從空間到平面

端木彥

解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本原則就是空間問(wèn)題平面化，這里面蘊(yùn)含著降維轉(zhuǎn)化思想.將三維的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維平面問(wèn)題，不僅可以降低思維的難度和運(yùn)算的復(fù)雜程度，還能幫助我們消滅多余信息所造成的思維誤差，大大提高思維的精準(zhǔn)度。

一、圖形維度的轉(zhuǎn)化

課本上，將棱柱描述為平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體，將圓柱、網(wǎng)錐、圓臺(tái)描述為平面多邊形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.再經(jīng)歷投影、三視圖、斜二測(cè)畫法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助我們從不同的角度感受幾何體的平面特征.

這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，既培養(yǎng)了我們的識(shí)圖能力與空間想象能力，又為后面空間關(guān)系的轉(zhuǎn)化打下了基礎(chǔ).

面動(dòng)成體，空間問(wèn)題從平面中來(lái)，最終再回到平面中去，

二、位置關(guān)系的降維轉(zhuǎn)化

證明線面平行與垂直、面面平行與垂直，通常運(yùn)用降維轉(zhuǎn)化的思想方法，通過(guò)平面幾何的一些已知結(jié)論證明三維立體的一些結(jié)論.這種思想方法滲透在立體幾何各個(gè)定理和結(jié)論的推導(dǎo)和形成過(guò)程中.

我們常用類似下面的圖表來(lái)體現(xiàn)空間位置關(guān)系相關(guān)定理與結(jié)論之間的關(guān)系：

其中③指的是“如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行”；⑨指線面垂直定義的逆用，即“一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”；其他的數(shù)字路徑課本中都給出了對(duì)應(yīng)定理。

圖表中的各條數(shù)字路徑均體現(xiàn)了降維轉(zhuǎn)化思想在立體幾何證明中的運(yùn)用。

如路徑④，如何在平面內(nèi)找到與面外直線平行的直線，是一個(gè)典型的空間問(wèn)題.聯(lián)系直線與直線的位置關(guān)系，最終引入經(jīng)過(guò)已知直線的另一個(gè)平面，兩平面的交線即為所求.這樣，將空間問(wèn)題平面化，思維難度得以降低。

義如路徑⑤，在兩個(gè)平行平面中如何尋找兩條相互平行的直線呢？通過(guò)引入第三個(gè)平面使空間關(guān)系平面化，將問(wèn)題解決。

再如路徑⑩，其實(shí)就是利用了二面角的平面角，再次將空間問(wèn)題平面化。這種降維平面化的思想在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)對(duì)理清思路很有幫助.

三、數(shù)量關(guān)系的降維轉(zhuǎn)化

1.空間角轉(zhuǎn)化為平面角

經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作兩條異面直線的平行線，這兩條平行線所成的銳角（或直角）即為異面直線所成角。這一過(guò)程，將空間兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)去研究大小，實(shí)際上也是將三維空間中的兩條直線降維轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，再利用平面幾何知識(shí)去解決問(wèn)題。

2.空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離

四、總結(jié)

立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，其中最重要的就是降維轉(zhuǎn)化思想，它通過(guò)降低問(wèn)題所屬背景的維度，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)。它貫穿立體幾何學(xué)習(xí)的始終，是解決立體幾何問(wèn)題所共通的方法。

熟練運(yùn)用降維轉(zhuǎn)化思想，不僅對(duì)立體幾何問(wèn)題的求解有重要意義，更可以遷移到其他章節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，有機(jī)整合，合理運(yùn)用，形成解決相關(guān)問(wèn)題的有效策略。