通高考 徑自來

馮玉娟 牛鵬羽

【摘要】對2013-2017年全國高考數學選擇題進行了研究，發現在圓錐曲線的考題中，通徑出現的頻率很高，儼然成了解析幾何中一道亮麗的風景線。本文精選幾道高考試題來解之，析之，賞之。

【關鍵詞】圓錐曲線 通徑 選擇題 案例研究

【基金項目】課題名稱：思維導圖“秒殺”高考數學選擇題的案例研究，課題編號：GS[2016]GHB0280。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0138-01

定義

過圓錐曲線（橢圓、雙曲線或拋物線）的焦點F，作一條直線垂直于它的對稱軸，和圓錐曲線（橢圓、雙曲線或拋物線）相交于M﹑N兩點，線段MN就叫作圓錐曲線（橢圓、雙曲線或拋物線）的通徑。

引理

在橢圓與雙曲線中，通徑|MN|=；在拋物線中，通徑MN=2p。

例1（2013，課標2，文10 ）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A， B兩點。若AF=3BF，則l的方程為（ ）

A. y=x-1或y=-x+1

B. y=（x-1）或y=-（x-1）

C. y=（x-1）或y=-（x-1）

D. y=（x-1）或y=-（x-1）

解法賞析：由AF=3BF及+=得

AF=4，BF=。

由AF+BF=AB=得sin2α=，所以斜率k=tanα=±，故選C。

例2（2014，課標2，文10 ）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則AB=（ ）

A. B. 6 C. 12 D. 7

解法賞析：由AB=得AB==12，故選C。

例3（2014，課標2，理10 ）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

解法賞析：S△OAB=S△OAF+S△OBF=OFAFsin30°+OFBFsin30°=OFABsin30°=AB。由AB=得AB==12，所以S△OAB=，故選D。

例4（2015，四川，文7）過雙曲線x2-=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則AB=（ ）

A. B. 2 C. 6 D. 4

解法賞析：因為通徑長為==6，而AB比通徑略長，故選D。

例5（2016，課標2，文5）設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k>0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（ ）

A. B. 1 C. D. 2

解法賞析：由通徑長2p可知P（1， 2），將點P坐標代入y=得k=2，故選D。

例6（2016，課標2，理11）已知F1，F2是雙曲線E：-=1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=，則E的離心率為（ ）

A. B. C. D. 2

解法賞析：由sin∠MF1F2==及MF2-MF1=2a得MF1=a，因為通徑長為，所以MF1==a，即a2=b2，為等軸雙曲線，故選A。

參考文獻：

[1]牛鵬羽，馮玉娟.源于通徑，歸于通徑[J].數學通訊，2013（4）（下半月）.

[2]任志鴻.十年高考分類解析與應試策略（數學）[M].北京：知識出版社，2017.06.

作者簡介：

馮玉娟（1983.03-），女，漢族，甘肅省威武市人， 最高學歷：本科，職稱：中學二級，研究方向：中學數學教學。

牛鵬羽（1984.07-），男，漢族，甘肅省會寧縣人，最高學歷：本科，職稱：中學二級，研究方向：中學數學教學。