魯棒增益調(diào)度結(jié)構(gòu)化火箭彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

郭致遠(yuǎn), 姚曉先, 張 鑫

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引 言

火箭彈大多是尾翼穩(wěn)定的低速旋轉(zhuǎn)彈,具有反應(yīng)時(shí)間短、火力猛、威力大等優(yōu)勢,然而,其散布隨射程成倍增加。在常規(guī)彈藥制導(dǎo)化的發(fā)展趨勢下,火箭彈的低成本、簡易控制受到了越來越多的關(guān)注[1]。無控火箭彈的落點(diǎn)散布主要取決于主動段的擾動[2]。火箭彈較難控制的一個(gè)原因在于其模型的時(shí)變特性和不確定性。對于無動力飛行段,與傳統(tǒng)導(dǎo)彈類似,速度和空氣密度都是對模型影響較大的因素;而對于續(xù)航段而言,盡管推力可以近似保持速度恒定,然而實(shí)際發(fā)動機(jī)所提供的推力也是變化的,此外,發(fā)動機(jī)提供推力的同時(shí)也會引起質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量等的變化。

目前的研究多集中在無動力飛行,發(fā)動機(jī)推力的存在會加劇火箭彈數(shù)學(xué)模型的不確定性和時(shí)變性。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別基于狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠?state-dependent Riccati equation, SDRE)和智能特征結(jié)構(gòu)配置方法(intelligent eigenstructure assignment, IEA)設(shè)計(jì)了火箭彈的姿態(tài)控制器,這類控制器的設(shè)計(jì)均依賴于狀態(tài)反饋,但是,在火箭彈的飛行過程中,部分狀態(tài)變量難以測量和估計(jì)。文獻(xiàn)[5]基于推力矢量控制(thrust vector control, TVC),使用反饋線性化和SDRE設(shè)計(jì)了火箭彈的姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[6]通過離散自適應(yīng)滑模設(shè)計(jì)了制導(dǎo)炸彈的解耦控制器。文獻(xiàn)[7]基于魯棒非線性反演控制方法設(shè)計(jì)了應(yīng)對高靈敏度空空導(dǎo)彈強(qiáng)非線性和不確定性的控制器,然而該控制器的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。

增益調(diào)度控制是應(yīng)對被控系統(tǒng)時(shí)變特性常見的控制器設(shè)計(jì)方案[8-9]。首先，將被控對象在各個(gè)工作點(diǎn)處線性化,將非線性、參數(shù)攝動、不確定性動力學(xué)作為模型不確定性,通過線性控制器綜合方法設(shè)計(jì)各點(diǎn)的控制器,然后通過插值或其他方式將獨(dú)立控制器綜合起來,得到全局控制器,最后通過仿真驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性和性能。文獻(xiàn)[10]將高度作為調(diào)度變量,結(jié)合傳統(tǒng)頻域控制理論設(shè)計(jì)了用于末制導(dǎo)的火箭彈自動駕駛儀。文獻(xiàn)[11]將時(shí)間作為調(diào)度變量,結(jié)合協(xié)同進(jìn)化增廣拉格朗日方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[12]將速度和高度作為調(diào)度變量,使用魯棒增益調(diào)度方法設(shè)計(jì)了炮彈的自動駕駛儀,控制器具有比例-積分的結(jié)構(gòu),易于在工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)。

本文以122 mm單室雙推力火箭彈作為研究對象,使用常規(guī)線性鴨舵作為執(zhí)行機(jī)構(gòu),建立了該火箭彈包含參數(shù)攝動的以線性分式變換(linear fractional transformation, LFT)描述的線性變參數(shù)(linear parameter varying, LPV)模型。對該火箭彈使用魯棒增益調(diào)度技術(shù)設(shè)計(jì)了具有固定控制器結(jié)構(gòu)的自動駕駛儀,利用定高飛行的設(shè)計(jì)目標(biāo)在續(xù)航段將調(diào)度空間簡化為時(shí)間-速度域,在無動力飛行段將調(diào)度空間簡化為速度域,通過結(jié)構(gòu)奇異值(structure singular value, SSV)分析了閉環(huán)系統(tǒng)在各特征點(diǎn)參數(shù)攝動情況下的魯棒穩(wěn)定性,并仿真驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。

1 火箭彈動力學(xué)建模

本文所研究的火箭彈是軸對稱型,具有兩對線性鴨舵,呈“十”字布局,因此在滾轉(zhuǎn)通道不可控。依據(jù)文獻(xiàn)[13]中建立低速旋轉(zhuǎn)彈動力學(xué)模型所用的坐標(biāo)系統(tǒng),建立了火箭彈的動力學(xué)模型,其中,火箭彈法向加速度表達(dá)式在彈道坐標(biāo)系下為

