直達與非直達環境中的多目標解耦直接定位方法

尹潔昕，王鼎，吳瑛，劉瑞瑞

解放軍信息工程大學 信息系統工程學院，鄭州 450001

無源定位在無線通信、遙測與導航等諸多工程科學領域具有廣泛應用。現有定位技術主要是基于到達時間(Time of Arrival，TOA) 、到達角度(Direction of Arrival，DOA)等參數進行定位，這些定位技術對接收端是否有非直達(Non-Line-of-Sight，NLOS)徑信號非常敏感。非直達徑的存在會帶來TOA與DOA等測量參數的偏差，從而對定位結果造成影響。然而，在很多環境中，用以目標位置解算的測量參數都不是僅在信號直達(Line-of-Sight，LOS)情況下獲得的，因此，研究LOS與NLOS混合環境中的定位方法具有重要意義。

傳統的定位技術分為兩步進行，第一步先從原始信號抽樣中估計定位參數(例如DOA與TOA等)，第二步是基于這些參數進一步確定目標的位置信息[1]。當非直達徑存在時，兩步定位方法需要解決兩方面問題：NLOS識別與NLOS影響消除[2]。前者用于確定測量結果是否受到非視距影響，后者利用定位算法抑制 NLOS造成的誤差?，F有消除NLOS影響的兩步定位算法一般可以分為兩類：統計方法與參數化方法[3]。統計方法[4]將NLOS誤差看做具有一定統計特性的偏差，辨識NLOS觀測量后，根據其概率分布或者其他先驗統計特性，利用魯棒的方法如魯棒最小二乘算法等[5-6]以消除NLOS誤差的影響；參數化方法[3,7]綜合考慮信號的傳播路徑和障礙物或反射體的狀態，利用定位場景的幾何分布實現NLOS存在下的定位，其中障礙物或反射體的位置信息一般依靠預先精確測量的電子地圖等[8-9]，有時與目標位置聯合估計得到。相比于統計方法，參數化方法能夠充分利用信號在多徑場景中的傳播特性，在LOS觀測量較少的情況下可以獲得更高精度的定位結果。

然而，NLOS兩步定位技術存在以下不足：首先，從信息論的角度來看，兩步定位體制難以獲得漸近最優的估計精度，因為從原始數據到最終估計結果之間每增加一步處理環節，就會損失掉一部分信息，從而影響最終的定位精度，在低信噪比和小樣本數條件下該現象尤為明顯；其次，NLOS判別的準確與否，以及“目標-量測”的數據關聯正確與否都會直接影響最終的定位精度，而如何將信號測量參數與目標的直達徑、非直達徑進行準確關聯又是一個具有高復雜度且不易實現的問題[10]。

為了解決傳統兩步定位技術的不足，目標直接定位(Direct Position Determination，DPD)技術[11]被國內外學者所關注。這種目標直接定位方法的基本思想是從原始信號抽樣中直接估計目標的位置信息，而無需再估計其他中間參量，如DOA與TOA等參數，因此也可稱其為單步定位體制。大量文獻已經驗證[12-21]：DPD定位方法比傳統兩步定位方法具有更高的估計精度和更低的分辨門限，并且能夠有效避免數據關聯問題。然而，當前針對LOS與NLOS混合環境中的無源直接定位方法研究并不多，文獻[10]提出了一種基于時域信號處理的子空間類方法，該方法通過利用時域信號的部分先驗信息以及反射體的位置信息，建立了關于多目標位置的MUSIC (MUltiple SIgnal Classification)函數，從而實現對多目標的直接定位。因該方法利用了子空間思想，在低信噪比情況下性能下降，無法達到相應的克拉美羅界(Cramér-Rao Bound, CRB)。文獻[16-17]分別利用單個運動陣列和單個靜止陣列作為接收站，同時設置多個轉發器作為理想反射體，通過利用多徑信號到達角度與時延關于觀測站、反射體與目標位置參數的數學關系，在信號波形已知和未知兩種情況下建立了最大似然函數用以實現對單個目標的直接定位。最大似然類方法能夠逼近相應的CRB，但是文獻[16-17]中的方法僅涉及單個目標場景，而實際中多個目標經常同時存在，對多個目標進行最大似然直接定位往往需要高維搜索或者非線性迭代，因此有必要研究更加普遍且更加復雜的直達與非直達環境中的多目標直接定位問題。

