三層直觀推進概念形成—以《三角形的分類》教學為例

王嬋丹

（浙江省寧波市奉化區實驗小學，浙江寧波 315500）

引 言

作為“圖形與幾何”領域中的《三角形分類》一課，它既承擔著空間與圖形板塊中培養學生空間觀念的重任，又關注著概念理解與圖形表象的關聯建構。設計本課時，筆者根據學生的年齡特點與已有知識經驗，將直觀表象、想象操作與概念的層層建構相結合，幫助學生推理洞察圖形之間的內在意義，完善認知結構。現通過課例分析，期望能成為研究“幾何直觀”的引玉之磚。

一、借直觀操作豐富圖像積累，表征數學概念

直觀操作是學生學習數學有效的認識活動和學習途徑。它既是手與眼的協同活動，又是手與腦的密切溝通。應用直觀操作，不僅能激發學生的學習興趣，還能使學生在感性材料的基礎上加以抽象、概括，啟迪學生自主建構知識，從而促進概念理解。

從實踐可知，直觀操作主要出現兩個問題：一是所畫的三角形形狀單一，學生缺少大量不同形態的三角形表象積累；二是缺少從概念特征出發去畫圖的意識?？梢?，隨意、簡單地畫個三角形并不能幫助學生把握概念本質。所以，教師在教學時既要豐富學生表象感知，又要把握概念特征將表象內化，在直觀操作之前必須深化學生這兩點認知[1]。于是，我們抓住圖形變化的臨界點再次進行了實踐（如圖1所示）。

圖1

（一）第一層：輔“畫”想象，積累表象經驗

雖然畫圖時有了更多的條件限制，但輔以直角三角形的直觀圖，為學生提供一個操作支點，學生就能在操作中領悟“要畫銳角三角形點C該在哪里”。此環節不僅加深了學生對概念的理解，更豐厚了圖形表象。

（二）第二層：借“圖”演示，溝通圖形聯系

動手操作后，學生已初步感知到圖形之間存在一種可以互相轉換的內在聯系，筆者及時、有效地跟進多媒體演示，有效地引導學生用運動的眼光看圖形，溝通內在聯系。

生1：以直角三角形的點C為分界線，點C往上一定是銳角三角形，點C在直角三角形里面是鈍角三角形。

生2：會和線段AB重合。

生3：就不能圍成三角形了，三條邊都重合在一起了。

第二層中借助多媒體，讓靜態的圖形“動”起來，引導學生發現：雖然點C在不停向上運動，但銳角三角形的屬性仍保持不變。一旦圖形屬性發生變化，圖形的名稱也隨之改變，初步領悟到圖形之間的轉化是有一個分界點的。此環節不但溝通圖形之間的聯系，還培養學生用運動的眼光看靜止的幾何圖形。

（三）第三層：動“點”想象，感悟分類結果

“運動的點C只能在豎的虛線上嗎？想象點C在其他位置的三角形圖像?！卑才诺谌龑邮菍η皟蓪拥难a充，讓學生在充分展開想象后，感悟按角分，就有這樣的三類三角形，同時也提升了學生的空間觀念。

操作、觀察、想象，打開了學生探索與研究的閘門，在每次推進中，都引導學生將思維從動手、直觀向想象、抽象過渡，從而實現對按角分的三類三角形概念理解與聯系構建。

二、借直觀感知達成特征交互，推進概念架構

通過實踐，學生在操作中初步建立了三角形的表象，對三類三角形的概念也熟記于心。但解答“三角形中至少有幾個銳角”問題時，發現正確率依然不高。究其原因，應該是探究各類三角形特征時，學生更多地關注了每類三角形的獨特之處，從而忽視了它們的共性部分。為了更全面地理解概念本質，筆者安排了“截角猜三角形”的練習（如圖2所示），實現直觀呈現多元素材，引導學生在對比感知、分層推進中展開想象，進而深入問題核心，完善概念建構。