(1)

其中

(2)

為了簡化分析,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中忽略重力和馬格努斯力,在式(1)的平衡點(diǎn)處做雅可比線性化處理,可以得到狀態(tài)方程為

(3)

其中

輸出方程為

(4)

其中

D11=cosγV,D12=sinγV

D21=sinγV,D22=-cosγV

選擇狀態(tài)變量、控制輸入和量測輸出分別如式(5)所示,可以得到線性化的火箭彈動力學(xué)模型為

(5)

在式(3)和式(4)中,由于在火箭彈飛行過程中,各參數(shù)依賴于飛行的平衡點(diǎn),具有時(shí)變的特性,具體為

圖1 火箭彈動力學(xué)模型的上LFT描述Fig.1 Upper-LFT description of the dynamics model of the rocket

圖中

G=Fu(H,Δ)

(6)

Δ=

(7)

2 控制器設(shè)計(jì)

為了使加入控制器以后的閉環(huán)系統(tǒng)盡量具有期望的響應(yīng),并且對系統(tǒng)的參數(shù)攝動具有魯棒性,采用H∞混合靈敏度設(shè)計(jì)方法。然而,傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度方法得到的控制器階次通常比較高。文獻(xiàn)[14]提出了具有固定結(jié)構(gòu)的控制器,在已有的控制器結(jié)構(gòu)框架下,通過H∞設(shè)計(jì)離線得到優(yōu)化的控制參數(shù),對于控制器本身沒有更高的要求,可以兼顧實(shí)現(xiàn)難度和閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

2.1 線性控制器設(shè)計(jì)

對于時(shí)變域中的任一點(diǎn)λ0∈Γλ,基于H∞的S/KS/T/M混合靈敏度設(shè)計(jì)方法的框圖如圖2所示。

圖2 綜合混合靈敏度設(shè)計(jì)框圖Fig.2 Mixed-sensitivity controller synthesis block diagram

‖Twz(s)‖∞=‖F(xiàn)l[P(s,λ0)K(s,λ0)]‖∞<γ,γ>0

(8)

(9)

其中

傳統(tǒng)的H∞控制方法所得到的控制器K(s,λ0)的階次與增廣系統(tǒng)的階次一致,通常較高,而且在用于包含耦合的多變量控制時(shí),容易造成保守性,并增加計(jì)算難度。對于火箭彈來說,希望控制器包含盡可能少的參數(shù)和微分,這樣更易于控制器在嵌入式系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)。自動駕駛儀控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是希望火箭彈加速度盡可能準(zhǔn)確、迅速地跟隨加速度指令,因此在誤差控制部分應(yīng)具有積分效應(yīng),其余控制部分取最簡單的比例控制。

最簡控制器的結(jié)構(gòu)為

(10)

其中,Kroll-off(s)是滾降濾波器,選擇為一階慣性環(huán)節(jié),帶寬取執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的一半，本文模型中未考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)動力學(xué)。其余控制器包含可調(diào)整參數(shù),分別為

KS(s,λ0)=

考慮到俯仰、偏航方向動力學(xué)的對稱性,需要優(yōu)化參數(shù),按照式(11)簡化為6個(gè)。簡化方式為

(11)

混合靈敏度的權(quán)值函數(shù)參照文獻(xiàn)[12]中的選取方式。假設(shè)期望的參考模型形式為

(12)

其余的權(quán)值函數(shù)可以根據(jù)參考模型的參數(shù)來選擇。

靈敏度的權(quán)值濾波器為

(13)

控制輸入權(quán)值濾波器為

(14)

互補(bǔ)靈敏度函數(shù)的權(quán)值濾波器為

(15)

(16)

結(jié)構(gòu)化H∞控制器綜合是在附加控制器結(jié)構(gòu)約束的條件下解決H∞綜合問題[14-15]。對于有約束的控制器,通過李雅普諾夫方法可以列寫雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequality, BMI),然而這種方法屬于非確定性多項(xiàng)式(non-deterministic polynomial, NP)困難問題,難以求解。文獻(xiàn)[16]提出非光滑優(yōu)化方法,通過廣義梯度和束方法得到優(yōu)化的控制器參數(shù),并且對于高階模型具有通用性。但是,通過該方法得到的控制器是局部最優(yōu)的,為了使局部最優(yōu)更接近于全局最優(yōu),應(yīng)當(dāng)選擇多個(gè)不同的起始點(diǎn)開始優(yōu)化,該方法目前已經(jīng)集成在Matlab的Robust Control Toolbox中。

