經典電偶極子在交變電場下的運動

王榮秀，王 波

(1.重慶工商大學， 重慶 400067； 2.重慶理工大學， 重慶 400054)

電偶極子模型是一個非常重要的基礎模型，在涉及電磁場與物質的相互作用、電磁波的發射和吸收、分子原子的相互作用理論等領域有著十分廣泛的應用[1-2]。例如，利用偶極子模型用于研究近場光學顯微鏡和樣品的相互作用等問題[3-5]。在研究電介質及其與電場的相互作用時，也往往采用電偶極子模型，如電介質的極化[6]、鐵電體材料中電疇分布與轉向等問題[7-8]。在已有的文獻中有一些關于電偶極子的研究報道，如偶極子激發的電場和磁場分布[9]、偶極子與偶極子的相互作用[3]、偶極子在靜場中的運動[10]等。這些研究大都將外場看成是靜場，或將偶極子看成是靜止或勻速運動，沒有討論偶極子中正負電荷粒子由于加速運動而激發的電磁場對其本身運動的影響，同時對偶極子在外場中的轉向問題也研究不多。

詳細研究偶極子的運動規律需要應用量子場論的基本理論，但在低速經典的近似條件下也可以得出一些具有普遍意義的結論[1-2,11]。本文針對交變電場中的電偶極子的運動進行研究，建立了正負粒子運動方程，討論了偶極子的運動特點及在靜場/準靜場情形下偶極子的轉向運動。

1 電偶極子及其相互作用

1.1 低速運動的帶電粒子

(1)

此即為單位時間內粒子輻射出去的能量。

(2)

在一般情況下，式(2)并不是嚴格成立的，因為沒有考慮粒子加速運動時，其附近的電磁場也在變化，因此式(2)不代表瞬時關系，而是一種時間的平均效應。假如粒子作準周期運動，在1個周期之后，粒子附近的場回到原狀態，則阻尼力所作的負功等于輻射出的能量，由此對式(2)進行1個周期的積分是可行的。設周期為T，則

當粒子運動1個周期后，速度與加速度回到原值，第1項積分為0。就平均效應來看，取

(3)

(4)

1.2 電偶極子模型

由式(1)(2)可知：在無外力或外場作用時，偶極子正負粒子在其平衡位置附近振動，由于具有速度與加速度，還會受到電磁阻尼與對偶粒子激發的電磁場的作用。

2 電偶極子在交變電場下的運動

2.1 偶極子運動方程

(5)

(6)

(7)

(8)

2.2 方程求解

對方程(5)～(8)求解時討論兩種較典型的情況：m1=m2及m1>>m2。

當m1=m2=m時，令：Xn=x1+x2，Yn=x1-x2，Xt=y1+y2、Yt=y1-y2，則：

(9)

(10)

(11)

(12)

其中c3、c4、d3、d4也是常數。

2.3 偶極子的轉向

偶極子轉向是由于正負粒子相對于平衡位置所產生的位移，但主要取決于垂向位移。設θ的增量為Δθ，正負粒子之間的距離近似為l0，則有：

(13)

(14)

負號表示角θ沿減小方向變化。

由于偶極子轉向運動在靜場或準靜場條件下才是明顯的，不妨假定ω≈0。此時式(14)與單擺運動方程相同，表明偶極子以電場方向為軸向作擺動。如不考慮其他外力的作用，衰減項的存在使得擺動的幅度慢慢變小，最后偶極子取向沿外場方向，正負粒子在其平衡位置附近作小幅振蕩。當θ很小時，式(14)就是簡諧振動方程。

當ω≈0時，由式(14)可解得

(15)

2.4 m1>>m2時的偶極子運動

當m1>>m2時，m1位置近似為質心，其位移和速度很小，可忽略不計。此時重要的是m2相對于m1的運動，因此只考慮m2的運動方程。取x1=y1=0，并記m2=m，由式(6)(8)可得：

(16)

(17)

可以看出，除常系數2外，式(16)與式(10)相同，式(17)與式(12)相同，其解分別為：

此時偶極子的運動特點與本文3.2和3.3節所述類似，本文不再重復分析。

3 結束語

在外加交變電場作用下，除由粒子間彈性恢復力引起的諧振外，電偶極子的主要運動是隨外場頻率作受迫振動。同時，由于其正負粒子運動所激發的電磁場，還會受到自身的電磁阻尼及對偶粒子橫向電場的作用。偶極子的質心可以近似地看成靜止或作勻速運動，正負粒子沿軸向及垂直方向的運動具有對稱性。粒子沿軸向的運動是受迫帶阻尼的諧振運動，當外場頻率接近電偶極子的固有頻率時，發生受迫共振，而沿垂向則是受迫阻尼振動。二者與外場相比均存在相位相差90度的弱小分量。在外場頻率較高時，偶極子主要表現為在其平衡位置附近的振動，電偶極矩與外場方向的夾角變化較小，不出現明顯的轉向運動；在靜場或準靜場條件下，電偶極子發生轉向運動，其運動形態類似于單擺繞軸線的周期運動，其角速度大小依賴于偶極子初始狀態，并與電偶極矩與外場夾角有關。

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