考慮緊急訂購的兩階段易逝品供應鏈協調模型

李 健，楊 揚

（1.天津理工大學 管理學院循環經濟與企業可持續發展研究中心，天津 300384；2.天津大學 管理與經濟學部，天津 300072）

0 引言

復雜的市場環境以及科技的不斷進步，使得產品創新性不斷提高，更新速度不斷提升，這些“創新性”產品的需求具有高度不確定性且在較短的銷售季節內價格會隨時間的推移快速下降，通常把這類產品稱為易逝品。由于易逝品時效性強、需求波動大、缺貨和剩余庫存的損失成本甚至會大于生產成本[1]，由此產生的供需不匹配問題造成了易逝品供應鏈中利潤損失嚴重。

在針對易逝品供應鏈的研究文獻中[2-8]，考慮將兩次普通訂購與緊急訂購策略相結合的文獻較少。然而易逝品市場中需求高度不確定性以及多樣化日益增大，零售商僅采取緊急訂購的策略，或僅采取兩次普通訂購策略，將會給供應鏈造成利潤損失。因此，本文考慮將兩次普通訂購和緊急訂購相結合的策略，在此基礎上構建允許緊急訂購的兩階段易逝品供應鏈模型，通過改進收益共享契約，確定最優的生產與訂購決策，以實現易逝品供應鏈的協調及零售商與制造商間的“雙贏”。

1 問題描述與模型假設

1.1 問題描述

本文考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩級動態易逝品供應鏈模型，依據易逝品需求不確定性大、價格隨時間快速下降等特點，把易逝品的銷售季節分為兩個階段，第一階段為產品正價銷售階段，第二階段為產品降價銷售階段。制造商在兩階段初都給予零售商一次普通訂購機會（第二階段初的生產成本及批發價格明顯低于第一階段初），第一階段內若發生缺貨，零售商采取緊急訂購的策略以實現部分短缺量延期供給；但第二階段內若發生缺貨，則短缺量全部損失掉。

1.2 模型假設及符號說明

為了方便模型的構建，本文做出如下假設：

（1）制造商與零售商均是風險中性及完全理性的。

（2）制造商的供應能力無限大，即能滿足零售商所有訂單。

（3）短視型消費者中必然有部分消費者，在第一階段發生缺貨時愿意等待一段時間（第二階段開始前），花原價購買產品，而不愿意等到第二階段以低價購買過季產品[9]。

（4）當市場上出現供應不足情況時，零售商會向制造商緊急訂購產品以滿足第一階段所有愿意等待購買的需求 (β(ξ1-q1)+)，即p1-b-ws＞p2-w2。但在第二階段末，綜合考慮產品的價值、積壓庫存費用、維護費用等問題，若此階段發生缺貨，零售商將不采取緊急訂購策略，即短缺量全部損失掉[10]。定義 (·)+=max(·,0)

（5）零售商有積極性在第二階段初通過訂購來滿足策略型消費者的需求，即p2-w2＞v。

（6）單位產品對于雙方企業的殘值相同。

（7）不失一般性，ci＜wi＜pi(i=1,2)[11]，cs＜ws＜p1-b,ci＜cs,i=1,2

符號說明如下頁表1所示。其中i=1，2。

2 集中式供應鏈決策模型

供應鏈集中決策下可將制造商與零售商看作一個整體，即企業自產自銷。因此，制造商采用Make-to-Order的生產方式，各階段制造商的生產量必然等于零售商各階段的訂購量，即Q1=q1,Q2=q2。令∏C表示集中決策下兩個階段的總期望利潤，∏C2(表示集中決策下第二階段的期望利潤。首先零售商在第一階段初，根據已有需求信息進行訂購，若第一階段發生缺貨，則將緊急生產產品 (β(ξ1-q1)+)以滿足延期需求；若有剩余x(=(q1-ξ1)+)則直接供第二階段銷售。第二階段初零售商則可根據最新的需求信息訂購產品至庫存水平y。下面依據動態規劃的逆序算法，首先求解第二階段的最大期望利潤函數。集中式供應鏈決策模型下第二階段的最大期望利潤函數為：

