被積函數是三角函數乘積的不定積分積分方法

【摘要】不定積分是高等數學的核心內容，不定積分的積分方法有直接積分、換元積分等。利用換元積分有時要先湊微分，然后再換元，但如何湊微分后換元更容易，其中需有一定的技巧，而且如何適當地選擇變量代換沒有一般規律可循。本文主要對被積分函數是三角函數乘積的不定積分進行研究，得出一些規律性的結論作以總結。

【關鍵詞】不定積分 換元積分 湊微分

【基金項目】陜西省教育廳科學研究項目（17JK0962）；陜西省職業技術教育學會2016年度教育科研規劃課項目（SZJY-1657）；商洛職業技術學院2017年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0137-02

不定積分是高等數學的核心內容，對于不定積分的積分直接利用基本積分表中的公式和不定積分的性質，只能計算一些簡單的不定積分，僅靠這些能夠計算的不定積分是非常有限的。換元積分法為比較復雜的不定積分提供了一種方法，它的基本思想是把復合函數的求導法則反過來用于求不定積分。用這個方法，可以通過適當的變量代換，把某些不定積分化為基本積分表中所列積分的形式，從而可以求出不定積分。

換元積分法的第一類是：

定理： 設f（u）是連續函數，F（u）是f（u）的一個原函數。又若u=φ（x）連續可微，并且復合運算f[φ（x）]有意義，則

f[φ（x）]φ'（x）dx=f（u）du|u=φ（x）=F[φ（x）]+C

它的作用在于：當所求不定積分的被積函數以復合函數形式出現時，如果能把被積表達式變為f[φ（x）]φ'（x）dx的形式，而把φ'（x）dx湊成微分dφ（x），則通過變量代換：u=φ（x），可把原積分f[φ（x）]φ'（x）dx化為f[φ（x）]dφ（x）=f（u）du。只要f（u）du容易積出，或可以直接從基本積分公式求得，那么在求得的結果f（u）du=F（u）+c中，再以u=φ（x）代回還原到原積分變量x，便可得到所求原不定積分的結果。這種積分法的關鍵是把被積函數中的一部分與dx湊微分，使被積表達式變成f[φ（x）]dφ（x）的形式，從而可以尋找出所需作的變量代換：u=φ（x），因此，這類換元積分法也稱為湊微分法。

這種換元積分法在求不定積分中所起的作用，像復合函數的求導法則在微分中一樣，在積分學中經常使用。但利用它來求不定積分，一般卻比利用復合函數的求導法則求函數的導數要來得困難，因為其中需要一定的技巧，而且如何適當地選擇變量代換u=φ（x）沒有一般規律可循。本文主要對被積分函數是三角函數乘積的不定積分進行研究，得出一些規律性的結論作以總結。

一、計算型如sinmxcosnxdx（m，n為非負整數）的積分

（1）m和n中至少有一個為奇數

①當m為奇數時，可用sinx與dx湊微分得sinxdx=-dcosx，從而可令u=cosx。

②當n為奇數時，可用cosx與dx湊微分得cosxdx=dsinx，從而可令u=sinx。

（2）m、n均為偶數，則可先用倍角公式降低冪的次數，即利用sin2x=（1-cos2x），cos2x=（1+cos2x）化成cos2x的多項式，然后再換元積分。

例 （1）sin4xdx=（1-cos2x）dx

=（1-2cos2x+cos22x）dx

=dx-2cos2xdx+（1+cos4x）dx

=x-sin2x++sin4x+C

例（2）cos3xdx=（1-sin2x）cosxdx

=x-sin2x+sin4x+C

cosxdx-sin2xdsinx=sinx-sin3x+C

二、計算型如tanmxsecnxdx或cotmxcscnxdx（m，n為非負整數）的積分

（1）當m為偶數時，可把sec2xdx或csc2xdx分別湊成微分dtanx或d（-cotx）。

（2）當m、n均為奇數，可把tanxsecxdx或cotxcscxdx分別湊成微分d（secx）或d（-cscx），從而化成冪函數的積分。

例1 求sec6xdx

解 sec6xdx=（sec2x）2sec2xdx=（1+tan2x）2d（tanx）

=（1+2tan2x+tan4x）d（tanx）

=tanx+tan3x+tan5x+C

例2 求tan5xsec3xdx

解tan5xsec3xdx=tan4xsec2xsecxtanxdx

=（sec2x-1）2sec2xd（secx）=（sec6x-2sec4x+sec2x）d（secx）

=sec7x-sec5x+sec3x+C

三、計算形如sinαxsinβxdx，cosαxsinβxdx和cosαx

cosβxdx的積分，可利用三角函數的積化和差公式

例（1）cosxcosxdx

=cos（1+）x+cos（1-x）dx

=++C

（2）cos2xsin3xdx=[sin（2+3）x-sin（3-2）x]dx

=sin5xdx-sinxdx=cosx-cos5x+C

第一換元積分法在求不定積分中起到了非常重要的作用。要能準確而迅速地掌握這種積分方法，關鍵是要熟悉函數微分的運算及其變形。只有通過多練才能“熟能生巧”，逐步掌握不同類型積分的方法和技巧。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（六版）[M]北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等數學[M] 北京：機械出版社，2013.

[3]黃煒.經濟學[M] 北京：高等教育出版社，2011.

作者簡介：

龔加安（1975-），男，陜西商州人，碩士，商洛職業技術學院副教授，研究方向：不確定性推理和數學教育教學。