《數(shù)值分析》課程中應(yīng)用“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式的探討

摘要：隨著互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代信息技術(shù)的快速發(fā)展，傳統(tǒng)封閉的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已經(jīng)越來(lái)越不能夠與時(shí)代相適應(yīng)。作為互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代特有的創(chuàng)新教學(xué)形式——翻轉(zhuǎn)課堂，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了開(kāi)放、個(gè)性化的學(xué)習(xí)空間。本文分析了在“數(shù)值分析”課程中采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法的必要性。結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的特點(diǎn)與研究生數(shù)值分析課程的特殊性，以最小二乘法知識(shí)點(diǎn)為例，設(shè)計(jì)了實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的主要流程和細(xì)節(jié)。

關(guān)鍵詞：翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式；數(shù)值分析；最小二乘法；創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：O241 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）06-0179-03

一、引言

翻轉(zhuǎn)課堂（Flipped Classroom）[1-5]是一種全新的教學(xué)模式，課前教師把將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容的學(xué)習(xí)資料先發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)觀看視頻、在線互動(dòng)答疑、完成練習(xí)等多種方式的課前學(xué)習(xí)來(lái)獲取信息，在課堂上，教師主要是對(duì)學(xué)生遇到的問(wèn)題進(jìn)行指導(dǎo)，做一些綜合性的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題和把握教學(xué)效果。數(shù)學(xué)作為科學(xué)研究與工程技術(shù)中的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，其作用不斷得到深化。如今，數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍已幾乎覆蓋了整個(gè)學(xué)科框架，成為進(jìn)行科學(xué)研究必不可少的技術(shù)手段[6]。而其中，衡量研究生科研能力的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力[7]。數(shù)值分析作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，其研究方向主要包括利用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及相關(guān)理論，隨著研究的不斷深化，數(shù)值分析逐漸成為橫跨數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的雙重交叉性學(xué)科。該學(xué)科的主要特點(diǎn)在于既包含純數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性，又在研究重點(diǎn)上與純數(shù)學(xué)保持不同?！皵?shù)值分析”作為我校電氣工程領(lǐng)域?qū)I(yè)學(xué)位研究生基礎(chǔ)應(yīng)用型課程中的一門(mén)重要科目，對(duì)于學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)以及后續(xù)更高層次課程的學(xué)習(xí)都是有極為重要的作用[8]?！皵?shù)值分析”覆蓋內(nèi)容廣泛，數(shù)值計(jì)算方法介紹章節(jié)梯度較大[9]。該門(mén)課程既保持了純數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性，又突出了應(yīng)用學(xué)科的廣泛性和技術(shù)性，因此被學(xué)界一致認(rèn)為是傳授難、學(xué)習(xí)難的一門(mén)課程。針對(duì)數(shù)值分析課程的上述特點(diǎn)與我校電氣工程領(lǐng)域?qū)I(yè)學(xué)位研究生的要求，本文旨在分析“數(shù)值分析”課程教學(xué)現(xiàn)狀，探討將翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式引入到數(shù)值分析教學(xué)中，改革傳統(tǒng)的研究生教學(xué)方法。

二、教學(xué)現(xiàn)狀

1.教學(xué)學(xué)時(shí)少和教學(xué)內(nèi)容多之間的矛盾。由于數(shù)值分析學(xué)時(shí)少、內(nèi)容多，教師為了在有限的課時(shí)內(nèi)完成所有的教學(xué)任務(wù)，滿堂課只聽(tīng)見(jiàn)教師滔滔不絕地講授著規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容。這種教學(xué)方法的缺點(diǎn)是：對(duì)于課前沒(méi)有預(yù)習(xí)的學(xué)生，如果課堂上有幾分鐘跟不上教師的思維，課后又不及時(shí)復(fù)習(xí)，導(dǎo)致一次課下來(lái)真正掌握的新知識(shí)是非常有限的。另外，由于單是向?qū)W生講授那些最基本的課程內(nèi)容就幾乎占據(jù)了全部的教學(xué)時(shí)間，原本計(jì)劃采用的其他教學(xué)活動(dòng)所占的時(shí)間只能一壓再壓，學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)難以深入。而數(shù)值分析不僅僅是教會(huì)學(xué)生做題，更主要的任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的能力及以創(chuàng)新能力。

