的機會成本

在供應商收到貨款之前，即[0,M]的時間段內，會因為向零售商提供延期支付，沒收到貨款，產生相應的機會成本，表示如下：

供應商的年利潤Πs=銷售收入-產品成本-固定成本-機會成本

考慮到一般情況下θT遠小于1，根據泰勒展開式，將eθT展開到第三項，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

4 博弈模型

4.1 Stackelberg模型

在領導者和跟隨者模型（即Stackelberg模型）中，供應商作為領導者，決定延期支付的期限M和賣給零售商單位貨物的價格V，零售商作為跟隨者，根據供應商的銷售方案，決定零售價格P和銷售周期T（即確定訂貨量Q），使得獲得最大利潤。

根據泰勒展開式，將eθT展開到第三項，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

對上式分別關于P和T求一階偏導取0，得到：

根據式（5）可以得到：

再根據式（4）可以得到：

故將式（6）和式（7）代入供應商的利潤表達式，可以得到只關于T和M的二元函數，求該函數的最大值也就是在該模型下的利潤最大化。

4.2 Pareto最優方案

帕累托最優也稱為帕累托效率，供應商和零售商通過協調他們的銷售方案，使得雙方的利潤都不減少，且至少有一方利潤增加，這是一種合作博弈。參考Friedman解決帕累托最優的方法[6]，求下述目標函數最大化來解決。

∏s和∏b分別為式（2）和式（1）。

對上式關于V，P，T，M求偏導，得到如下等式：

假定V是經零售商和供應商協調達成一致后確定的數值，那么可以根據以上四個等式將λ、P、T、M解出。

4.3 納什均衡

納什均衡是一種策略組合，使得同一時間內每個參與人的策略是對其他參與人策略的最優反應。

在零售商與供應商的博弈中，如果某情況下無一參與者可以獨自行動而增加收益（即為了自身利益的最大化，沒有任何單獨的一方愿意改變其策略），則此策略組合被稱為納什均衡。

參考Friedman求解納什均衡的方法[6]，該供應鏈的納什均衡通過求下述目標函數最大化來解決。

Ss和Sb分別為在Stackelberg模型中供應商和零售商的利潤額。

5 算例

5.1 Stackelberg模型算例

參數設置如下：S=300美元，K=400000，Ih=0.12，Ie=Ip=0.16，E=2.5，a=0.08，b=0.06，A=40美元，c=3美元，將退化率設置為θ=0.02。調用MATLAB中的用于求解非線性有約束目標函數的優化函數fmincon求解Stackelberg模型。運行結果如下：T=0.1702年，M=0.5578年，∏s=2182.1美元/年，∏b=5551美元/年，V=5.861美元/件，P=9.1444美元/件，Q=270件/次，D=1582件/年。

5.2 參數的靈敏度分析（在Stackelberg模型下）

由表2可知，在其他參數不變的情況下，當Ie較小時延期支付期限M為0（即供應商不提供延期支付），同時供應商提供一個相對較低的售價V給零售商。對于零售商來說，Ie較小時提供延期支付，零售商得到的利息收入較小；另一方面，對于供應商來說提供延期支付會增加其機會成本，故不提供延期支付。隨著Ie增大，延期支付期限增加。另外，訂貨周期和訂貨量也在減少，其原因在于Ie越大存貨的融資成本相對較大，減少訂貨量可以降低庫存水平,從而降低庫存的融資成本。

表2 Ie的靈敏度分析表（E=2.5，θ=0.02）

由表3可知，價格彈性系數E越大，說明當價格增加時消費者需求的下降幅度遠大于價格增加的幅度。因此為了保證年需求維持一定的水平，零售商的銷售價格會伴隨著彈性系數的增大而降低，但是受價格彈性系數的影響，需求還是會有所減少，從而導致訂貨量以及零售商和供應商的利潤減少。另一方面，為減少年訂貨費用，再加上需求量降低，訂貨周期會延長。

表3 E的靈敏度分析表（Ie=0.16，θ=0.02）

由表4可知，在其他參數不變的情況下，退化率較高的商品訂貨周期和訂貨量較小，其原因在于，退化率的增加會引起退化成本增加，減小訂貨量可以降低庫存水平使得商品的變質消耗減少。另一方面，隨著退化成本的提高，也會使得零售商向消費者的要價相對有所提高。顯然，退化率增大，會使得零售商利潤和供應商利潤減少。

