管道中流體運動的電學對應

王鵬旭

摘 要：平時生活處處可見的管道里，也蘊藏著很多物理知識，流體力學便是其中之一，流體力學中的兩個重要動力學規律分別是理想流體定常流動的伯努利方程和粘性不可壓縮流體定常流動的泊肅葉定律。本文試圖建立流體運動的這兩個動力學規律和電路中電學規律（歐姆定律、基爾霍夫定律等）的對應關系，并據此解釋一些生活現象。

關鍵詞：伯努利方程；泊肅葉定律；歐姆定律；基爾霍夫定律

中圖分類號：O361.3 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）03-0192-01

1 伯努利方程和泊肅葉定律的理論推導

1.1 伯努利方程的內容及推導[1]

定常流動的理想流體服從伯努利方程，即流管中各點處p+ρv2+ρgh為一個常數，其中p、ρ、v、h是該點流體的壓強、密度、速度、位置高度，g是重力加速度。理想流體沒有粘滯，故沒有摩擦損耗，定常流動過程中能量守恒。設想在流體中取任一流管，考慮其在經過Δt的時間的運動過程中，流管兩端的壓力做功為p1S1v1Δt-p2S2v2Δt，流體的動能增加量為ρS2v2Δ-ρS1v1Δ，流體的重力勢能增加量為ρS2v2Δtgh2-ρS1v1Δtgh1，能量守恒要求壓力做功等于機械能的增加量，同時注意到理想流體S1v1Δt=S2v2Δt，故有p1-p2=-，從而流管兩端的p+ρv2+ρgh相等，又由于流管的長度是任意選擇的，所以流管任意位置的p+ρv2+ρgh是一個常數。

1.2 泊肅葉定律的內容及其推導[1]

粘性不可壓縮流體的定常運動中，由于存在粘滯，能量一直在損失，因此需要外力做功維持運動，這導致流體兩端有一個壓強差，壓強差p1-p2和體積流量Qv的關系是Qv=R4，其中η是粘滯系數，L是管道長度，R是圓柱形管道的半徑。考慮定常運動，距離圓柱形管道中心半徑為r內部的流體收到外部流體的粘滯力F=η2πrL應該等于壓力差（p1-p2）πr2，從而得到管道內部流速分布v（r）=（R2-r2），因此體積流量為Qv=v（r）2πrdr=（R2-r2）2πrdr=R4，這便是泊肅葉定律的數學表達式。

2 伯努利方程、泊肅葉定律的電學對應及應用

2.1 伯努利方程的電學對應

結合流量公式Qv=Sv，其中S為截面積，v為流體速度，改寫伯努利方程p1++ρgh1=p2++ρgh2為（p1+ρgh1）-（p2+ρgh2）=ρ，方程左側等效為電勢差，右側體積流量Qv等效為電流，可類比電學中的歐姆定律。但注意對于歐姆定律U=IR，電勢差和電流是正比例關系，而改寫后的伯努利方程右側是體積流量的平方，所以這個對應不是十分自然，從而造成伯努利方程的電學對應無法很好地完成，這本質上是因為伯努利方程中ρv2是一個關于速度v的二次函數。

2.2 泊肅葉定律的電學對應

改寫泊肅葉定律的數學表達式為p1-p2=Qv，類比于電路，壓強差對應著電勢差U，體積流量對應著電流I，流阻（定義為壓強差和體積流量之比）對應著電阻R。因此泊肅葉定理對應著電路中的歐姆定律。同時電路中的基爾霍夫定律也可以很好地在流體運動中得到對應。管道中流體運動滿足質量守恒，考慮是不可壓縮流體，因此體積流量守恒，這對應著基爾霍夫第一定律，也即電流守恒。管道中壓強是位置的函數，因此任一環路的壓強差加和為零，這對應著基爾霍夫第二定律，也即電路中任一回路電勢差之和為零。

相比于伯努利方程情形，泊肅葉定律的電學對應更加自然合理。由于管道中粘性不可壓縮流體的定常運動能夠和電學基本規律（歐姆定律、基爾霍夫定律）完全一一對應，因此，電學中的其他規律可以完全套用到流體運動中來。例如電路中的焦耳定律W=IUt對應流體運動過程中由于粘滯而導致的內摩擦損耗為W=Qv（p1-p2）t。實際上后一規律可以這樣理解，由于是定常流動，所以粘滯導致的能量損耗必須由外界提供的力做功補充，這個力就是壓力，流體兩端的壓力差的功率就是Qv（p1-p2），乘以時間即為壓力做功，并且全部轉換為流體內摩擦導致的能量損失，該能量實際上全部轉換為熱能。另一個例子是，電路規律滿足線性疊加原理，實際上流路也滿足同樣的規律，這里不再展開說明。

我們還可以把電路中的其他一些概念類比至流路中，例如電源、電容等概念。水泵能夠提供壓力差，類似于電源提供電勢差。水箱可以儲水，類比電路中的電容器，在外部使用一個水泵提供壓強差為P時，水的高度差滿足P=ρgh，水的體積變化V=Sh，流容C==。

2.3 伯努利方程及泊肅葉定律的相關應用

生活中有很多問題可以歸結為管道中的流體運動，例如城市自來水管道中的供水問題，由于水的粘滯系數比較小，因此可以考慮為伯努利方程使用的情形。人體血管中的血液循環可以利用泊肅葉定律理解，人體的心臟就可類比為一個電源，為人體的血液流動提供壓強差，動脈中的血壓變化快慢也可以利用泊肅葉定律得到解釋。在人體的主動脈、大動脈、小動脈、毛細血管中，血壓在小動脈中下降最快，在其他地方降速比較慢[2]。考慮一個粗管道分成N個相同的細管道，粗管道中流速為v，細管道中流速為v'，流量守恒要求，細管的橫截面積為S'=，血壓的降速為k=Qv，所以細管道中血壓降速與粗管道之比為。小動脈數目眾多，因此N比較大，同時小動脈中流速和主動脈、大動脈差不多，因此小動脈血壓降速會比較大；毛細血管中血液流速很慢，v'/v接近0，但N也比較大，最終造成毛細血管中血壓降速慢于小動脈，但快于主動脈和大動脈。

3 結語

通過對伯努利方程、泊肅葉定律及其電學對應的研究，可以將電學中的諸多概念和規律類比到流體運動中，我們發現泊肅葉定律和電學規律能夠完全一一對應，這為解決管道中流體運動的問題提供了一個全新的思路，這些結果可以應用至城市水管建設、血液流動研究等方面。因此該對應有著廣泛的理論和實際用處。

參考文獻

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學[M].北京：高等教育出版社，2004：236-251.

[2]侯玉林，喬慶軍.泊肅葉公式及其在血液體循環中的應用[J].南陽師范學院學報，2006，5（9）：38-40.