基于量綱分析法的單擺周期進一步推演

楊汝娟，方 雪

（1.麗江市第一高級中學，云南 麗江；2.云南師范大學物理與電子信息學院，云南 昆明）

量綱分析是日常物理教學中重要的板塊之一，其基本原理主要是量綱和諧原理和Ⅱ定理，其中量綱和諧原理適用于比較簡單的物理問題，如果相關變量的未知數不超過5個，而Ⅱ定理則具有普遍使用性。本文通過量綱分析單擺中的周期，說明在物理實驗中解決問題的便利性。

在物理學中導出物理量在SI單位制下由七個基本量構成：長度L，質量M，時間T，電流強度I，溫度K，光照強度Θ和物質的量N，一個所研究物理量的量綱可以用以上的七個基本量的冪次方的乘積 f=LαMβTχIδKεΘφNγ表示，稱這個冪次方乘積的數學關系為該物理量的量綱解析式，其中 α、β、χ、δ、ε、φ、γ 為常數，稱為量綱指數。若一個研究的物理量的量綱指數全部為0，則稱該物理量為無量綱量。

一、量綱和諧原理

量綱和諧原理是指凡能正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的。因為只有相同量綱的量才能相加減，否則是沒有意義的。所以一個方程中各項的量綱必須是一致的，例如連續方程、能量方程和動量方程各項的量綱都是一致的，也就是說各方程式的量綱是和諧的，而且方程的形式不隨單位制的變化而改變。

二、π定理與量綱齊次法則

在研究一個物理現象中，所涉及完整的關系式都可以是無量綱化的。假設某一個物理現象中相關參量有X1，X2…Xk…Xn，之間存在著如下的關系：φ（X1，X2…Xk…Xn）=0

式中 X1，X2…Xk…Xn是由 Z1，Z2…Zk…Zn中 k 個獨立量綱的參量所組成的無量綱參數，通過對原來n個參量的無量綱化，一定可得到n-k個獨立無量綱參數X1，X2…Xk…Xn-k的函數關系式，這就是所謂的π定理。

由上述的函數關系，設有m個基本量物理量，則可組合形成m*n階矩陣，假使該矩陣的秩為r，則有n-r個基本解：Y1，Y2…Y（n-r），使得φ（Y1，Y2…Y（n-r））=0與φ（X1，X2…Xk…Xn）=0相互等價，稱為量綱齊次法則。

圖1 單擺示意圖

三、理想情況下單擺做小角度振蕩的周期量綱分析

單擺是在細繩的一端懸掛著一個具有一定質量的物體，細繩的另一端是固定不動的，而且細繩的質量m比懸掛的物體的質量要小得多，可忽略不計，細繩的形變比繩長l小得多也可以忽略不計，當懸掛物從鉛垂的自熱狀態，沿半徑為l的圓弧移動到初始方位角，然后無初速度釋放，物體受重力的作用下作周期性振動，如圖1所示。

顯然，單擺的振蕩周期t取決于與該物理現象相關的4個參數，即懸掛物的質量m，細繩的長度l，當地重力加速度g以及運動的初始方位角α，于是我們可以得到單擺的振蕩周期t與懸掛物的質量m，細繩的長度l，當地重力加速度g以及運動的初始方位角a之間的關系：

顯然，這里描述的是一個簡單的力學系統，在函數t=f（m，l，g，α）中的自變量，有三個量綱是獨立的基本量，即m、l、g它們的量綱分別是質量（M）長度（L）和重力加速度（g）。上述函數關系式中的α為運動的初始方位角；而因變量t的量綱是時間（T），可以表示為基本量l、g之間的量綱組合，而振蕩周期t與初始方位角α都是導出量，于是我們進行如下量綱矩陣分析：

我們可以把m、l和g取為該問題的基本單位系統，用來度量問題中所有的物理量，根據（1）（2）（5）式可得：

圖2 單擺示意圖

如圖2所示，設單擺的擺錘處于最低點時勢能為零，擺角為θ時擺錘上升的高度y為：

此時單擺的總的機械能為：

不計空氣阻力影響，則單擺的機械能守恒，由（9）（10）式得：

則式（12）變為：

由式（13）可得：

由于k<1，sinu<1，式（14）被積的函數中二次方以上項的值近似為零，可忽略不計，于是有

f（α）實際上是α的偶函數，如果初始方位角α是個很小的角，將f（α）在α=0處作泰勒展開，于是有：

將（17）式帶入（7）式有：

可見，我們使用量綱分析的方法來尋找t=f（m，l，g，α）的關系只需做6組以上的實驗來確定f（α）就足夠了，而使用傳統的測量的方法尋找的t=f（m，l，g，α）關系，假設對于每一個自變量測量10次，那么共要做10*10*10*10次實驗，相比來看，益處太明顯了。

四、小角度下空氣阻尼系數對單擺周期的影響

單擺在空氣的運動是存在阻尼的，而且阻尼系數非常小，但是對擺的運動存在巨大的影響，我們對擺在空氣中的運動進行分析可以知道，擺的運動周期在大角度下是非線性的，而在小角度下的運動是線性的，擺在空氣中的運動周期t可能和質量m、當地重力加速度g、阻尼系數k、擺長l、速度v有關，這里選擇m、g、k、l、v為基本量進行如下分析：

獲得無量綱組合：

式中是某個函數，由（23）（24）（25）式得：

同時乘以質量m

下面我們采用正交實驗方法的思想確定函數φ的具體形式；

函數關系式，可以用以下函數關系式表示：

由函數方程式（29）式可得：

（33）式轉化為

現在對（34）式分析：

將（34）式轉化為

將（30）式帶入（35）式得

（說明：α為擺的初始方位角，θ為擺在運動的過程中移動的方位角，n為所做的正交實驗組數。）

結合單擺的分析，利用量綱分析法闡述了單擺周期的物理分析，可以得出量綱分析對于某一物理現象可以有效地進行物理方程的確立，但由于量綱分析的結果是半定量化的，其中有一些無量綱的參數或函數難以確定，這些參數或函數還需進一步使用其他工具計算，但是量綱分析出的變量之間的關系，可以減少所研究的物理問題的不確定因數。在此基礎上，對于所研究問題的數學模型的建立與確定關系式的一般函數形式，具有較大的實際意義。