表4 θ的靈敏度分析表（Ie=0.16，E=2.5）

5.3 Pareto最優方案

假定供應商和零售商通過協商，將供應商向零售商的要價V定在一個相對較低的金額（4.4美元/件）。參數的設置跟上文中的相同，同樣使用MATLAB軟件中的fmincon進行運算，運行結果為：T=0.2786年，M=0.6541年，λ=0.5024，P=5.0871美元/件，∏s=6185.7美元/年，∏b=6368.2美元/年，D=6853件/年，Q=1915件/次，Z=6275。

顯然，在合作的情況下相對于領導者和跟隨者模型來說，供應商和零售商的利潤都增加了。其原因在于，雖然雙方的銷售價格都減少了，但由于價格的變動使需求量大幅增加，從而使雙方利潤都增加。

5.4 納什均衡

參數的設置跟上文中的相同，使用MATLAB軟件中的求解非線性無約束目標函數的優化函數fminsearch進行運算，運行結果為：T=0.301年，M=0.5705年，P=5.1134美元/件，∏s=4599.9美元/年，∏b=7997.9美元/年，D=6765件/年，Q=2043件/次，W=6093700。

雖然與Stackelberg模型的方案對比，零售商和供應商的賣價大幅下降，但是在Stackelberg模型中零售商的利潤遠遠超過供應商利潤，在納什均衡中零售商同樣維持在供應鏈中獲利的主導地位。

5.5 特殊情況

Stackelberg模型的特殊情況如表5所示。

表5 Stackelberg模型的特殊情況對照表（E=2.5，Ie=0.16）

由表5可知，在其他各參數不變的情況下，當供應商提供延期支付，且商品不變質時，供應商和零售商的利潤最大。無論商品是否退化率為零，在此種情況下，供應商提供合適的延期支付期限可以使供應鏈中的兩方都受益。

6 結論

本文針對變質商品的供應鏈上、下游企業的博弈行為、協調關系問題，建立了三種博弈模型進行比較分析，在此基礎上討論了供應商向零售商在一定情況下提供合理的延期支付的必要，為供應商和零售商的營銷提供決策分析。研究表明：

（1）Stackelberg模型中雙方的利潤都較低，Pareto最優和Nash均衡中利潤較高，而Pareto最優中供應商采取與零售商合作協商的方法，確定合適的交易價格，可以將自己的收益顯著提高。故在市場營銷中上游企業和下游企業應該避免損壞雙方利益的惡性競爭，通過合作實現共贏。

（2）當零售商的短期資本增長率（或資本成本率）小于某個較小的值時（不同參數設置下該最大值不同），供應商向零售商提供延期支付會使得雙方利潤減小。

（3）在一定情況下，即零售商的短期資本增長率大于那個較小的值，供應商向零售商提供合理的延期支付期限，雖然會增加其機會成本，但是延期支付會對零售商有促銷的作用，提高產品的銷售量，會使得雙方利潤都有所提高。

（4）對于變質商品來說，退化率越高，供應鏈中的每一方都將遭受越大的損失，因此針對變質商品采取一系列的降低其退化率的措施是必要的。

[1]Abad P L,Jaggi C K.A Joint Approach for Setting Unit Price and the Length of Credit Period for a Seller When the Demand is Price Sensitive[J].Int.J.Production Economics,2003,83(5).

[2]Gupta D,Wang L.A Stochastic Inventory Model With Trade Credit[J].Manufacturing&Service Operations Management,2009,11(1).

[3]邱昊.基于延期支付的供應鏈庫存協調[D].合肥:中國科學技術大學博士論文,2007.

[4]江世英,李隨成.考慮產品綠色度的綠色供應鏈博弈模型及收益共享契約[J].中國管理科學，2015,23(6).

[5]文曉巍.變質商品的供應鏈庫存策略研究[D].南京:東南大學博士論文,2005.

[6]Friedman J W.Game Theory With Application to Economics[M].New York：Oxford University Press,1986.