表1 構建模型涉及的符號及定義

對式（1）求關于y的導數，得：

容易驗證∏C2''(y)＜0，即∏c2是關于y的凹函數，故由∏C2'(y)=0可得第二階段最優訂購至庫存水平為：

根據式（1）可得集中式供應鏈決策下整個銷售季節的最大期望利潤函數為：

把式（1）帶入式（4），整理后得：

對式（5）關于q1的求導，并令其等于0可得：

且∏C''(q1)＜0，則q*1即為零售商第一階段初的最優訂購量。在供應鏈集中決策下可看作一個企業同時擁有生產渠道和銷售渠道，彼此信息互通，即隨時訂購隨時生產，此時Q*1=q*1。因此可得定理1。

定理1：在集中式供應鏈決策下，第一階段初的最優訂購量和生產量分別為：

由定理1可知：當第一階段剩余庫存量x小于最優訂購至庫存水平y*時，零售商需補足產品，訂購至庫存水平y*；當庫存量x大于最優訂購至庫存水平y*時，第二階段不需要訂購。銷售季節內的兩次訂購量和生產量不僅依賴于產品價格、生產成本等費用，還依賴于第一階段的短缺量延期供給率，因此得出推論1：

推論1：在集中式供應鏈決策模型下，零售商與制造商在第一階段初的最優訂購量和生產量隨著短缺量延期供給率β的增大而減小，隨著c1的增大而減小，隨著cs的增大而增大，隨著c2的增大而增大。

證明：對式（6）分別對β,c1,c2,cs求導，可得：

由式（7）可得推論1。

因第二階段初的最優訂購量和生產量影響因素較多，難以給出具體的理論分析，但通過后面的數值算例可以發現，短缺量延期供給率對生產和訂購決策的重要影響。

3 改進收益共享契約下分散式供應鏈決策模型

改進收益共享契約(w1,w2,ws,φ)的具體內容為：兩階段初及緊急訂購階段的批發價格分別為w1,w2,ws，同時批發價格均小于其相應階段的生產成本，為保證制造商的利潤，零售商按一定比例將自己的一部分廣義收益分享給制造商，廣義收益為零售商的收益（包括期末殘值）減去零售商支付的短缺量延期供給費用、庫存費用等，其中零售商分享給制造商的分享比例為1-φ(0≤φ≤1)，則零售商剩余的比例為φ。改進收益共享契約在收益共享契約的基礎上，同時要求制造商要替零售商分擔一部分的庫存剩余和缺貨風險。

在下面的決策模型中，本文不單獨構建無契約條件下的分散式供應鏈決策模型，事實上，若令φ=1，即為零售商不分享收益的情況，此時雙方則構成了一個無契約的分散決策模型。在后面的數值算例中會對無契約時分散式供應鏈決策下系統總利潤進行比較分析。

3.1 改進收益共享契約下，零售商的最優訂購決策

對于改進收益共享契約(w1,w2,ws,φ)，零售商在第二銷售階段的最大利潤函數為：

零售商在整個銷售季節的最大總期望利潤函數為：

利用逆向歸納法進行求解，首先對式（8）求關于y的導數，易得得此情形下零售商第二階段初最優訂購至庫存水平為：

觀察式（10）可知，若令w2=φc2，則

接下來對式（9）求關于q1的導數，得第一階段初零售商的最優訂購量為：

3.2 改進收益共享契約下，制造商的最優生產決策

對于制造商而言，其需在接到零售商的第一次訂購后確定自己的生產量（可生產超出訂購量的范圍，剩余產品可在零售商緊急訂購時以高昂的價格售出），由于制造商必須生產比訂購量多的產品，因此假設制造商第一階段初的生產量為(1+λ)q1，其中λ≥0[5]。假設制造商總會滿足零售商的訂購量，故制造商的緊急訂購的生產量為E(β(ξ1-q1)+-λq1)+，第二階段初的生產量為E[q2-(λq1-β(ξ1-q1)+)]+，其中q2=(y-x)+，則制造商的最大期望利潤函數為：