2.學(xué)生基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力參差不齊。我校研究生來(lái)自全國(guó)各個(gè)高校，每個(gè)人的學(xué)習(xí)特點(diǎn)以及學(xué)習(xí)能力都有著各自的不同，一個(gè)班級(jí)內(nèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力參差不齊。傳統(tǒng)的研究生教學(xué)，采用以教師講授為主的教學(xué)模式。在這樣的教學(xué)模式下，由于一樣的節(jié)奏，一樣的信息，教師無(wú)法對(duì)每個(gè)學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)，難以滿足每個(gè)學(xué)生的需求。這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)困生覺(jué)得內(nèi)容太難、進(jìn)度太快，而優(yōu)等生覺(jué)得內(nèi)容簡(jiǎn)單、進(jìn)度太慢。另外，研究生經(jīng)過(guò)大學(xué)四年的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的學(xué)習(xí)能力，在課堂上通過(guò)聽(tīng)教師講解來(lái)學(xué)習(xí)新知的過(guò)程，在課下他們也可以自己完成。事實(shí)上，在研究生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該注重更深層次的學(xué)習(xí)，如：拓展加深、遷移運(yùn)用、探究創(chuàng)新等。而上述深層次的學(xué)習(xí)需要在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生互動(dòng)的過(guò)程中完成，需要教師的引領(lǐng)與點(diǎn)撥。

為了解決上述問(wèn)題，筆者認(rèn)為應(yīng)將翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式引入到數(shù)值分析教學(xué)中，改革傳統(tǒng)的研究生教學(xué)方法。

三、“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式在《數(shù)值分析》教學(xué)中的應(yīng)用

下面就最小二乘法的內(nèi)容采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式進(jìn)行說(shuō)明。

1.將學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)放在網(wǎng)上，學(xué)生在課前可以看到，如課題：曲線擬合的最小二乘法；任務(wù)驅(qū)動(dòng)：研究RC充放電直流暫態(tài)現(xiàn)象時(shí)電容器的電壓變化。

【工作實(shí)例】當(dāng)電路通電瞬間或斷電瞬間，直流電路上的電壓或電流會(huì)有一個(gè)短暫的不穩(wěn)定狀態(tài)，稱之為暫態(tài)。電容器具有儲(chǔ)存能量之特性，而儲(chǔ)存能量必須經(jīng)過(guò)時(shí)間的累積，所以暫態(tài)現(xiàn)象在電容上更為明顯，一般稱電容的暫態(tài)現(xiàn)象為充電或放電，如圖1所示。暫態(tài)的時(shí)間通常都只有千分之幾秒而已，然而對(duì)電能的傳輸而言，已經(jīng)算是很長(zhǎng)的時(shí)間了，RC充放電現(xiàn)象在電子與電機(jī)控制工程均時(shí)常用到，故對(duì)于暫態(tài)現(xiàn)象的處理是不容忽視的。

電容器充放電所需要的時(shí)間與電路中電阻值與電容器電容值大小有關(guān)，因此定義RC充放電電路的時(shí)間常數(shù)為電阻器與電容器大小之乘積，符號(hào)為τ，單位為秒，數(shù)學(xué)公式為

τ=R×C………………………………………（1）

由上式得知，R或C值愈大，充放電過(guò)程所需的時(shí)間愈久，一般充放電完成，以時(shí)間5秒為基準(zhǔn)。

RC充電時(shí)，電容電壓為

V■=E×（1-e■）………………………………（2）

RC放電時(shí)，電容電壓為

V■=E×e■……………………………………（3）

所以我們依照如圖1所示RC充放電電路圖，在本實(shí)驗(yàn)中取電源電動(dòng)勢(shì)E=12V、電阻R=100kΩ以及C=200μF，并依照充放電時(shí)間每隔5秒來(lái)實(shí)際測(cè)量電容電壓值，得到如表1所示之?dāng)?shù)據(jù)（略），穩(wěn)態(tài)時(shí)實(shí)測(cè)電壓為11.51V。

問(wèn)RC充放電直流暫態(tài)現(xiàn)象時(shí)電容器電壓隨時(shí)間 t如何變化？

在充電狀態(tài)時(shí)，電容電壓函數(shù)模型為

y=11.5+ae■.

在放電狀態(tài)時(shí)，電容電壓函數(shù)模型為

y=ae■.

