帶有信用風險的鎖定期權定價

孫慧，李翠香

(河北師范大學 數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024)

0 引 言

期權是一種金融衍生產品，是指在未來的某一時間以特定的價格買入或賣出某種產品的權利.由于期權有杠桿效應和規避風險等特性，故期權越來越受到投資者的喜愛.隨著金融市場的不斷繁榮，普通期權遠遠不能滿足投資者的需求，從而出現了更多種類的期權，比如障礙期權，選擇期權，鎖定期權[1]等.鎖定期權在一定意義上可以看成是介于歐式期權和美式期權之間的一種期權.標準歐式期權只可以在合約的到期日行權，設期權到期時刻為T，執行價格為K，則歐式看漲期權在T時刻的收益為

max(ST-K，0).

美式期權則可以在合約到期日之前的任何時刻行權，美式看漲期權的收益可以表示為

而鎖定期權同樣只可以在到期日行權，但是在T時刻鎖定看漲期權的收益為

max(ST-K，ST1-K，0)，

其中T1(t≤T1≤T)為提前約定的時間點.

信用風險指承約方未履行合約中規定的義務而造成經濟損失的風險.信用風險既包括拒絕支付和破產等違約風險，也包括借款人信用品質變化的風險.如今，場外市場交易越來越頻繁，而在場外市場交易很容易發生違約的情形，因此研究帶有信用風險的期權定價問題具有十分重要的意義.1974年，Merton[2]首先提出信用風險結構化模型.2002年，付長青[3]解決了有信用風險的美式期權的定價問題.2003年王保合、李時銀[4]應用隨機工程中反射原理的思想，給出了允許提前違約的信用衍生產品的定價問題.2014年，呂利娟[5]基于結構化模型，研究了單個跳和雙跳擴散過程下的和時間有關的脆弱期權定價公式.

本文研究帶有信用風險的鎖定期權的定價問題.設鎖定期權的標的資產價格為St，承約方的資產價格為Vt，當帶有信用風險時，鎖定看漲，看跌期權在T時刻的收益分別為

c(ST，VT，T1，D)=max(ST-K，ST1-K，0)(1{VT≥D}+δT1{VT

(1)

p(ST，VT，T1，D)=max(K-ST，K-ST1，0)(1{VT≥D}+δT1{VT

(2)

(3)

(4)

當St，Vt滿足特殊的隨機微分方程時，可以得到封閉的解析解.

本文假設(Ω，F，{Ft}，Q)為帶有σ-域流{Ft}的概率測度空間，其中Ω為樣本集，F為由Ω生成的域，{Ft}為本文涉及到的布朗運動所生成的域流，Q為風險中性概率測度.并假設，St，Vt分別服從如下隨機微分方程(以下簡稱SDE):

(5)

(6)

1 預備知識

其中α，β為常數.

其中E[·]，E[·|Ft]分別表示期望和條件期望.

2 帶有信用風險的鎖定看漲期權定價

由(1)(3)知

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]-KEQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]}+

EQ[ST1VT1{ST1>ST，ST1>K，VTST，ST1>K，VT

(7)

下面我們計算(7)式右邊的8個期望.為了方便，引入以下記號

a3(t，T)=a1(t，T)+φSV(t，T)，a4(t，T)=a2(t，T)+φSV(t，T)，

c3(t，T)=c1(t，T)+φSV(t，T)，c4(t，T)=c2(t，T)-φSV(t，T)，

c5(t，T)=c1(t，T)+φSV(t，T1)，c6(t，T)=c2(t，T)-φSV(t，T1)，

引理5若St，Vt分別滿足(5)(6)，則

(8)

(9)

證明：對任意常向量λ=(λ1，λ2，λ3)，由引理1，引理2知

證畢.

引理7設St，Vt分別服從SDE(5)(6)，且t≤T1≤T，則

EQ[1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=Na1(T1，T)，b1(t，T)，c1(t，T);∑1，

(10)

EQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=N-a1(T1，T)，b1(t，T1)，c1(t，T);∑2，

(11)

其中N(a，b，c;∑)表示均值為0，協方差矩陣為∑的三維正態分布的累積概率分布函數.

證明：令

則由(8)(9)知

ST>ST1?S(T1，T)

ST>K?S(t，T)

VT≥D?V(t，T)≤c1(t，T).

注意S(T1，T)，S(t，T)，V(t，T)都與Ft獨立，所以由引理6可得

EQ[1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=EQ[1{S(T1，T)

Q(S(T1，T)

同理

EQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=Q(-S(T1，T)<-a1(T1，T)，S(t，T)

N-a1(T1，T)，b1(t，T1)，c1(t，T);∑2.

引理7得證.

引理8在引理7的條件下

EQ[ST1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T)Na2(T1，T)，b2(t，T)，c3(t，T);∑1，

(12)

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T1)N-a1(T1，T)，b2(t，T1)，c5(t，T);∑2，

(13)

EQ[VT1{ST>ST1，ST>K，VT

(14)

EQ[VT1{ST1>ST，ST1>K，VT

(15)

證明：由(8)知

取

則

由引理3知

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T1)EQ1[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft].

類似于引理7的證明，可得(13).同理知(12)(14)(15)成立.引理8得證.

引理9在引理7的條件下

EQ[STVT1{ST>ST1，ST>K，VT

Na4(T1，T)，b4(t，T)，c4(t，T);∑3，

(16)

EQ[ST1VT1{ST1>ST，ST1>K，VT

N-a3(T1，T)，b4(t，T1)，c6(t，T);∑4.

(17)

證明：下面證明(17).由(8)(9)知

取

則

由引理3知

類似于引理7的證明可知(17)成立.同理可得(16).引理9證畢.

定理1設St，Vt分別滿足SDE(5)和(6)，則約定的時間點為T1，到期日為T的帶有信用風險的鎖定看漲期權在t(t≤T1≤T)時刻的價格為

證明：由引理7可得第2項和第4項；由引理8可得第一，三，六，八；由引理9可得第5項和第7項.定理1證畢.

3 帶有信用風險的鎖定看跌期權定價

由(4)式類似于定理1的證明可得下面的定理2.

定理2在定理1的條件下，帶有信用風險的鎖定看跌期權在t時刻的價格為

[1]Peter G.Zhang.Exotic options[M].北京：機械工業出版社，2014.

[2]Merton R.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29(2)：449-470.

[3]付長青，張世斌.具有違約風險的美式買權的定價問題[J].復旦學報(自然科學版)，2002，41(5)：535-541.

[4]王保合，李時銀.允許提前違約的信用衍生品定價模型[J].數學的實踐與認識，2003，33(9)：38-44.

[5]呂利娟.跳擴散過程下時間依賴型的脆弱期權定價[D].中國礦業大學，2014.

[6]Fima C.Klebaner.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].北京：人民郵電出版社，2008.