針對地球物理專業的計算方法課程改革

李靜爽

摘要：本文主要針對地球物理專業的特性，從計算方法這門課程的主要教學內容出發，探討如何針對專業特性，對該課程進行課程改革。文章主要探討了在線性方程組的求解、插值方法和非線性方程求根這三部分內容的教學過程中，應如何與地球物理專業相結合給出延伸和應用舉例。

關鍵詞：計算方法；地球物理；插值方法；線性方程組

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）06-0078-02

計算方法又名數值分析，是一門研究并解決數學問題的數值近似解的課程。有關計算方法課程建設的研究很多，但是專門針對地球物理專業的計算方法課程建設研究并不多見。本校計算方法作為地震方向學生培養計劃中的必修課，主要內容包括：誤差理論、解線性方程組的直接法和迭代法、非線性方程求根、插值和擬合、數值微積分和常微分方程數值解法。顯然該門課程內容十分豐富，但是由于不是針對數學系學生的課程設置，學時包括課內上機一共40學時，相對較少。如何在有限的時間內，有效地針對專業特性傳授給學生最有用的知識，是我們要思考的問題。本文針對這一問題，談一談針對地球物理專業的學生，對計算方法這門課程的教學改革。

面對非數學專業的學生，以能正確選擇計算對象的計算方法為前提，領會計算原理和掌握計算的邏輯結構為主干線，淡化數學理論部分的證明，強化數值方法與計算機技術的應用能力訓練，注重學習計算方法中的基本數學思想和常用手法，培養和訓練數值近似計算能力。可以考慮結合地球物理這個專業的專業特點，選擇合適的具體問題，通過講解其解決方法和所學數值方法在其中的實際應用，激發學生學習興趣，增強學生科學意識，培養學生的創新能力。對于課程設置與訓練要既能激發基礎好的同學多深入思考，同時也能使那些數學基礎薄弱的學生容易理解和掌握基本的數值計算方法，并能觸類旁通地應用到各自的領域中，為他們繼續深入學習計算方法打好基礎，或者初步具備解決工程和實際應用中的數值計算問題的能力。教學內容的改革，應根據學時設置和學生專業特點，仔細甄選教學內容，合理安排教學進度。通過引入一些地震勘探相關實例（如地震波數值模擬，地震數據分析和地下結構成像等），對涉及到的數值方法進行應用分析，使得教學更具有針對性，從偏重數學的抽象、形式化和純數學技巧向注重應用意識和應用能力方向轉變。這里結合計算方法這門課程幾個主要章節的主要內容，選取幾個方面來談一談。

一、線性方程組的求解

傳統教學中，求解線性方程組的直接法和迭代法理論部分講解完成之后，通常不會引入與專業相關的實例。這里可以考慮給出以下兩個實例。

第一個應用與數值計算中流行算法之一——有限元方法相關。有限元方法由于網格剖分靈活、邊界處理容易等優點，是很多數值計算問題中常被選擇的方法。同樣地，地球物理領域也有很多數值計算問題可以選擇有限元方法，例如地震波場的數值模擬。而有限元方法中關鍵的一步，就是將剛度矩陣作為系數矩陣的一個大規模線性方程組的求解，此時必須用到計算方法的知識，并且在這個問題中，根據線性方程組的規模，能夠進一步探索直接法和迭代法的優劣性和適用性。

另外一個求解線性方程組的應用，可以考慮頻率域地震波場的數值模擬。由于頻率域的特殊性，再加上人工吸收邊界條件的應用，可以說在頻率域求解波動方程，最重要的一點就是如何高效高精度地求解一個大規模的線型方程組。也可向同學大概展示一下該線性方程組的規模和復雜性，并提出對于這樣的問題，我們講解的這些初級方法可能未必能滿足求解的需求。有時若要滿足需求，需要學習預處理以及高等數值分析中講解的更復雜的求解線性方程組的數值方法。這樣對于基礎較差或一般的同學了解了自己學習的知識有什么應用，而對于基礎較好或打算繼續深造的同學也會了解現階段學習的只是最基本的方法，將來可以到哪方面尋求更多的知識和幫助。總體上，對于各個層次的同學都會對這部分知識的應用有一個直觀的了解，所學內容不僅有用，而且要解決更復雜的問題還遠遠不夠。

二、插值方法

由于學時的限制，對于插值方法這部分內容，本課程主要講解拉格朗日插值和牛頓插值方法，同時介紹為了避免龍格現象，而采用分段插值，最后簡單介紹樣條插值等稍復雜的插值方法。傳統教學中，應用實例最多是給出一組數據，進行一下插值練習。實際上，插值在地球物理專業的應用更加普遍，可以從地震數據的處理、非一致網格數值算法和混合數值算法三個方面簡單介紹一下插值的應用。

1.實際地震數據由地震臺站接收到的地震信號，一般有三個維度，即是位置坐標x，y和時間t的函數。圖1顯示的為一個地震數據集示例。由于設備和各種條件的限制，關于這三個變量都可能會出現欠采樣，即采樣不夠密集的情況。而要想對地震數據加以利用，例如利用地震數據對地下結構成像，就需要對地震數據進行插值，例如簡單情況下，可能對于時間方向進行線型插值就可以了，而對于空間可能需要精度更高，更復雜一些的插值方法進行插值處理。

2.有很多數值問題，要進行網格剖分，在離散的網格點上進行數值計算。顯然，同一計算區域，網格步長越大，網格點越少，計算效率越高。但由于數值算法穩定性條件等限制，網格步長的大小是有要求的，否則會引起數值算法的不穩定，沒辦法進行有效的計算。所以有時為了提高計算效率，可以對于不同的區域進行不同網格步長的網格剖分，有的地方用粗網格，有的地方用細網格。那么在粗細網格交界的地方，就需要用到插值算法。此時插值方法選用不得當或者精度過低，會出現由于人為原因產生的偽波動。

3.混合算法是采用兩種以上的數值方法，不同的數值方法網格剖分不同，所以在交界處也需要插值處理，例如有限元方法和有限差分方法混合，有限元方法常常采用三角網格剖分，有限差分方法常采用矩形網格，在兩種方法交界處需要插值來提供網格點上本沒有的數值，這時往往需要較高精度的插值方法小心處理，否則會引起人為的偽波動，造成兩種方法的不兼容。

三、非線性方程求根

在地球物理中有很多問題最終轉變為一個優化問題，例如速度分析、地震層析成像、全波形反演等問題中都涉及到優化問題，而最終轉化為一個線性或非線性方程組的求根問題。因此在講解非線性方程求根這里，可以將其簡單引申到非線性方程組的求根問題，說明其應用很廣，在地球物理中有哪些應用，并介紹可以自學或到高等數值分析中進一步學習。

本文針對地球物理專業的學生，從計算方法的幾大教學內容上探討該課程的課程改革，使其更具有針對性，可以使得學生將這門課程的學習與自己本專業進行有機結合，并且對計算方法在本專業的應用有更直觀和明確的了解，進一步開拓學生的視野。