偏導數在經濟領域的幾個應用

呂希元

【摘要】本文探討了偏導數求解最大經濟利潤。需求函數關于價格的偏彈性，及構造拉格朗日函數解決經濟函數問題。

【關鍵詞】偏導數 偏彈性 最值

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0112-01

一、由偏導數求解經濟利潤

已知z=f（x， y）在點（x0， y0）的某領域內連續，存在二階連續偏導數，且：f 'x（x0， y0）=f 'y（x0， y0）=0，記：A=f "xx（x0， y0），B=f "xy（x0， y0），C=f "yy（x0， y0）；當B2-AC<0時，（1）A>0時，f（x0， y0）為極小值，（2）A<0時，f（x0， y0）為極大值。

例1：某廠家生產的一種產品同時在兩個市場銷售，售價分別為p1，p2；銷售量分別為q1，q2；需求函數分別為：

q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2

總成本函數為C=35+40（q1+q2），試問廠家如何確定兩個市場的售價，能使獲得的總利潤最大？最大總利潤是多少？

解：總收入函數為：

R=p1q1+p2q2=24p1-0.2p12+10p2-0.05p22

總利潤函數為：

L=R-C=p1q1+p2q2-[35+40·（q1+q2）]=32p1-0.2p12+12p2-0.05p22-1395

得方程組：

=32？鄄0.4p1=12？鄄0.1p2

解得唯一駐點：p1=80，p2=120

由L"=-0.4=A<0，L"=0=B<0，L"=-0.1=C<0

故B2-AC=-0.04<0；

從而，為總利潤函數的極大值點，亦即最大值點，為：L（80， 120）=605。

即當p1=80，p2=120時，廠家獲得最大總利潤為605單位。

二、利用偏導數求解偏彈性

設有甲、乙兩種商品，他們的價格分別為p1和p2，需求量分別為Q1和Q2，記需求函數分別為：

Q1=Q1（p1， p2），Q2=Q2（p1， p2）

則：e11==，e12==；

e21==，e22==

其中：e11為Q1對p1的直接價格偏彈性，e12為Q1對p2的交叉價格偏彈性，e21為Q2對p1的交叉價格偏彈性，e22為Q2對p2的直接價格偏彈性。

例2：若某種商品的需求量Q1是該商品價格p1，另一相關商品價格p2，以及消費者收入y的函數：

Q1=-p1·p2·y

求需求的直接價格偏彈性e11，交叉價格偏彈性e12，以及需求的收入偏彈性e1y。

解：兩邊取自然對數：

lnQ1=-ln10-lnp1-lnp2+lny

從而得：

e11==-，e12==-，e1y==

三、借助拉格朗日乘數法求最值

已知z=f（x， y）為目標函數，條件極值為φ（x， y）=0，先構造輔助函數：F（x， y， λ）=f（x， y）+λφ（x， y）

再求偏導解方程組：

F'x=f 'x+λφ'x=0F'y=f 'y+λφ'y=0F'λ=φ（x， y）=0

例3.若z=f（x， y）的全微分dz=2x·dx-2y·dy并且f（1， 1）=2，求z=f（x， y）在橢圓域D=（x， y）|x2+y2≤1上的最大值和最小值。

解：由dz=2x·dx-2y·dy得：z=f（x， y）=x2-y2+C，又由f（1， 1）=2，得：C=2，故f（x， y）=x2-y2+2；

令：=2x=0=-2y=0，解得駐點（1， 1）。

再用拉格朗日乘數法構造：

F（x， y， λ）=x2-y2+2+λx2+-1

得：F'x=2x+2λx=0F'y=-2y+y=0F'λ=x2+-1=0

解得：駐點（0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0）；又f（0，2）=-2，f（0，-2）=-2，f（1，0）=3，f（-1，0）=3，再由f（0，0）=2，故f（x， y）在D的最大值為3，最小值為-2。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M] .北京：高等教育出版社，2007.

[2]王建福.高等數學（上，下冊合訂本）同步輔導及習題全解[M] .徐州：中國礦業大學出版社.2006.

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