基于最小二乘法的電主軸回轉精度評價*

王立平 張彬彬 吳 軍

(清華大學機械工程系，北京100084)

高速、高精度、高可靠性是當代數控機床的發展方向[1-4]。電主軸作為高檔數控機床的核心部件，其回轉精度直接影響機床的加工精度、性能穩定性，因此需要深入研究電主軸回轉精度的測量和評定方法，分析電主軸的運動狀態和判斷誤差產生的原因，為提高電主軸的回轉精度奠定基礎。根據機床檢驗通則第7部分：回轉軸線的幾何精度[5-6]，評定電主軸的回轉精度首先要找到電主軸高速轉動下徑向位移信號的最小二乘圓圓心，才能實現電主軸的回轉精度評定。但基于最小二乘法的電主軸回轉精度計算方法不存在解析解，因此，在面對大量數據的情況下，只能采用假設近似解或者迭代算法實現，其存在計算精度低或者計算時間長等問題。

本文以應用于五軸加工中心上的高速電主軸為研究對象，研究基于最小二乘法的電主軸回轉精度評定。首先建立電主軸工作狀態下的幾何誤差模型，對電主軸的常量信號、偏心信號等相關信號進行研究和分離。其次采用標準球、高精密電容位移傳感器、高速采集卡等器件搭建電主軸回轉精度測量系統，并采集電主軸高速轉動下的徑向位移信號。接著分別采用最小二乘牛頓迭代算法、最小二乘近似算法和平均值算法對信號進行處理與分析，并驗證了3種算法的有效性。最后在分析對比3種算法結果后，設計了一種不同應用背景下的電主軸回轉精度評價策略，并提出了一種兼顧計算精度和計算效率的電主軸回轉精度快速評價算法。

1 電主軸幾何誤差建模

首先對電主軸回轉幾何誤差進行建模，電主軸檢測裝置如圖1所示，其原理為在電主軸前端安裝標準球，并在球的兩側安裝兩個相互垂直的位移傳感器，來采集電主軸徑向運動信號。

將電主軸旋轉運動進行建模，并將電主軸與檢測裝置沿著回轉中心軸方向進行投影，可得到如圖2所示的原理圖。圖中o點表示電主軸旋轉中心，O點表示標準球球心。一般來說，電主軸旋轉都存在偏心現象，因此在圖2中電主軸的旋轉中心點o和標準球心點O不重合。以o點為原點，位移傳感器1和位移傳感器2檢測的光線方向分別為x軸和y軸，建立坐標系o-xy。

由勾股定理得到各點之間的位置關系：

yi=|P10y|-risinθi-

(1)

(2)

為了便于說明，設：

(3)

(4)

由式(1)～(4)得，yi是偏置信號|P10y|、正弦信號-risinθi以及余弦信號-C1i的疊加。對于高精密電主軸，|P11x|和ri基本為幾十微米，檢測標準球的半徑R1為幾厘米，即：

(5)

通過不等式分析可以得到C1i的峰峰值：

C1max-C1min?2ri

(6)

因此，余弦信號-C1i相對于正弦信號-risinθi來說，基本上為一恒定常值，則yi可改寫為：

yi=C3-risinθi

(7)

其中C3表示恒值，即：

C3=|P10y|-C1i

(8)

同理可得到：

xi=C4-ricosθi

(9)

其中C4表示恒值，即：

C4=|P20x|-C2i

(10)

通過上式，可以發現xi和yi是兩個正弦信號。但由于電主軸在轉動的過程中，實際轉速不一定與指令轉速恒等，而是一個在設定轉速上下波動的變量，無法直接求解轉速與旋轉角度θi。因此可以轉換為如下求解方式：

(11)

(12)

綜合式(11)和(12)可得到主軸徑向回轉曲線：

(13)

2 電主軸回轉精度常用評定算法分析

參考國標，電主軸回轉精度一般采用最小二乘圓評定方法進行評定，其原理圖如圖3所示。

最小二乘圓計算公式為：

(14)

但由于最小二乘圓計算方法無解析解，若要獲得精確解，一般需要采用迭代算法。下面將對最小二乘牛頓迭代算法、最小二乘近似算法和平均值算法分別展開進行分析。

2.1 最小二乘牛頓迭代算法

首先采用牛頓迭代法求解最小二乘圓。為了方便計算，不妨設：

(15)

對f(x0,y0,rlms)求偏導得到：

(16)

再對f(X)′求偏導，可得到Jacobi矩陣：

(17)

因此得到牛頓歐拉迭代函數：

X(k+1)=X(k)-[J(X(k))]-1f(X(k))

(18)

其初值設置可設置為平均值，即：

(19)

2.2 最小二乘近似算法

由于最小二乘法無法得到解析解來直接求解精度，因此可對最小二乘法進行一定的近似，采用近似函數來進行求解。該近似函數為：

(20)

由于H的最大值是無窮大，因此當H的梯度為0時，H為最小值，即：

(21)

將t3消去后，可得到：

(22)

(23)

化簡后可得到：

A1+A2t1+A3t2=0

(24)

A4+A3t1+A5t2=0

(25)

其中：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

聯立式(24)～(30)可得到：

(31)

(32)

將式(31)和(32)代入式(21)可得到：

(33)

最終得到x0、y0和rlms的近似解，即：

(34)

(35)

(36)

2.3 平均值算法

最后給定一種最常見的平均值計算方法，即直接求平均值作為最小二乘圓，即

(37)

(38)

(39)