（一）第一層：借助直觀感知，從個性拓及共性

呈現多元信息，為直觀感知鋪設階梯。讓空間觀念較弱的學生能借助前兩個判斷思路和方法，展開三角形③的想象。

筆者截裁了圖2中三角形③的一個銳角，然后讓學生猜這個三角形是哪種。

圖2

生1：我猜三角形③是一個銳角三角形。

生2：錯，也有可能是直角三角形、鈍角三角形。

師：怎么會有那么多種情況呢？

生3：因為直角三角形和鈍角三角形中也有銳角，也有可能是它們中的一個銳角露在外面，因此無法判斷。

師：（問生1）你明白他的想法了嗎？（生1拿起手中的三角形，演示了這一想法）

實踐中，雖然有一部分學生認為③是銳角三角形，但聆聽了別人思辨后，能自主地想象隱藏的部分。

在上述過程中，學生不僅能關注概念的獨特之處，還能發現每類三角形都有兩個銳角的共性?？梢姡ㄟ^直觀地觀察與感知已經完善了學生對三類三角形概念的理解。

（二）第二層：借助直觀感知，以共性升華個性

通過第一層的想象，部分學生可能會認定，如果提供一個銳角是不能猜三角形的類別的；還有一部分學生還存在疑惑，真的不能猜了嗎？此時，教師再次呈現一個銳角，立即激發了學生再次感知與探索的欲望。當出示“我是這個三角形中最大的一個角”時，將學生的“直觀感知”推向了更高的境界，同時，通過合情推理與想象，在共性中發現與歸納個性特點，完善概念架構。

生：這個銳角是此三角形中最大的一個，藏在里面的那兩個角一定比這個角小，那么這個三角形一定是銳角三角形。

師：你認為必須給你一個怎樣的角，就一定能判斷它是什么三角形？（大部分學生思考后能想到：最大的一個角。）

由此可見，“直觀感知”雖是淺層次的“幾何直觀”，但只要教師合理開發和利用好直觀素材，試著讓學生主動感知發現，進而合情推理，也能從共性中發現個性特點。此時，學生在立足了“直觀感知”的同時已逐步深入對圖形的“直觀理解”，可以說是理性認識的升華，是認識的返璞歸真。

三、借直觀洞察突破表象變化，深化概念本質

從邊和角兩個維度完整把握三角形的概念，既是本課的重點，也是發展空間觀念的重要手段。我們經常安排學生觀察動態的幾何圖形，以期打通兩個維度的連接點。

在這一環節，通過“邊”想象，突破圖形表象的多維變化，溝通“邊”與“角”的兩個維度。在實踐過程中，我們發現，學生在想象過程中雖然打破了存于腦子里的那個寶塔狀的等腰三角形的定式表象，但他們也只能發現這個等腰三角形從角的角度看是銳角（直角、鈍角）三角形，并沒有完整地發現，等腰三角形可以有鈍角、直角、銳角三角形這三種情況，也沒有想到等邊三角形，它一定是一個銳角三角形。

這就是僅停留在直觀感知階段的結果。要推進概念的進一步深化，必須在直觀的基礎上融入洞察和推理，借直觀洞察突破表象變化，促使學生深刻理解概念本質。

（一）第一層：由“動”變“靜”，搭建洞察平臺

由“動態想象”變“靜態描述”，多層次、多角度地幫助學生掌握概念。實踐中，學生能憑借對五種三角形概念的理解，在靜態的直觀圖中，能比較完整地理解圖形之間“邊”與“角”的特點。

（二）第二層：“推理”與“驗證”結合，初引洞察方法

在教師的精心設問下，學生能根據作業紙上的答案（如圖2所示），展開深入的思考。當他們的目光聚焦在答案上時，就能自主地感悟到“等腰三角形可以是鈍角、直角、銳角三角形，但等邊三角形一定是一個銳角三角形”，從而理解和感悟等腰三角形與等邊三角形中的深層意義。

師：為什么圖形④有這么多的名字呢？

生1問：為什么圖①③⑤都有一個A呢？

生2：它們都是等腰三角形。

生3：我發現了，它們雖然都是等腰三角形，但從角的角度看，還可以是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。

生4：我還發現，等邊三角形是特殊的等腰三角形。但它從角的角度看一定是銳角三角形，因為它每個角永遠都是60°。

如果說“直觀操作與感知”是建立空間觀念的基礎，是幾何直觀的初級階段，那么“直觀洞察”就是空間觀念的發展與升華，是幾何直觀向更高層次的發展。唯有在教學中充分利用好它們相輔相成的關系，才能真正借幾何直觀，發展學生的空間觀念。

結 語

綜上所述，幾何直觀作為數學學習活動的一種方式，在發揮其“通過直觀實現簡明”的功能外，還應重視幾何直觀對溝通數學對象之間內在聯系、展現思維活動以及發展空間觀念的作用。當然，幾何直觀并不能獨立存在，它應與感知發現、邏輯推理、直觀洞察等思維活動相輔相成。在教學中只有重視了學生幾何直觀能力的培養，才能更好地讓學生感知抽象的數學知識，更好地領悟數學知識的內涵與意義。