一種基于Hugoniot關系的爆轟產物等熵狀態方程*

劉益儒,胡曉棉

(北京應用物理與計算數學研究所，北京 100088)

炸藥爆轟產物等熵狀態方程描述的是熱力學平衡條件下爆轟產物在C-J點后近似等熵膨脹過程中的熱力學狀態參量之間的關系，是炸藥做功能力的主要表征。研究爆轟產物等熵狀態方程對掌握炸藥爆轟性能及發展爆炸力學具有重要意義。

目前爆轟產物等熵狀態方程分為兩類：一類是從理論模型出發的狀態方程，如BKW、JCZ和Williamsburg等熵狀態方程等[1-3]，這類方程形式復雜且計算量較大，不適用于工程計算；另一類為經驗或半經驗狀態方程，最常用的有常γ以及JWL形式的等熵狀態方程[4-5]，這類方程形式簡單、比較適用于工程計算，但往往需要特定的標定實驗確定方程經驗參數，例如常γ狀態方程的經驗參數通過擬合平面爆轟波沖擊靶板的初始自由表面速度實驗數據確定，JWL狀態方程的經驗參數通過擬合圓筒實驗數據確定。這些標定實驗往往成本高、周期長，且在獲得實驗數據后，還需考慮如何合理擬合這些實驗數據，并且目前獲得較好的標定結果還依賴于復雜的二維流體動力學數值計算，這又增加計算成本。

為此，有必要發展一種不需要實驗標定，形式簡單，又能滿足工程計算的爆轟產物等熵狀態方程。本文中基于壓力-粒子速度平面上爆轟產物Hugoniot經驗關系，利用Riemann積分，發展一種新的爆轟產物等熵狀態方程形式，該方程的參數僅為炸藥的初始比容和C-J狀態量，這些參數通過簡單且成本較低的炸藥密度和爆轟參數測量實驗即可直接獲得，避免復雜的參數標定過程，和傳統的經驗或半經驗等熵狀態方程相比，可節約標定參數計算成本。

1 爆轟產物等熵狀態方程建模

1.1 爆轟產物Hugoniot經驗關系

Cooper[6]對136組炸藥爆轟產物壓力粒子速度實驗數據進行收集并建立數據庫，這些實驗數據涉及14種理想或非理想炸藥，初始密度范圍為1.13～7.47 g/cm3。采用的實驗方法包括自由表面速度法和阻抗匹配法：兩者均采用平面爆轟波沖擊不同厚度的的惰性靶板，但前者測量靶板內自由表面粒子速度，將數據外推到零厚度靶板，再利用靶板沖擊Hugoniot關系求得爆轟產物壓力粒子速度數據；后者(如水箱法)測量距界面不同位置處的沖擊波速度或壓力，并外推到界面位置，再利用靶板沖擊Hugoniot關系求得p-u數據。Cooper[6]采用相應炸藥的C-J爆壓pCJ和粒子速度uCJ對這些數據進行無量綱化后，發現，p/pCJ和u/uCJ在高壓和低壓時分別較好地符合二次方函數和冪函數關系，因此擬合得到如下分段形式的爆轟產物爆轟產物壓力粒子速度Hugoniot經驗關系：

(1)

值得注意的是，表征函數分段位置d值的選取與人為判斷有關，并沒有明確物理意義，除了約束條件，d值的選取亦可直接影響擬合曲線的擬合優度。文獻[6]中的擬合曲線的擬合優度值為R2|F1=0.957和R2|F2=0.806，而文獻[7]中的擬合曲線的擬合優度值為R2|F1=0.947和R2|F2=0.789。可見后者的擬合優度不如前者。因此，對函數分段位置做適當調整，即令d=0.06，對實驗數據進行重新分段擬合，得到新的擬合系數為a=2.264，b=-1.528，c=0.264，m=112.5，n=-8.186，從而擬合優度值達到R2|F1=0.966 9和R2|F2=0.901 5。圖1為線性坐標和對數坐標下無量綱參數間關系曲線。

1.2 爆轟產物等熵狀態方程

利用式(1)推出爆轟產物等熵狀態方程的過程如下：

(2)

(3)

根據等熵線上的關系：

(4)

式中:下標S代表等熵狀態量，c為等熵聲速，ρ為產物密度。可以推出如下Riemann積分：

(5)

式中:v= 1/ρ為產物比容。將式(3)代入式(5)，并考慮約束條件a+b+c=1和b+2c=1,整理得：

(6)