基于上述研究現狀，本文針對LOS與NLOS混合場景中的定位問題，提出了一種波形已知條件下的單站多目標直接定位算法。定位系統采用單個靜止陣列為觀測站，類似于文獻[10,16-17]，本文也利用了多徑信號到達角度與時延關于觀測站、障礙物(或反射體)與目標位置參數的數學關系；不同的是，本文對三維的定位場景進行研究，并且建立了關于多個目標位置的最大似然函數。這里考慮了發射時間已知和未知兩種情況，為了簡化計算，通過利用已知的波形信息，將多個目標位置的求解問題解耦為對各個目標單獨求解，避免了多目標定位中的高維非線性優化問題。由于本文算法增加利用了目標信號波形信息，因此其定位精度優于未充分利用波形信息的子空間DPD算法[10]。此外，本文對所提算法與其他已有算法的計算量進行了對比分析，并基于LOS與NLOS混合環境中的多目標定位場景，推導了發射時間已知和未知兩種情況下關于目標位置的CRB。

本文的內容安排如下：第1節針對LOS與NLOS同時存在的定位場景，給出了多目標的三維定位模型；第2節建立了算法的數學優化模型并設計了多目標的解耦算法；第3節對比分析了本文算法與已有算法的計算量；第4節推導了多徑環境中關于多個目標位置估計的CRB；第5節通過仿真將本文算法的定位性能與傳統兩步定位方法、基于子空間的多目標DPD算法進行了對比與分析；第6節對全文進行了總結。

1 三維多目標定位模型

假設有一個觀測站位于uo，由某M元天線陣列組成?，F有Q個靜止穩態的待定位的遠場目標源發射窄帶信號，其中第q個目標輻射源的位置向量為pq(q=1,2,…,Q)。目標區域內有NR個障礙物(或反射體)，假設他們的位置已知，用向量un(n=1,2,…,NR)表示。目標區域內障礙物的存在導致Q個目標的發射信號除了直達徑，同時存在非直達徑傳輸，令Lq(Lq≤NR+1)表示第q個信號到達該觀測站的多徑數。由于多跳信號的功率很小，本文考慮單跳的NLOS場景[3,18]，該定位場景示意圖如圖1所示。

根據上述定位場景，信號到達觀測陣列各個陣元的時延由兩部分組成[10,16]：一部分是陣元間時延差，即信號到達各個陣元相對于觀測陣列參考點的時延，由于本文所研究的是遠場窄帶信號，該時延差體現為載波的相位偏移，它與到達角度有關，包含在陣列流型響應中；另一部分是路徑傳播時延，即信號從目標位置經過直達徑或者非直達徑到達觀測陣列參考點的時延，它體現為信號包絡的時延，其大小與傳播路徑長度成正比，與到達角度沒有強相關性。

(1)

式中：r為均勻圓陣的半徑;c為電波傳播速度。

第q個目標輻射源經由第l條徑所產生的陣列流型響應a(θq l,φq l)可以表示為[22]

(2)

式中：fc為發射載頻。

圖1 直達與非直達混合環境中的多目標定位場景Fig.1 Multiple targets positioning scenes in mixed LOS/NLOS environments

(3)

τq l所表示傳播時延的相應路徑如圖1所示(以目標1的傳播路徑為例)。

那么，在0≤t≤T時刻觀測陣列的輸出響應r(t)可以表示為[10]

(4)

將觀測陣列接收到的信號分為K段，每段長度為T/K，對每段數據在t=jTs(j=1,2,…,J)時刻進行采樣，Ts為采樣周期，得到第k段采樣數據的時域信號表示為

r(j,k)=

k=1,2,…,K;j=1,2,…,J(5)

為了提取信號的時延信息，對每段采樣數據r(j,k)分別做離散傅里葉變換，得到相應的頻域信號表示為

k=1,2,…,K;j=1,2,…,J(6)

