二自由度自治Lagrange系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性

張曄，陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

1788年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Lagrange在其著作《分析力學(xué)》中，引進廣義坐標(biāo)的概念，并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的方法建立了第二類Lagrange方程，為Lagrange力學(xué)系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ).之后，英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Hamilton[1，2]提出了正則方程及Hamilton原理，使Lagrange系統(tǒng)的動力學(xué)描述更加精美.近年來，對Lagrange系統(tǒng)動力學(xué)的研究非常活躍，并獲得了一系列重要成果，主要集中在對稱性及其守恒量[3-11]，動力學(xué)逆問題[12，13]，攝動與絕熱不變量[14-16]及其幾何描述[17].但在Lagrange系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究方面所涉不多，梅鳳翔等[18-20]給出一階Lagrange系統(tǒng)和定常的二階Lagrange的梯度表示及Lagrange系統(tǒng)的斜梯度表示并利用其性質(zhì)研究奇點穩(wěn)定性，宋端[21]利用梯度系統(tǒng)研究了定常一階Lagrange系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性對參數(shù)的依賴關(guān)系，李成岳等[22，23]研究了具有有界位勢的Lagrange系統(tǒng)解的周期性及Lagrange系統(tǒng)的奇性周期解的存在性，林淑容等[24]研究了滿足一定條件的Lagrange系統(tǒng)的周期解，陳濤等[25]研究了Lagrange系統(tǒng)周期解的存在性與多重性，張俐[26]基于極小作用原理研究了Lagrange系統(tǒng)周期解的存在性.本文將定性理論中的Lyapunov間接法推廣到普遍的二自由度自治Lagrange系統(tǒng)，并判斷其奇點的穩(wěn)定性.

1 二自由度自治Lagrange系統(tǒng)的方程

若一個有n自由度的完整力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程有形式

(1)

取n=2，得到二自由度自治Lagrange系統(tǒng)的微分方程

(2)

其中L不顯含時間t，展開(2)，可求得所有廣義加速度，即

(3)

(4)

2 系統(tǒng)的奇點及其穩(wěn)定性

(5)

若方程(5)有解，則系統(tǒng)存在奇點，方程(5)有幾個解，系統(tǒng)便有幾個奇點.方程(5)稱為系統(tǒng)的奇點方程.

(6)

將(6)代入(4)得

(7)

(8)

忽略ξi(i=1，2，3，4)的二階及更高階小項，得到方程(8)的線性化方程，即

(9)

定理1若A的所有特征值均具有負(fù)實部，那么相應(yīng)的線性化系統(tǒng)的奇點是漸進穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)(4)的奇點是漸進穩(wěn)定的；若A有正實部的特征值，那么相應(yīng)的線性化系統(tǒng)的奇點是不穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)(4)的奇點是不穩(wěn)定的；若A的特征值中至少有一個的實部為零，其余的實部為負(fù)，那么相應(yīng)的線性化系統(tǒng)的奇點是穩(wěn)定的，但不能判斷原系統(tǒng)(4)的奇點的穩(wěn)定性.

3 算 例

例 二自由度Lagrange系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(10)

判斷系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性.

解：系統(tǒng)的微分方程為

(11)

(12)

由式(12)可知系統(tǒng)有兩個奇點O(0，0，0，0)及P(-1，-1，0，0).

由式(9)得奇點O(0，0，0，0)處的線性化系統(tǒng)為

(13)

其特征值為λ1，3=i，λ2，4=-i，由定理1知不能判斷原系統(tǒng)(12)奇點O(0，0，0，0)的穩(wěn)定性.

由式(9)得奇點P(-1，-1，0，0)處的線性化系統(tǒng)為

(14)

其特征值為λ1，3=1，λ2，4=-1，由定理1知原系統(tǒng)(12)奇點P(-1，-1，0，0)是不穩(wěn)定性.

4 小 結(jié)

本文利用Lyapunov間接法判斷二自由度自治Lagrange系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性，主要成果為定理1.但定理1只能用來判斷系統(tǒng)(4)奇點的漸進穩(wěn)定性及不穩(wěn)定性，當(dāng)線性化系統(tǒng)的奇點只是穩(wěn)定的時，不能判斷原系統(tǒng)(4)奇點的穩(wěn)定性，此時屬于臨界情況，需另找辦法判斷原系統(tǒng)(4)奇點的穩(wěn)定性，如Lyapunov直接法或梯度系統(tǒng)等方法.

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