微分中值定理相關證明方法分類小結

【摘要】微分中值定理是《高等數學》中的重要內容，是一組揭示函數與其導數之間的內在聯系的公式，這組公式對于利用某函數的導數所具有的性質（局部性質）去推斷該函數本身應具有的性質（整體性質）是極為重要的。在各類大型考試中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考點，因此掌握這方面的解題方法和技巧十分關鍵。

【關鍵詞】微分中值定理 證明方法 高等數學

【Abstract】Differential Mean Value Theorem is an important theoretical in the higher mathematics.Differential Mean Value Theorem is a group of formula that reveals the intrinsic link between function and its derivative， the formula for the use of the derivative of a function have the properties （local properties） to infer the nature of the function itself should have （overall nature） is extremely important.It is important to test sites，so master problem？鄄solving methods and techniques in this regard is very important.

【Keywords】Differential Mean Value； Proof Method； Higher Mathematics

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0100-02

引言

微分中值定理是微分學理論的重要組成部分，在導數應用中起著橋梁作用，也是研究函數變化形態的紐帶，因而在微分學中占有很重要的地位。利用微分中值定理不僅可以推出后面有關導數的各種應用方法，而且利用它們還可以求解、證明許多問題。但是這些問題往往是數學分析、高等數學中的重點、難點問題，也是考研問題中的考查重點，牽涉類型較為復雜，本文擬就微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理）的相關求解、證明問題加以梳理總結，通過對題目的分類分析，幫助學生們熟練掌握這部分內容。

1.常見問題方法總結

微分中值定理是微分學的基本定理，而且它也是微分學的理論核心，有著廣泛的應用。以下分類總結有關問題的求解證明思路和方法。

1.1證明不等式

例1證明不等式■>1+■-■ （x>0）

證：利用泰勒公式展開

∵■=（1+x）■=1+■+■·■（■-1）x2+■·■（■-1）（■-2）（1+θx）■x3=1+■-■+■（1+θx）■x3 （0<θ<1）

∴■>1+■-■ （x>0）

小結：證明不等式方法多樣，通常利用單調性進行證明。但是特殊情況下可能會利用中值定理，如拉格朗日、柯西和泰勒中值定理來加以證明，有時可以利用凹凸性等方法，相同的一道題可以有多種解法。

1.2 求極限

對于有些求極限的題， 如果使用洛必達法則，求導數的計算量很大。微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法。其方法是對極限題中的某些部分構造輔助函數，使用微分中值定理，然后求出極限。

例2計算

解：∵ex=1+x2 +x4+o（x4） cosx=1-++o（x5）

∴ex+2cosx-3=（+2·）x4+o（x4）

原式==

小結：求極限常用的兩種方法。

（1）選擇適當的函數和區間利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理并結合導函數的特點及極限的迫斂性求得最終結果。

（2）利用泰勒中值定理展開函數后求解。

1.3 證明方程根的存在性和唯一性

例3 若f（x）在[a， b]上連續，在（a， b）內可導（a>0），證明：在（a， b）內方程2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f '（x）至少存在一個根。

證：令F（x）=[f（b）-f（a）]x2-（b2-a2）f（x）

顯然F（x）在[a， b]上連續，在（a， b）內可導，而且

F（a）=f（b）a2-b2f（a）=F（b）

根據羅爾定理，至少存在一個ξ，使

2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2） f '（x）

至少存在一個根。

小結：根的存在性和唯一性問題中如果涉及導數，往往可以利用中值定理來證明：構造函數G（x），使G'（x）=f（x）-g（x），借助于羅爾定理證明根的存在性。而證明根的惟一性，常用函數的單調性或用反證法（利用拉格朗日中值定理）完成。

1.4證明有關等式

在證明一些出現導數和中值的等式時，進行適當的變形后，考慮應用微分中值定理加以證明。我們在證明一些與中值定理有關的題目時，構造輔助函數是解決問題的關鍵。在遇到高階導數或多個中值的證明問題時，可能需要多次使用中值定理或者可以直接考慮利用泰勒中值定理。

例4設f（x）在[a， b]上連續，在（a， b）內可導，0

證： 由于0

由于f（x），g（x）在[a， b]上滿足柯西中值定理 ，所以？堝？濁∈（a， b）使=？圯（b+a）== f'（ξ），ξ∈（a， b）

由上面二式可得？堝ξ，？濁∈（a， b）使得：f'（ξ）=f '（？濁）

. 小結：大體上說，證明在某區間內成立某種等式的方法是：

（1）用兩次拉格朗日中值定理。

（2）用一次拉格朗日中值定理，一次羅爾中值定理。

（3）兩次柯西中值定理。

（4）用一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理。

（5）直接用泰勒公式在相關點展開。

2.結論

無論是對數學專業還是非數學專業的學生，無論是研究生入學考試還是更深層次的學術研究，中值定理都占有舉足輕重的作用，因而對其進行較深層次的挖掘與探討就顯得很有必要。通過以上對微分中值相關證明求解問題的總結，可以幫助學生尤其是考研的同學梳理知識脈絡，熟悉典型問題，以達到對這部分內容深入學習的目的。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，高等數學（第六版）[M]，高等教育出版社，2007.4

[2]陳飛翔等，證明微分中值問題的輔助多項式法[J]，高等數學研究，2010

[3]劉孝書，微分中值問題證明中輔助函數的積分構造法[J]，楚雄師范學院學報，2005

[4]林鴻釗、李德新，證明微分中值命題的一般輔助多項式法[J]，高等數學研究，2012

作者簡介：

張喆（1979～），女，副教授，研究方向：組合最優化。