艙內動環境對捷聯慣導外桿臂誤差補償影響機理分析

楊 其, 劉新學, 孟少飛, 劉慶寶

(1. 火箭軍工程大學士官學院, 山東 青州 262500; 2. 火箭軍工程大學初級指揮學院, 陜西 西安 710025)

0 引 言

飛行器飛行過程中受到的大氣湍流、附面層壓力波動等激勵決定了固連于機體的捷聯慣導在實際使用中始終處于振動、搖擺的不穩定環境中,各種研究和實驗都已證明動態環境下捷聯慣導的輸出與靜態實驗室環境下的輸出并不吻合[1-4],但目前成熟的誤差模型和標定方法仍然將這一差別歸入隨機誤差,說明目前對于振動給捷聯慣導輸出帶來的影響仍缺乏明確的機理性認識。

從彈性力學的角度來看,捷聯慣導本體不可能體現出絕對剛性,所以從本質上講,處于動態環境下的捷聯慣導本體存在無數個自由度,即使將這一問題簡化為僅考慮正交坐標系3個軸向的線運動和繞軸向角運動的影響,通過現有的研究分析,在各種安裝方式下,這些軸向的線運動和角運動在不同安裝方式下仍存在不同程度的耦合[5-6],使得全面分析振動對捷聯慣導輸出影響的機理問題變得十分困難。另外,由于慣性儀表本身必然有一定尺寸,并不能完全按照“點測量組件”安裝于本體質心,當飛行器出現角運動時會出現內桿臂誤差,同時慣導本體質心與飛行器質心并不重合,慣性儀表測量值在換算過程中又會帶來外桿臂誤差。在桿臂長度已知或誤差輸出頻率特性已知的情況下,可以對該問題進行力學補償和數字濾波補償[7-9],在桿臂長度未知情況下也有研究直接將其作為未知量通過其余先驗信息進行動態在線標定[10-12]。

為了使影響機理分析更為清晰,本文假設慣導系統僅受到垂直于支架的橫向振動影響,且慣導本體內部呈現絕對剛性并忽略內桿臂誤差,從等效歐拉梁和線性減振混合系統模型出發,對歐拉梁和彈簧振子的結構動力學方程統一處理并利用Green函數法對其進行求解,詳細分析了橫向振動對捷聯慣導加速度計外桿臂效應誤差補償造成影響的機理。

1 等效歐拉梁混合系統模型

捷聯慣導在艙體內通過支架安裝與飛行器固連,一般在支架和捷聯慣導本體之間會設計橡膠墊、鋼套等減振系統,同時結合艙內不同情況安裝方式稍有不同,但其基本結構如圖1所示。

圖1 艙內捷聯慣導安裝示意圖Fig.1 SINS installed in apparatus cabin sketch map

為了能更清晰地分析振動對桿臂效應帶來影響的機理,僅考慮一維情況下捷聯慣導在平面內作垂直于支架的橫向振動,忽略艙內支架的剪切變形和繞中軸轉動慣量的影響,將支架模型化為兩端簡支的歐拉梁,將減振系統模型化為若干個阻尼彈簧振子,此時系統簡化為一個長度為l的簡支歐拉梁,在xi(i=1,2,…,h)處與h個阻尼彈簧振子相連而構成的混合系統,系統結構如圖2所示。

圖2 等效歐拉梁混合系統示意圖Fig.2 Euler beam hybrid system sketch map

1.1 混合系統運動微分方程

單獨考慮阻尼彈簧振子系統或歐拉梁振動問題均已形成了經典理論,由歐拉梁理論的假設可知梁中心的平剖面在變形后仍為平面而且仍與軸線垂直,由于梁的橫向位移僅在與彈簧振子系統連接處產生彈性力和阻尼力,利用δ函數的性質并結合受力分析將兩者的運動方程聯系起來,可得歐拉梁的振動方程為

(1)

h個阻尼彈簧振子的振動方程為

(2)

且式(1)中

(3)

1.2 平穩隨機激勵下混合系統響應分析

飛行器所承受的振動激勵大多呈現隨機性,所以要想確定性求解模型的響應十分困難,但可以依據隨機振動理論求解出響應過程的數字特征[13-14]。假設飛行器處于平穩隨機激勵條件下,首先對上述模型進行無量綱化,利用分離變量法和Green函數法[15-16]求解微分方程,得到無阻尼自由振動條件下的各階固有頻率和振型。

根據文獻[17-19]的推導,混合系統中歐拉梁的響應為

(4)

阻尼彈簧振子的響應為

YT(xi)Aia(t),Ai=diag[Bin]

(5)

式中,y(x,t)表示歐拉梁各點隨時間的響應;yi(t)表示混合系統中振子隨時間的響應;Yn(x)表示混合系統的n個固有振型;Bin表示梁位移和彈簧振子位移之間的關系;Ai表示由Bin生成的對角陣;αn(t)表示待求解的模態響應。

不失一般性地認為混合系統阻尼為非經典阻尼,采用復模態方法[20-21],對未求解的αn(t)進行復模態變換,利用系統特征方程可求得2N個共軛成對出現的特征值和特征向量,其中由特征向量構成的模態矩陣記為u,進而求得混合系統復模態響應z的協方差函數矩陣Cz(t),并根據αn(t)與z的復模態變換關系,得到未求解的αn(t)的協方差函數矩陣為