由于直達徑的DOA與TOA，以及非直達徑的TOA均與目標的位置信息有關，而非直達徑的DOA與TOA與障礙物或反射體的位置也相關，這里將他們之間的具體關系為

(7)

k=1,2,…,K;j=1,2,…,J(8)

式中：

Aq(j,pq)=

(9)

αq=[αq0αq1…αq(Lq-1)]T∈CLq×1

(10)

進一步，將式(8)寫為更簡潔的矩陣形式：

k=1,2,…,K;j=1,2,…,J(11)

式中：

(12)

2 多目標的解耦定位

在目標信號波形信息先驗已知的條件下，本節將給出基于最大似然(Maximum Likelihood，ML)準則的目標位置最優估計。分為兩種情況分析：發射時間精確已知與發射時間未知。

2.1 發射時間已知

(13)

(14)

由于未知參數中包含了多個目標的信息，直接對式(14)求解將是一個高維的非線性優化問題，因此本文利用已知且獨立的波形信息對多個目標進行解耦求解。類似文獻[19]的推導過程，可以將式(14)的最小化等價為對式(15)的最小化：

(15)

(16)

(17)

(18)

那么，利用式(17)和式(18)，將高維的非線性優化問題轉化為Q個較低維的優化問題，對第q個目標有關參數的求解即為

q=1,2,…,Q

(19)

式中：

(20)

其中：

(21)

利用嵌入式優化的思想優化目標式(19)，首先固定目標位置來估計αq，計算目標函數Vq(p,α)對α的共軛梯度為

(22)

(23)

接著將式(23)代入到式(20)中，可得

(24)

式(24)中的第一項與待估計參數無關，可將其省略。因此，在發射時間已知的情況下，對pq的估計為

q=1,2,…,Q(25)

其中：

(26)

2.2 發射時間未知

(27)

式中：

(28)

由于to的存在，若直接對式(28)進行搜索求解，計算量較大，因此這里將推導目標函數的近似求解來進一步降低計算量。將式(28)進一步寫為

(29)

(30)

至此，將目標位置和發射時間的目標函數近似為了只與位置有關的函數。那么，令

[F(p)]:,j=

(31)

在發射時間未知情況下，對目標位置的估計為

q=1,2,…,Q(32)

式中：

(33)

其中：‖·‖1為矩陣的L1范數。

2.3 討 論

根據上述推導，在發射時間已知和未知兩種情況下，均能通過在目標區域內的三維搜索實現對每個目標的定位。需要指出的是，在實際中當目標的多徑數未知時，目標區域內的障礙物個數可由電子地圖預先獲得，在求解過程中可將Aq(J,p)用如下矩陣代替：

AR(J,p)=

(34)

因此，相比于傳統兩步定位方法，本文給出的直接定位算法無需對多徑數進行估計，并且避免了對NLOS觀測量的識別，具有天然的抗偽徑作用，即能夠有效克服傳統定位方法中對多徑數量的過估計[10]所帶來的誤差。

此外，這里對定位系統的可觀測性進行分析。針對發射時間已知的情況，對于第q個目標，能夠獲得的有效定位參數包括直達徑的二維DOA與各徑到達接收站的TOA(非直達徑的DOA與目標位置無關，不能增加定位信息量)，參數的維數為Lq+2；未知參數為三維目標位置pq，維數為3。為了保證參數的可辨識性，已知參數的維數不能低于未知參數的維數，即需要滿足：

Lq≥1

(35)

此時，觀測站只要接收到目標的直達徑信號，就能保證定位系統的可觀測性。

Lq≥2

(36)

式(36)說明，在發射時間未知的情況下，觀測站至少要同時接收一條直達徑與一條非直達徑信號，以保證定位系統的可觀測性。事實上，當發射時間未知時，雖然無法完全利用所有徑的傳播時延信息，但可以損失一條路徑的傳播時延來獲得其他徑與它的到達時間差信息。