求關于λ的導數，并令其為0，可得：

把滿足式（15）的λ記為λ*,容易驗證，因此是關于λ的凹函數，依據導數的性質，同時考慮λ≥0的約束條件，可得制造商第一階段初的最優生產量：

證明：

因F1(ξ1)為增函數，可知F1((1+λ/β)q1-y/β)＜F1((1+λ/β)q1)，繼續整理式（15）得：

但因 [p1+g1(1-β)-(p1-b)β](c1-v)＞0 ，csβ(v-c1)+(h1-c2)(cs-c1)＜0因此式（18）不成立，該假設不成立，所以得到下式的結論：

考慮到約束條件λ≥0，因此λ*=0，即且

證畢。

整理式（9）、式（14）與式（4）可得：

但要使雙方企業均會主動選擇簽訂契約，必須同時滿足雙方的理性約束條件，即使各自的利潤均大于各自獨立決策時所獲得的收益，即φ=1。因此φ*的取值應存在下限φa和上限φb，滿足

因此可得定理4。

推論2：（1）在φa≤φ*≤φb范圍內，可實現制造商與零售商按任意比例分享供應鏈整體利潤。（2）在參數滿足式（13）的情況下，批發價格與φ*成反比，表明一定范圍內制造商可通過調節批發價格來增強自己的討價還價能力。（3）最優批發價格低于成本，表明制造商批發商品本身不盈利，而是通過分享零售商的一部分廣義收益獲取利潤。

綜上可見，選擇最優的改進收益共享契約不僅能提高制造商與零售商的自身收益和供應鏈的整體收益，而且較其他契約更具實用性和靈活性。

4 數值算例

為了簡化，在算例分析中不考慮庫存和缺貨費用，取hi=gi=0(i=1,2)，給出模型中用到的參數值為：p1=50,c1=10,w1=25,ws=30,cs=15,p2=30,w2=15,c2=5,b=3,β=0.2,v=3，兩個階段的隨機需求分別服從期望為100和50的指數分布。

利用本文構建的模型，通過算例分析可得：（1）在集中式供應鏈決策模型下，零售商和制造商在各階段初的最優生產量和訂購量為，集中式供應鏈決策下總期望利潤為∏C*=3929.8；（2）在無契約分散供應鏈決策下(φ=1)，零售商和制造商在各階段初的最優訂購量和生產量為，此情形下零售商和制造商各自的期望利潤為，供應鏈總期望利潤為∏*=3432.6；（3）在改進收益共享契約的分散式供應鏈決策下，φ*的取值范圍為[0.41,0.52]，因此令φ*=0.5，則由式（13）可得制造商每階段的批發價格分別為，此情形下零售商與零售商各階段初的最優訂購量和生產量為，則零售商與制造商的期望利潤分別為，供應鏈總期望利潤為通過以上數據可以看出，改進收益共享契約分散式供應鏈決策下零售商與制造商的訂購量與生產量均與集中式供應鏈決策下相同，供應鏈總利潤也與集中式供應鏈決策下供應鏈總利潤相同，且各自的利潤均大于分散無協調情況。說明在改進收益共享契約模型下雙方企業之間能夠達成“雙贏”且能夠實現供應鏈系統的整體協調。下面對短缺量延期供給率β進行靈敏度分析：

首先對改進收益共享契約分散式供應鏈決策下的最優訂購決策進行分析，結果如圖1所示。

圖1 參數β與零售商最優訂購量的關系

由圖1可知，最優訂購隨著短缺量延期供給率的增加，在第一階段初減少，在第二階段初增加。這是因為當第一階段發生缺貨時，短缺量延期供給率越大，零售商缺失的需求量越少，因此可降低第一階段初的訂購量從而減小因訂購量過大造成的庫存壓力。且從圖1中可以看出隨著短缺量延期供給率的增大，零售商的總訂購量趨于平穩，當短缺量延期供給率較大時呈緩慢下降趨勢，這說明短缺量延期供給率對零售商訂購總量影響不大，綜合不同階段訂購量隨短缺量延期供給率的變化趨勢，可見短缺量延期供給率具有調節零售商各階段訂購量的作用，以更好地適應需求的變化。

