神奇的自然常數e

沃梓穎

生活中的數學

似乎許多人不喜歡數學。許多學生常常會問這樣抱怨：“我為什么要學這些東西？平時又用不上。”但事實上，作為一個成年人，了解一些基本的數學概念對日常生活是至關重要的。我們在清點現金時，計算房貸時，填寫納稅申報表時，都需要數學。事實上，許多金融事務在過去都促進了數學本身的發展。例如，負數最初主要是用來代表債務的。

生活中，我們還經常提到指數增長這個數學概念。指數增長其實指的是這樣一種增長：一個系統在一段時間之后會數量翻倍。當然，數量可以翻兩倍，翻三倍，翻n倍。指數增長的一個例子就是細菌的繁殖問題。如果培養皿中細菌每隔一段時間數量翻倍，并且繁殖沒有任何限制條件的話，那么它們的數量會指數增長下去。

指數增長的另一個熟悉的例子是摩爾定律——一個由英特爾創始人之一戈登·摩爾的名字命名的規律。1965年，摩爾注意到，晶體管的體積迅速減少，這意味著電腦芯片可以裝下更多的晶體管，于是他預測，芯片的處理能力大約每兩年就會翻一番。這種指數增長已經持續了幾十年了，但許多人認為隨著技術的限制，摩爾定律過不多久就會失效。

e的魔力

現在，我們來假設有一家銀行的年利率是100%。如果計算利息的周期（計息期）是1年的話，那么到了年底，100元就會變為200元。如果你幸運地找到這家銀行并存了些錢的話，那么你的錢就會指數增長下去。

如果計息期變短了，你就會獲得更多的利息。比如，那家銀行的計息期是半年的話，那么6個月之后，會有50元算入本金中，然后在此基礎上計算下一期的利息。這樣，到了年底時，除了原來的本金產生的100元利息以外，還有50元經過半年產生的利息，為25元。這樣，最終銀行返還客戶的本息為225元，而不是200元。

如果計息期是一個季度的話，那么前面季度的利息又可產生利息，年底最終的本息為244年。很顯然，計息期越短，最終的本息就越多。但隨著你把計息的時間縮得越來越短，那么增加的利息會越來越少。如果計息期是1天的話，那么最終的本息將是271元。也就是說，最終的本息是原來本金的2.71倍。

于是，就有了一個問題：如果利息每一分鐘、每一秒鐘，甚至更短的時間都計算在內，最終的本息是原來的多少倍呢？過去，數學家們一直沒搞清楚這個問題，直到17世紀才搞清楚。1683年，瑞士數學家雅各布·貝努利找到了答案：2.7182818……這個數與π類似，是一個無理數。數學家們把這個數稱為自然常數，并用字母e來代表它。

這種分分秒秒都把利息算在內的增長模式，被稱為連續型復合增長，只要是這種增長模式，e便會出現。數學家們還發現，e是數學中最為基本的一個常數。現在，會計學、物理學、工程學、統計和概率論等許多學科中，都有它的身影。

找到真愛

關于e的應用，最有趣的例子就是秘書問題。想象有100個人應聘一份秘書工作，他們按照隨機順序接受面試，而面試官每次面試一人，面試過后便要立刻決定是否聘用他。如果當時決定不聘他，就不能再聘用他；如果聘用了他，整個面試立刻結束。如果面試官想把所有應聘者都面試一遍，那么這就相當于拒絕了前面99個申請人，不管最后一個申請人是否稱職，都得錄用。問題是，面試官何時做決定，才能以最大的機率得到最適合的人選？

數學家經過分析，認為最佳的辦法是，先面試一部分人，然后在剩下的應聘者中，錄取勝過或接近之前面試過的最好的應聘者。那么，應該先面試多少人呢？這個計算過程略復雜一些，答案就直接告訴你吧：100/e，約為37。就是說當你面試了37個人之后，選出其中最優秀的一位作為標準，在后面的應聘者遇到類似這樣的人，就可以馬上確定下來。事實上，這個例子也能適用于找對象。比如，如果你能有機會與100個人相親，那么見了37個人之后，你就可以下決心與后面63個中的一位意中人談談戀愛。

所以說，數學知識不僅在算錢的時候有用，它有時候還會幫助你找到真愛。