3 計算量分析

為了簡化問題，本節在對復雜度的統計中假設Lq已知，且NLOS參數識別以及每條徑的TOA/DOA數據關聯正確，不考慮Lq的估計以及兩步定位中數據關聯的復雜度。由于對目標位置搜索的網格個數一般遠遠大于陣元數、頻率分量個數等參數，因此這里忽略對目標位置網格搜索前的數據處理計算量，主要考慮對目標位置搜索過程的計算量，以實乘運算個數來表征計算量的大小[17]。基于此，本節針對發射時間已知的情況，統計了本文DPD算法與傳統兩步定位方法(TOA、DOA參數估計與定位解算均采用ML算法)的計算量；針對發射時間未知的情況，統計了本文DPD算法、子空間DPD算法[10]以及傳統兩步定位方法的計算量。相應的計算量表達式如表1所示。

為了更加直觀地比較幾種算法的計算量，利用文獻[20]的方法，假設目標搜索范圍在d×d×d的區域內，每個坐標方向的網格大小為Δd，那么目標位置搜索網格數為

(37)

在兩步定位中，為了實現相同的目標位置搜索精度，相應的方位角搜索網格、俯仰角搜索網格以及時延搜索網格大小約為[20]

(38)

假設對Δθ的搜索在π范圍內，對Δφ的搜索在π/2范圍內，對Δτ的搜索在d/c范圍內，結合式(37)與式(38)，可以得到Nθ、Nφ、Nτ與Np之間的關系為

(39)

將式(39)代入表2各個算法的計算量表達式中，能夠得到對比算法與本文算法計算量之間的關系。

在發射時間已知條件下，兩步定位方法與本文算法的計算量之比為

(40)

表1 計算量對比Table 1 Comparison of computations

注：Np、Nθ、Nφ和Nτ分別表示搜索目標位置的網格個數、搜索方位角的網格個數、搜索俯仰角的網格個數以及搜索時延的網格個數；M為陣列中陣元個數。

在發射時間未知條件下，子空間DPD算法與本文算法的計算量之比為

(41)

同樣在發射時間未知條件下，兩步定位方法與本文算法的計算量之比為

(42)

因此，從式(41)可以看出本文算法與子空間DPD算法的計算量相當。根據2.3節的討論可知，在發射時間已知條件下，需要Lq≥1，那么式(40)說明本文算法比兩步定位方法的計算量更低；在發射時間未知條件下，需要Lq≥2，由于Np一般遠遠大于其他參數，那么式(42)說明該情況下本文算法仍比兩步定位方法具有更低的計算量。綜上，相比于傳統的兩步定位方法，本文算法所需的計算量更低，更易于實現。

此外，還能得到本文算法在發射時間未知和發射時間已知情況下的計算量之比為

(43)

該結果說明未知的發射時間會帶來計算量的增加，從式(43)可以看出該計算量的增加并不多，這是由于本文對未知發射時間條件下的目標函數進行了有效近似。

4 性能界

由于本文關注對多目標的直接定位，本節將推導發射時間已知和未知兩種情況下多個目標位置估計的克拉美羅界，為評價算法的定位性能提供理論標準。

針對波形已知發射時間未知的情況，將所有未知實參量用矢量ρ表示，即為

(44)

基于本文的頻域陣列信號模型(式(11))，根據文獻[21]，對參數ω估計的CRB可以通過式(45)計算得到：

CRB(ω)=

(45)

令

(46)

可以將式(45)改寫為

(47)

(48)

進一步，將Γω作如下分塊：

(49)

本節目標是得到僅關于目標位置的CRB，由于式(48)中的CRB(ω)沒有對角結構，不容易直接計算關于目標位置的性能界。為了獲得具有對角結構的CRB表達式，這里將未知參量ω作如下重新排列：

(50)

式中：

(51)

其中:{·}?表示矩陣的Moore Penrose逆。矢量ω′與ω的關系為

ω′=Jω

(52)

式中：

(53)

由文獻[23]中證明的定理，可得矢量ω′的CRB為

CRB(ω′)=JCRB(ω)JT=

(54)

利用式(51)與式(53)可得

(55)

將式(51)代入式(55)中，再聯合式(49)，有

(56)

(57)

式中：

(58)

至此，式(57)中的CRB具有對角結構，那么在波形已知發射時間未知情況下，關于目標位置的CRB表達式為

(59)