為了解決任務(wù)驅(qū)動(dòng)中的工作實(shí)例，需完成兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)——學(xué)習(xí)任務(wù)一：線性最小二乘法。學(xué)習(xí)任務(wù)二：非線性最小二乘法。

2.錄制微課（視頻）。微課（視頻）不僅要講授本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)，錄制視頻特別要注意一個(gè)知識(shí)點(diǎn)與另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的銜接，教師在錄制過(guò)程中要設(shè)計(jì)問(wèn)題，注重知識(shí)點(diǎn)的引入，給出知識(shí)點(diǎn)在電氣工程專業(yè)課程中的一些應(yīng)用等。通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題引起學(xué)生的思考，從而培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)思考、查詢資料的形式來(lái)提高自學(xué)能力以及創(chuàng)新思維。

下面就以《數(shù)值分析》課程第三章中曲線擬合的最小二乘法為例，初步探討基于課題式學(xué)習(xí)的視頻設(shè)計(jì)方案。

本次課的教學(xué)目標(biāo)是掌握用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行擬合的方法，教學(xué)重點(diǎn)是最小二乘法的計(jì)算，教學(xué)難點(diǎn)是掌握用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行擬合的方法。

教師制作與主講內(nèi)容相關(guān)的視頻，內(nèi)容包括介紹一般的最小二乘法的相關(guān)概念、講解如何利用法方程求解、介紹基函數(shù)、基函數(shù)的內(nèi)積等概念及正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合、求解步驟，做到主題突出，內(nèi)容簡(jiǎn)要精練。教師提前一周將已做好的微視頻發(fā)布到教學(xué)平臺(tái)上，供學(xué)生在線或下載學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生觀看教學(xué)視頻，自主探究學(xué)習(xí)。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生觀看教學(xué)視頻，了解并掌握最小二乘法的內(nèi)容，做好記錄完成課前練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生課前學(xué)習(xí)的效果。例如：

練習(xí)1：已知一組觀測(cè)數(shù)據(jù)如表所示，試用最小二乘法求一個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。

練習(xí)2：已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲線。

練習(xí)3：假設(shè)某電氣設(shè)備的使用年限t和所支出的維修費(fèi)用Y（萬(wàn)元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

試預(yù)測(cè)當(dāng)設(shè)備使用10年時(shí)要支出多少維修費(fèi)用？

通過(guò)自主學(xué)習(xí)后，學(xué)生對(duì)最小二乘法有了一定的了解，教師給予相應(yīng)的練習(xí)檢測(cè)學(xué)習(xí)成效。學(xué)生在課前通過(guò)觀看視頻，對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行理解消化，復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)查閱資料或者與同學(xué)討論，如還不能解決，學(xué)生帶著問(wèn)題在課堂上解決。

4.課堂教學(xué)——內(nèi)化課堂知識(shí)，協(xié)作交流學(xué)習(xí)成果。教師根據(jù)最小二乘法的相關(guān)知識(shí)和學(xué)生觀看視頻、課下練習(xí)的實(shí)際情況，總結(jié)出具有探究意義的問(wèn)題，例如：

問(wèn)題一：最小二乘法與前面學(xué)過(guò)的函數(shù)的最佳平方逼近之間的關(guān)系？

問(wèn)題二：寫(xiě)出最小二乘法中的法方程，并與最佳平方逼近中的法方程比較。

問(wèn)題三：已知數(shù)據(jù)

（xi，yi），i=1，L，m，

用于擬合這批數(shù)據(jù)的非線性模型為y=aebx.

（1）如何將該非線性模型線性化？

（2）寫(xiě)出線性化模型中待定參數(shù)的法方程，并求解該方程。

（3）寫(xiě)出非線性擬合函數(shù)。

問(wèn)題四：用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的優(yōu)點(diǎn)是什么？

根據(jù)教師給出的問(wèn)題，學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位展開(kāi)探討。針對(duì)最小二乘法中非線性模型線性化的這一問(wèn)題，小組內(nèi)用辯論、對(duì)話、討論等形式探究問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)，提高了與人溝通交流、協(xié)作互助的能力。

針對(duì)課前提出的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，利用課堂時(shí)間進(jìn)行講解。如前面的任務(wù)驅(qū)動(dòng)中，模型求解部分可以利用MATLAB求出任務(wù)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中的解。

通過(guò)此環(huán)節(jié)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

四、結(jié)束語(yǔ)

翻轉(zhuǎn)課堂革新了傳統(tǒng)的教育理念和教學(xué)思想，它在一定程度上可以改變傳統(tǒng)教學(xué)模式的弊端。將翻轉(zhuǎn)課堂引入研究生數(shù)值分析課程的教學(xué)中，有利于對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。通過(guò)組織學(xué)生合作解決實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，利用教師錄制的視頻進(jìn)行靈活、自主學(xué)習(xí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力、團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新能力等綜合性能力的目的，從而讓他們更好地將數(shù)值分析知識(shí)應(yīng)用到將來(lái)的研究工作中。

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