式(6)即為提出的爆轟產物等熵狀態方程的具體形式。式中：v0是炸藥初始比容，V=v/v0是相對比容，c、m和n均為1.1節中給出的爆轟產物在p-u平面上的Hugoniot經驗關系擬合系數，是與具體炸藥性能無關的常數，因此不需要針對特定炸藥進行實驗標定。另外可以看到，方程參數僅為炸藥的初始比容v0和爆轟產物C-J點的狀態量即pCJ、uCJ和vCJ，其中v0和pCJ可分別通過簡單的密度測量實驗和爆壓測量實驗獲得，uCJ和vCJ則可以利用下式進行估算：

(7)

式中：D為爆速，通過簡單的爆速測量實驗即可獲得。這些實驗與傳統的爆轟產物狀態方程標定實驗相比，成本顯著降低；另外，由于不需要利用實驗數據擬合經驗參數，從而節約了計算成本。

將本文中得到的擬合系數，即c=0.264，m=112.5，n=-8.186代入式(6)，進一步化簡得：

(8)

為了在模型驗證中進行對比分析，這里將Lanterman[7]的擬合系數，即c=0.258 5，m=206.5，n=-8.62，代入式(6)，得到等熵狀態方程：

(9)

2 模型驗證

為驗證模型的合理性，分別采用式(8)、(9)給出的等熵狀態方程以及JWL等熵狀態方程在p-V平面上繪制了Comp-B、HMX、PETN、ANFO、TNT以及LX-14這6種爆轟性能有明顯差異的炸藥爆轟產物等熵膨脹曲線，如圖2所示。這里采用JWL等熵狀態方程進行對比，是因為該方程能夠比較精確的描述爆轟產物的等熵膨脹過程。炸藥組分質量比、初始密度、C-J爆速和爆壓等參數可參閱文獻[8] 。

描述p-V關系的JWL等熵狀態方程的形式[5]為：

pS(V)=Aexp(-R1V)+Bexp(-R2V)+CV-(ω+1)

(10)

式中:A、B、C、R1、R2和ω是經驗參數，需要通過擬合圓筒實驗數據確定；這6種炸藥的JWL狀態方程經驗參數值列于表1[8]。

從圖2中可以看到，不同于JWL狀態方程描述的連續光滑膨脹曲線，式(8)～(9)給出的狀態方程所描述的膨脹曲線分別在p/pCJ=0.06和p/pCJ=0.1(或V≈2和V≈1.5)位置處出現分段，這很有可能是在擬合分段函數形式的產物Hugoniot經驗關系時，未考慮分段位置處的連續性造成的。另外，與式(9)給出狀態方程曲線相比，式(8)給出狀態方程曲線的連續性以及與JWL等熵狀態方程曲線的符合程度均更好，這說明在擬合Hugoniot關系曲線時，將分段位置從d=0.1調整為d=0.06，不僅提高了Hugoniot關系曲線的擬合優度，還使在此基礎上推出的等熵狀態方程更符合實際情況，因此應優先選用式(8)給出的等熵狀態方程。

表1 炸藥爆轟產物等熵JWL狀態方程參數[8]Table 1 JWL parameter for explosives[8]

現比較分析式(8)給出的狀態方程與JWL狀態方程。可以看到，從總體上看，這2個狀態方程描述的等熵膨脹曲線符合較好，特別是在高壓階段(p/pCJ>0.06)，兩者基本重合。在低壓階段(p/pCJ≤0.06)特別是接近函數分段位置處存在一定差異，可能的原因是：(1)在擬合確定低壓階段爆轟產物Hugoniot經驗關系時，采用的實驗數據樣本不足；(2)從在產物Hugoniot經驗關系基礎上推出的新狀態方程形式上看，高壓段時，方程為指數函數形式(見式(8))，這與JWL狀態方程高壓階段起主要作用的方程形式類似(見式(10)等號右邊第1項)，而在低壓段時，方程為冪函數形式(見式(8))，而JWL狀態方程在這個壓力范圍內(對應于JWL方程的中壓段)起主要作用的方程形式為指數函數和冪函數之和的形式(見式(10)等號右邊第2和第3項)，依此可以判斷，采用的低壓段Hugoniot經驗關系的函數形式可能不是很合理，需要進一步改進。

3 結 論

本文中基于擬合得到的爆轟產物Hugoniot經驗關系，提出一種新的爆轟產物等熵狀態方程，該方程不包含需要實驗標定的經驗參數，方程參數僅為炸藥的初始比容v0和爆轟產物C-J點狀態量，這些參數的測量實驗與傳統的經驗爆轟產物等熵狀態方程參數的標定實驗相比，成本顯著降低；另外，由于不需要擬合方程經驗參數，極大地節約了計算成本。

采用該狀態方程給出了Comp-B、HMX、PETN、ANFO、TNT以及LX-14炸藥的爆轟產物等熵膨脹曲線，與JWL狀態方程描述的等熵膨脹曲線進行比較，發現兩類曲線符合較好，尤其是在高壓階段，兩者高度重合。

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