針對波形已知發射時間已知的情況，類似于上述推導，可以計算出相應場景下僅關于目標位置估計的CRB為

(60)

對比式(59)與式(60)，不難得到：

(61)

即未知的發射時間將導致定位精度降低。

5 仿真與結果分析

為了驗證本文所提直接定位方法性能的優越性，該部分通過數值仿真將以下3種算法與本文算法的定位性能進行對比：

1) 基于子空間的多目標直接定位算法[10]，沒有充分利用先驗已知波形，無需發射時間信息。

2) 基于DOA與TOA的傳統兩步定位算法，波形先驗已知但發射時間未知，假設NLOS參數識別以及每條徑的TOA/DOA數據關聯正確。

3) 基于DOA與TOA的傳統兩步定位算法，波形先驗已知且發射時間已知，假設NLOS參數識別以及每條徑的TOA/DOA數據關聯正確。

此外，將給出本節推導的CRB曲線，以作為評價定位性能的標準。仿真中，由于本文針對三維定位場景，考慮均勻圓陣可獲得二維角度信息，是實際中一種常用的陣列，且可實現360°全方位無模糊觀測，因此觀測站采用10元均勻圓陣接收目標信號，半徑為1.5λ(λ為目標信號波長)，坐標位置為uo=[0 0 0]Tkm。假設目標范圍內有一個位于u1=[-1 2 2]Tkm的障礙物，由于本文旨在研究多目標定位，不失一般性，這里考慮有兩個目標分別位于p1=[1 2 3]T·d，p2=[2 3 1]T·d，每個目標都經過一條直達徑和一條非直達徑(由障礙物反射)到達觀測陣列。令d從0.6 km變化至2.0 km，表2與表3中列出了不同d取值下，兩個目標的直達徑與非直達徑的二維角度與路徑傳播時延的參數值，其中方位角為信號到達陣列的方向與Y軸方向的順時針夾角，俯仰角為信號到達陣列的方向與X-Y平面的夾角。從兩個表中可以看出，隨著d的變化，兩個目標各條徑的二維角度保持不變，但是路徑傳播時延隨著d的增加而增大，這是因為在d的變化過程中，各條徑相對于觀測陣列的入射方向沒有變化，但是傳播路徑越來越長。因此，該結果說明路徑傳播時延參數與角度參數沒有強相關性。

表3 目標1在不同位置條件下直達徑與非直達徑的到達角度與路徑傳播時延參數Table 3 DOAs and TOAs of LOS/NLOS paths with different position for Target 1

表4 目標2在不同位置條件下直達徑與非直達徑的到達角度與路徑傳播時延參數Table 4 DOAs and TOAs of LOS/NLOS paths with different position for Target 2

圖2 直達與非直達混合環境中的兩目標定位場景Fig.2 Localization of two targets scenes in mixed LOS/NLOS environments

根據上述結論，考慮本文的直接定位算法無需計算角度與路徑傳播時延參數而直接估計目標位置，在下述仿真中假設兩個目標位于p1=[1 2 3]Tkm，p2=[2 3 1]Tkm，每個目標都經過一條直達徑和一條非直達徑到達觀測陣列，障礙物位于u1=[-1 2 2]Tkm，具體定位場景如圖2所示。參照文獻[24]中的多徑場景參數，假設兩個目標的直達徑傳播系數幅度均為1，非直達徑傳播系數幅度分別為0.5和0.7，傳播系數相位在[0,2π]范圍內隨機選取。仿真中，目標基帶信號采用滾降系數為0.25的QPSK(Quadrature Phase Shift Keying)信號，發射載頻fc=100 MHz，下變頻后的采樣率為40 kHz，每碼元4倍采樣，定位利用K=40段數據，每段數據包含J=8個頻率分量，噪聲為高斯白噪聲。實驗進行3組，依次研究算法性能對噪聲的魯棒性，發射時間對定位性能的影響，以及算法性能對相關信號的魯棒性。每組實驗的蒙特卡羅仿真次數均為500次，定位性能以位置估計的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)來衡量，統計方式為

(62)