接下來對比分析有無改進收益共享契約下制造商與零售商的最優決策，其中分別表示無契約時制造商的期望利潤、零售商的期望利潤和整個供應鏈的期望利潤。如圖2至圖4所示。

圖2 參數β與零售商期望利潤的關系

圖3 參數β與制造商期望利潤的關系

圖4 參數β與供應鏈總期望利潤的關系

觀察圖2至圖4可以看出，無論短缺量延期供給率取何值，制造商、零售商的最優利潤和供應鏈總利潤均大于無契約的情形，表明改進收益共享契約能夠實現“雙贏”以及實現供應鏈整體協調；并且隨著短缺量延期供給率的增大，供應鏈的總利潤也增大，表明短缺量延期率的引用對于提高供應鏈績效具有重要作用。從圖4可以看出短缺量延期供給率的增大，會使有無契約協調情況下供應鏈的總期望利潤之差減小，又因為最優改進收益共享契約下供應鏈的總期望利潤與集中式供應鏈模型下的相同，因而可得出短缺量延期供給率的設置能有效地削弱“雙重邊際化效應”，使供應鏈成員達到“雙贏”。可見短缺量延期供給率對于兩階段易逝品供應鏈的協調運作具有重要意義。

5 結束語

本文針對易逝品需求不確定性大、價格隨時間快速下降等特點，以單個制造商和單個零售商組成的兩級供應鏈為研究對象，考慮兩次普通訂購和緊急訂購相結合的策略，建立了允許緊急訂購的兩階段動態易逝品供應鏈模型，為使供應鏈實現協調，設計改進收益共享契約，求解最優的契約參數。結果表明：在改進收益共享契約分散式決策下，隨著短缺量延期供給率的增加，第一階段初的最優訂購量減小，第二階段初的最優訂購量增加。短缺量延期供給率可以增加易逝品供應鏈的總體績效，且能夠有效減小“雙重邊際化效應”。

[1]Wang J,Wang S,Min J.Coordinating Two-period Ordering and Advertising Policies in a Dynamic Market With Stochastic Demand[J].International Journal of Systems Science,2015,46(46).

[2]張艷秋，朱琳，王圣東.帶有固定訂購費用的易逝品供應鏈協調模型[J].系統工程學報，2012,7(2).

[3]Linh C T,Hong Y.Channel Coordination Througha Revenue Sharing Contract in a Two-Period Newsboy Problem[J].European Journal of Operational Research,2009,198(3).

[4]楊寬,易靈燕.收益共享契約及廣告投入下易損品供應鏈協調[J].系統工程,2015,33(8).

[5]王圣東,周永務.帶有兩生產模式的Newsvendor型產品供應鏈協調模型[J].系統管理學報,2011,20(1).

[6]簡惠云,王國順,許民利.具有兩階段生產模式和需求信息更新的供應鏈契約研究[J].中國管理科學,2013,21(1).

[7]尚文芳,祁明,張智勇.基于需求信息更新和短缺量延期供給的易逝品供應鏈期權契約研究[J].管理學報,2012,9(6).

[8]Li Y,Ye F,Lin Q.Optimal Lead Time Policy for Short Life Cycle Products Under Conditional Value-at-risk Criterion[J].Computers&Industrial Engineering,2015,(88).

[9]王宣濤,張玉林.考慮顧客行為與零售商公平關切的易逝品定價與供應鏈協調研究[J].管理工程學報,2015,29(1).

[10]郭小云,王淳勇,王圣東.動態市場環境下基于收益共享契約的供應鏈協調模型[J].系統管理學報,2011,20(4).

[11]Lee H L,et al.Price Protection in the Personal Computer Industry[J].Management Science,2000,46(4).