(6)

進而可得到混合系統中各彈簧振子的質量塊響應的協方差函數為

Cyiyj(τ)=YT(xi)AiCα(τ)AjY(xj)

(7)

利用線性系統的可加性,可以將h個彈簧振子系統等效為一個,并令τ=0,則得到質量塊響應的方差為

Vary1y1=YT(x1)A1Cα(0)A1Y(x1)

(8)

2 對外桿臂誤差補償影響機理分析

2.1 加速度外桿臂誤差原理

由于假設慣導本體內部呈現絕對剛性,其內部各慣性元件不會受到減振系統和動態環境影響,因此忽略內桿臂誤差,所有慣性測量元件均作為“點測量組件”安裝于慣導本體的質心,但飛行器質心與慣導本體質心并不重合,當飛行器存在角運動時,在兩質心位置測量值換算過程中會出現外桿臂誤差,其基本原理如圖3所示[22]。

圖3 外桿臂效應誤差原理示意圖Fig.3 External lever arm effect sketch map

圖中,Oi和Ob分別為慣性坐標系和飛行器載體坐標系中心,P為捷聯慣導本體質心,rp為外桿臂,ωib為載體角速度。

在圖3所示的位置情況下,當飛行器出現角運動時,根據運動學原理,加速度計位置的比力和飛行器質心處的比力關系為

(9)

式中,αp表示加速度計位置處比力;ab表示飛行器質心處比力。兩者的差值即為外桿臂誤差Δa:

(10)

2.2 動環境對外桿臂誤差補償的影響

結合第1節中歐拉梁混合系統模型,可以看到在動態環境下,由于飛行器持續受到外部激勵的作用,捷聯慣導本體也將持續產生動態響應,即本體質心P始終處于變化中,外桿臂rp也不再為確定性矢量,則此時誤差應表示為

(11)

式中,Δr為外桿臂變化量。

歐拉梁混合系統模型僅分析了機體坐標系Zb方向的一維動態響應,在此條件下外桿臂rp的變化如圖4所示。

圖4 外桿臂長度變化示意圖Fig.4 Change of external lever arm sketch map

可以看到在動態環境中,外桿臂由確定性矢量變成了“一簇”變量,不失一般性地認為外桿臂矢量應遵守混合系統動態響應方向且圍繞靜態條件下常值發生變化,即

(12)

由式(8)可得外桿臂變量的方差為

Var(Δr)=YT(x1)A1Cα(0)A1Y(x1)

(13)

結合方差的性質,可得

(14)

3 仿真算例

設飛行器艙內安裝的捷聯慣導系統等效于簡支歐拉梁與阻尼彈簧振子相連的混合系統模型,本體等效于阻尼彈簧振子系統質量塊,該模型各參數在無量綱化后如表1所示,并將系統外部激勵理想化為白噪聲。

表1 無量綱化后模型參數設置

根據前文介紹方法,首先求出混合系統的固有頻率和振型,將模態截斷到第5階并采用模態分析的方法利用式(6)求解出Ca(τ),最終可求得本體動態響應的方差為

Vary1y1=0.109 55×10-2

取該方差值為飛行器某一時刻本體出現的動態響應,假設該時刻飛行器繞Zb軸出現了0.02 rad/s的角運動,結合某型飛行器的慣導系統具體安裝幾何位置將其代入純慣性制導方式下的理論彈道進行仿真飛行,以0.05 s為取樣周期,慣性坐標系Xi方向位置解算偏差數據結果如圖5所示。

圖5 位置解算偏差Fig.5 Deviation of position calculating

算例中初始時刻本體動態響應對加速度造成的誤差為10-4數量級,相當于在該時刻對加速度計加入了一個未補償的零位偏差。通過圖示可以看到,在最初代入動態誤差的時間段內,計算結果與標準理論彈道仍基本吻合,6 s后誤差彈道開始圍繞標準理論彈道出現漂移,在19 s左右的時間造成的Xi方向位置數據偏差達到米級。需要特別說明的是,位置解算的結果偏差并不代表外桿臂誤差會隨時間累積放大,在整個飛行過程中,外桿臂誤差仍遵守前文推導的運動學規律,但由于導航解算算法默認慣導輸出的數據絕對準確,一旦引入該測量誤差仍會造成相當的解算偏差。算例雖然是在理想化外部激勵條件下進行計算,但足以說明如存在長航時飛行或飛行器出現急速轉彎時,該誤差并不能忽略不計。

4 結 論

在線性系統的假設前提下,艙內捷聯慣導本體可以等效為簡支歐拉梁與阻尼彈簧振子混合系統計算其動態響應。

靜態條件下,作為確定性矢量處理的外桿臂隨混合系統響應出現的隨機變化,是造成動態環境下該誤差不能完全補償的重要原因。

如果能夠在貼合實際工況情況下,得到熱、流體、結構耦合的飛行器動態響應規律作為本文模型的輸入,將對該問題的研究大有幫助。同時,研究僅考慮了垂直于支架的橫向振動影響,與實際工況仍有一定的差別,對該問題可以進一步考慮捷聯慣導本體安裝所受到的徑向振動和彎曲剪切力,從而等效為桿或者Timoshenko梁混合系統進行分析,以期得到多個加速度計和陀螺儀敏感軸向上的動態影響。

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