5.1 定位性能對噪聲的魯棒性

圖3 定位誤差與CRB隨信噪比的變化曲線Fig.3 Curves of RMSE and CRB vs SNR

5.2 發射時間對定位性能的影響

本節將研究發射時間大小對定位性能的影響，同樣將本文算法與幾個對比算法的估計性能作對比。兩個目標信號獨立，令他們的發射時間分別為

(63)

式中：δt為發射時間變化幅度。在信噪比為5 dB的條件下，將δt從0.1 ms變化至1.9 ms，依次統計在各個發射時間條件下算法的定位RMSE，相應結果如圖4所示。圖中的曲線顯示發射時間已知有助于提升算法性能，但是各個算法的定位性能與發射時間的大小并沒有明顯關系。無論發射時間多大，發射時間已知情況下本文算法的定位精度始終是最優的，而基于子空間的DPD算法的定位誤差是最大的，甚至比發射時間未知情況下的兩步定位算法精度更低，這是因為基于子空間的DPD算法沒有充分利用信號的波形先驗信息。

圖4 定位誤差與CRB隨發射時間的變化曲線Fig.4 Curves of RMSE and CRB vs transmission time

5.3 定位性能對相關信號的魯棒性

雖然本文的解耦方法是基于信號間相互獨立的假設，本節將對本文算法在相關信號條件下的性能如何進行研究。將信噪比固定在5 dB，當兩個目標發射信號的相關系數從0～0.9變化時，圖5給出了本文算法與對比算法的定位性能曲線。從圖中可以看出，相關系數對發射時間已知和未知兩種情況下的CRB影響很小；隨著信號相關性的增強，本文算法與其他對比算法的定位性能都有明顯下降，但是子空間DPD算法對相關系數最為敏感，強相關信號導致子空間性能惡化；在發射時間已知條件下，本文算法的性能受信號相關性影響較小，它的定位精度明顯優于發射時間已知條件下的兩步定位算法；在發射時間已知和未知兩種情況下，當目標信號相關系數較強時，本文算法的定位精度均優勢明顯。

圖5 定位誤差與CRB隨信號相關系數的變化曲線Fig. 5 Curves of RMSE and CRB vs correlation coefficients

6 結 論

1) 本文針對發射時間已知和未知兩種情況，利用獨立的已知波形信息，提出了一種直達與非直達混合環境中的單站多目標解耦直接定位算法。

2) 本文基于多徑定位場景，推導了發射時間已知和未知兩種情況下的多目標位置估計的CRB。

3) 本文算法與傳統兩步定位方算相比，無需估計中間測量參數，避免了NLOS識別與數據關聯問題，具有更低的計算復雜度。

4) 本文算法在發射時間已知情況下的定位性能明顯優于發射時間未知的情況，但發射時間的取值大小對定位性能沒有影響。

5) 本文算法的定位性能在發射時間已知和未知兩種情況下均可以逼近相應的CRB，相比于傳統兩步估計定位算法和已有的多目標DPD算法，它具有更高的定位精度，尤其在信噪比較低和目標信號相關性較強時，該優勢更加明顯。

[1] 王鼎, 張剛, 沈彩耀, 等. 一種針對恒模信號的運動單站直接定位算法[J]. 航空學報, 2016, 37(5):1622-1633.

WANG D, ZHANG G, SHEN C Y, et al. A direct position determination algorithm for constant modulus signals[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(5): 1622-1633 (in Chinese).

[2] 趙衛波, 巴斌, 胡捍英, 等. 多天線NLOS定位誤差抑制算法[J]. 信號處理, 2013, 29(7): 873-879.

ZHAO W B, BA B, HU H Y, et al. Multi-antenna NLOS location error mitigation algorithm[J]. Journal of Signal Processing, 2013, 29(7): 873-879 (in Chinese).

[3] SHIKUR B Y, WEBER T. TDOA/AOD/AOA localization in NLOS environments[C]∥IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2014: 6518-6522.

[4] 周杰, 劉鵬, 黃雷, 等. 室內直達與非直達環境無線傳播綜合信道建模[J]. 物理學報, 2015, 64(17): 56-65.

