湍流與球賽：意想不到的相似

淺草

你或許想象不到，足球運動員在球場上的行為，跟流體力學中粒子在湍流中的行為驚人地相似。

在流體動力學中，湍流是打著旋的流體。當你把牛奶注入靜水中，你會看到一股白色的流體在清水中緩緩地盤旋、蜷曲、蕩漾。這就是湍流。

為了研究它的運動，一位法國科學家在湍流中選擇了一個粒子來追蹤觀察，每隔一段時間記錄它的位置（點），然后把這些點連起來，在電腦上描畫出軌跡。接下去計算，它在某個時間單位內(nèi)改變運動方向的平均度數(shù)。

比如說，記錄儀每1秒記錄一次粒子的位置，那么一分鐘內(nèi)就得到60個點，把這些點用直線連起來，得到它在這一分鐘內(nèi)的運動軌跡。現(xiàn)在，以5秒為時間單位，來計算它改變方向的平均度數(shù)。5秒鐘之內(nèi)，它改變了5次方向，假設改變的角度分別是60°、30°、120°、0°，15°，那么平均改變度數(shù)就是（60°+30°+120°+0°+15°）/5=45°。

他觀察到的結果是：倘若所取的時間單位非常短，那么粒子看起好像沿著直線運動，平均改變度數(shù)為0°。換句話說，周圍的環(huán)境幾乎對它沒有影響。

倘若所取的時間單位稍長，平均改變度數(shù)則變成了90°。這個結果是預料之中的。因為在紊亂的、沒有任何統(tǒng)一性可言的湍流中，粒子每一次改變運動方向，從0°到180°，是完全隨機的，那么平均起來，就是90°。

可是，給湍流限定邊界，邊界的幾何條件就開始發(fā)揮其影響了。比如，把流體限制在像標準足球場120：90那樣長寬比例的長方形區(qū)域，只要所取的時間單位稍長，平均來說，湍流中粒子改變方向的度數(shù)是120°，而不是90°。

有意思的是，在足球賽中，當科學家用固定于球員身上的傳感器記錄下某個球員的運動軌跡，并計算他在某個時間單位內(nèi)改變方向的度數(shù)時，只要時間單位取長一點，得到的平均度數(shù)也是120°。

該如何解釋這個結果？你或許會以為，球員在任意一個方向上移動的概率是均等的，因此平均改變度數(shù)應該是90°。但事實上，因為球場的長大于寬，球員在縱向跑動的概率要高于在橫向跑動的概率。如果在長寬相同的情況下，平均改變度數(shù)是90°，那么在長寬比例120：90的情況下，平均改變度數(shù)自然就是120°了。

瞧，在這里，邊界條件也起作用了。

上述兩個系統(tǒng)，一個是自然界的湍流，其粒子的運動完全是隨機的；一個是足球運動，球員的運動不僅受人的意志支配，還在一定程度上受教練的指揮和比賽規(guī)則的制約。但只要給定相同的邊界條件，它們的行為就驚人地相似。由此可見，某些系統(tǒng)的行為，跟系統(tǒng)具體是什么關系不大，主要取決于限制它運動的邊界條件。