3 電主軸回轉精度信號采集與分析

電主軸回轉精度檢測試驗臺如圖4所示，主軸采用博特精工的JSZD170C-12/15XJ型號電主軸，通過在主軸前端夾持一個標準球，并同時在標準球的XYZ三方向上分別放置3個高精密電容位移傳感器，用于檢測電主軸的徑向跳動和軸向跳動。

由于電主軸在低轉速下，容易出現過流報警而無法轉動，因此首先通過實驗的方法，找到電主軸的最低轉速180 r/min。接著從600 r/min轉速開始，依次以600 r/min的幅值增加電主軸轉速，直至達到最高轉速10 200 r/min。保持每種轉速下工作3 min，用NI采集卡以8 kHz的采樣頻率對徑向位移信號進行采集，記錄下18組采集數據。選取其中典型的3組信號，畫出徑向運動軌跡圖，如圖5～7所示。由圖可得，主軸在低轉速(180 r/min)和高轉速(10 200 r/min)下，其運動軌跡是規則圓形，當處于中間轉速(5 400 r/min)時，其運動軌跡發生突變。

通過對比可以發現，最小二乘牛頓迭代算法的最小二乘圓與各點的距離之和最小，即計算精度最高，但所需計算時間遠大于最小二乘近似算法和平均值算法的計算時間。比對各組轉速的結果后，最小二乘近似算法和平均值算法在低轉速時，精度差距不大，當轉速升高后，最小二乘近似算法精度高于平均值算法，與最小二乘牛頓迭代法精度差不多。

表1 3種算法計算精度和計算時間對比

轉速/(r/min)最小二乘牛頓迭代算法最小二乘近似算法平均值算法總距離/μm計算時間/s總距離/μm計算時間/s總距離/μm計算時間/s18065337512266535250076566860026007576231229757818007760000002120081778912328180050088188250021800102890812361029224007102892700224009221371233922378007922237002300083588012348360680068390760023600252983412332531569006253077700242002169504123121706920062170840002480034191931234342186600634208540025400593640345361825983392700659738386002600067057912346706970076823510026600355052123335507900636764700272009521844788119523730069742340027800663406533273663500006764818002840060886453340460896100767145800290007221655337057224590061020154002960080889053322580902100686953300210200953162478210953300006973528002平均值127658222197401292579900712914942002

根據3種算法得到不同轉速下的主軸回轉精度，如表2所示。以最小二乘迭代算法結果為基準，最小二乘近似算法結果和迭代算法結果基本一致。在有些轉速下，平均值算法略優于近似算法。在實際應用中可綜合最小二乘近似算法和平均值算法，根據表1中的總距離指標，選用相應的算法對電主軸的回轉精度進行評價。

由表2可得在5 400 r/min轉速，其精度發生突變。通過對電主軸進行模態試驗，可得到圖8、9所示模態試驗響應圖。由圖可得，當頻率處于92 Hz時，相位180°反向，且振動響應出現尖鋒，即92 Hz為電主軸一階固有頻率，換算成電主軸轉速即為5 520 r/min。可證明本實驗數據處理算法的準確性，并可采用本檢測方法來檢測機構的低階固有頻率。

最后采集5 520 r/min轉速下的誤差信號，并綜合最小二乘近似算法和平均值算法分析，得到最終的電主軸回轉誤差曲線，如圖10所示。

4 結論

通過本文分析，在不考慮時間成本的情況下，可直接采用最小二乘牛頓迭代算法計算主軸回轉精度，其計算精度高，但計算時間長。

在需要考慮時間成本的情況下，可選用下面兩種計算方法：

(1)直接采用最小二乘近似算法評估主軸回轉精度。該方法計算時間短，精度較高。

(2)采用最小二乘近似算法和平均值算法分別評估主軸回轉精度，若結果一致，則選用任意一種評價結果。反之，則比較兩種算法的最小二乘圓精度，選用更高精度最小二乘圓下的計算結果。該方法計算精度較上一種更高，計算時間略長。其相對于迭代算法，計算精度相差不大，但計算時間遠小于迭代算法，是一種兼顧計算精度和效率的快速評價算法。

表2 三種算法回轉精度對比

轉速/(r/min)最小二乘牛頓迭代算法回轉精度/μm最小二乘近似算法回轉精度/μm平均值算法回轉精度/μm18044144144660050850850612004964964961800516515516240052452452530005675675643600705705703420069269168648007447467455400227422632325600053953954766004304304247200600600592780054354358184005665655349000554554591960064965064010200735735720

[1]王立平. 數控機床先進技術淺談[J]. 航空制造技術, 2010(10): 49-52.

[2]趙欽志, 王立平, 王軍見. 數控機床可靠性試驗和評估技術分析與研究[J]. 制造技術與機床, 2017(11): 17-21.

[3] 張根保, 王立平. 國產數控機床可靠性技術綜述[J]. 航空制造技術, 2013(5): 26-31.

[4] 張彬彬, 王立平, 吳軍. 3自由度并聯機構的動力學各向同性評價方法[J]. 清華大學學報：自然科學版, 2017, 57(8): 803-809.

[5]GB/T 17421.7—2016，全國金屬切削機床標準化技術委員會.機床檢驗通則 第7部分：回轉軸線的幾何精度[S]. 北京：中國標準出版社, 2016.

[6]Test code for machine tools -- Part 7: Geometric accuracy of axes of rotation: ISO 230-7：2006 [S/OL].https://www.iso.org/standard/56624.html，2015-05-15.