ZHOU J, LIU P, HUANG L, et al. Indoor wireless propagation under line of sight and no line of sight comprehensive channel modeling[J]. Acta Physica Sinica, 2015, 64(17): 56-65 (in Chinese).

[5] ZHANG S, GAO S, WANG G, et al. Robust NLOS error mitigation method for TOA-based localization via second-order cone relaxation[J]. IEEE Communications Letters, 2015, 19(12): 1-4.

[6] WANG G, SO M C, LI Y. Robust convex approximation methods for TDOA-based localization under NLOS conditions[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2016, 64(13): 3281-3296.

[7] WANG Z, ZEKAVAT S A. Omnidirectional mobile NLOS identification and localization via multiple cooperative nodes[J]. IEEE Transactions on Mobile Computing, 2012, 99(12): 2047-2059.

[8] SONG H B, WANG H G, HONG K, et al. A novel source localization scheme based on unitary esprit and city electronic maps in urban environments[J]. Progress in Electromagnetics Research, 2009, 94(4): 243-262.

[9] KIKUCHI S, SANO A, TSUJI H. Blind mobile positioning in urban environment based on ray-tracing analysis[J]. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2006(1): 1-12.

[10] DEMISSIE B. Direct localization and detection of multiple sources in multi-path environments[C]∥Proceedings of the International Conference on Information Fusion. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2011: 1-8.

[11] WAX M, KAILATH T. Optimum localization of multiple sources by passive arrays[J]. IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing, 1983, 31(5): 1210-1217.

[12] TIRER T, WEISS A J. High resolution direct position determination of radio frequency sources[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2016, 23(2): 192-196.

[13] 張敏, 郭福成, 周一宇．基于單個長基線干涉儀的運動單站直接定位[J]． 航空學報, 2013, 34(2): 378-386．

ZHANG M, GUO F C, ZHOU Y Y. A single moving observer direct position determination method using a long baseline interferometer[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(2): 378-386 (in Chinese).

[14] WANG D, WU Y. Statistical performance analysis of direct position determination method based on Doppler shifts in presence of model errors[J]. Multidimensional Systems and Signal Processing, 2015, 28(1): 1-34.

[15] 張敏, 郭福成, 周一宇, 等．運動單站干涉儀相位差直接定位方法[J]．航空學報, 2013, 34(9): 2185-2193．

ZHANG M, GUO F C, ZHOU Y Y, et al. A single moving observer direct position determination method using interferometer phase difference[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(9): 2185-2193 (in Chinese).

[16] BAR-SHALOM O, WEISS A J. Transponder-aided single platform geolocation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(5): 1239-1248.

[17] BAR-SHALOM O, WEISS A J. Emitter geolocation using single moving receiver[J]. Signal Processing, 2014, 105(12): 70-83.

[18] PAPAKONSTANTINOU K, SLOCK D. Direct location estimation using single-bounce NLOS time-varying channel models[C]∥Vehicular Technology Conference. Piscataway,NJ: IEEE Press, 2008: 1-5.

[19] WEISS A J, AMAR A. Direct position determination of multiple radio signals[J]. EURASIP Journal on Applied Signal Processing, 2005(1): 37-49.

[20] AMAR A, WEISS A J. Direct position determination in the presence of model errors-known waveforms[J]. Digital Signal Processing, 2006, 16(1): 52-83.

[21] LI J Z, YANG L, GUO F C, et al. Coherent summation of multiple short-time signals for direct positioning of a wideband source based on delay and Doppler[J]. Digital Signal Processing, 2016, 48(C): 58-70.

[22] 王永良, 陳輝, 彭應寧, 等． 空間譜估計理論與算法[M]. 北京: 清華大學出版社, 2005: 20-21.

WANG Y L, CHEN H, PENG Y N, et al. Spatial spectrum estimation theory and algorithms[M]. Beijing: Tsing-hua University Press, 2005: 20-21 (in Chinese).

[23] PEKKA S, PAEIVI M, KARIN A. Linearization method for finding Cramér-Rao bounds in signal processing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49(12): 3168-3169.

[24] WANG C, TANG J, WU Y. Eigenspace-based beamforming technique for multipath coherent signals reception[J]. Signal Processing, 2016, 128(C): 150-154.