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

根據(jù)第2.1節(jié)的方法可以求得λ0處的控制器,其在參數(shù)攝動情況下的魯棒穩(wěn)定性可以通過結(jié)構(gòu)奇異值進(jìn)行分析。加控制器后,魯棒穩(wěn)定性(robust stability, RS)分析圖如圖3所示。

圖3 魯棒穩(wěn)定性分析圖Fig.3 Structure for robust stability analysis

其關(guān)系式為

(17)

式中,NΔ(s,λ0)=Fl[PΔ(s,λ0),K(s,λ0)]。

根據(jù)文獻(xiàn)[17],系統(tǒng)在參數(shù)攝動條件下的RS條件可以表示為

(18)

其中,結(jié)構(gòu)奇異值μΔ(M)為在某一頻率下使得矩陣I-MΔΔ奇異的具有最小結(jié)構(gòu)的Δ的最大奇異值的倒數(shù)[17]，即

(19)

2.3 全局控制器

在參數(shù)空間內(nèi)選擇若干特征點(diǎn),計(jì)算得到火箭彈的控制器參數(shù),依照參數(shù)空間進(jìn)行插值,即可得到全局控制器。特征點(diǎn)的選擇需要盡量地覆蓋所有可能出現(xiàn)的飛行狀態(tài),這樣計(jì)算得到的控制器才能更好地適應(yīng)各種飛行情況。具體的選擇方式是:在續(xù)航段將速度和時(shí)間作為調(diào)度變量來設(shè)計(jì)控制器,在無動力飛行段,完全通過速度特征點(diǎn)來設(shè)計(jì)控制器。在計(jì)算完若干個(gè)孤立控制點(diǎn)后,根據(jù)當(dāng)前的飛行狀態(tài)使用插值的方式計(jì)算實(shí)時(shí)控制器參數(shù),構(gòu)造全局控制器。然而,對于全局閉環(huán)系統(tǒng)來說,由于系統(tǒng)是時(shí)變的,因此在所有特征點(diǎn)的局部穩(wěn)定性并非是全局穩(wěn)定性的充分條件。對于時(shí)變系統(tǒng)來說,其穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)通過多次仿真來驗(yàn)證。

3 仿真

仿真分為3個(gè)部分:第1部分是設(shè)計(jì)某一特征點(diǎn)的控制器并分析特征點(diǎn)下的穩(wěn)定性和性能;第2部分是設(shè)計(jì)全局控制器,分析局部穩(wěn)定性;第3部分加入高度控制外環(huán),分析不同指令下的全局穩(wěn)定性。

本文使用122 mm火箭彈作為仿真模型。發(fā)動機(jī)為單室雙推力,助推段工作約3 s,將火箭彈加速至約2.5個(gè)馬赫數(shù),續(xù)航發(fā)動機(jī)開始工作,其推力主要用于平衡阻力,使火箭彈在續(xù)航段維持大致穩(wěn)定的速度。火箭彈在發(fā)射后5 s開始控制,續(xù)航發(fā)動機(jī)在發(fā)射后14.24 s結(jié)束工作。火箭彈的主要參數(shù)如表 1所示。

表1 火箭彈的主要參數(shù)

各氣動數(shù)據(jù)不確定性根據(jù)氣動數(shù)據(jù)表給出,推力不確定性取10 %,轉(zhuǎn)速不確定性取10 %。下面以馬赫數(shù)為2.5時(shí)的升力系數(shù)為例說明氣動數(shù)據(jù)標(biāo)稱值和不確定性的計(jì)算方式。

升力系數(shù)在兩條經(jīng)過原點(diǎn)的直線范圍內(nèi)變化，如圖4所示。

因此,升力系數(shù)對準(zhǔn)攻角的導(dǎo)數(shù)，即圖中直線的斜率為

(20)

3.1 特征點(diǎn)下的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

選擇特征點(diǎn)λ0=[850,5]T,期望的帶寬和阻尼分別為5 rad/s和0.8,在2%誤差帶條件下,使得期望的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.75 s,按照第2節(jié)的方式設(shè)計(jì)控制器,對照選擇為基于LMI設(shè)計(jì)的全階控制器和對全階控制器通過Hankel降階至與式(10)相同階次的控制器,使用3種控制器的閉環(huán)系統(tǒng)從擾動輸入到性能輸出的H∞范數(shù)如表2所示。

表2 3種控制器對比

3種控制器的性能對照如圖5所示,對于靈敏度函數(shù)S(s),低頻下小增益可以保證跟蹤性能,中頻時(shí)小峰值可以保證魯棒性。從控制信號K(s)S(s)可以看出執(zhí)行機(jī)構(gòu)的余量。對于互補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s),低頻時(shí)的單位增益可以保證跟蹤性能,中頻段小峰值可以保證對多種不確定性的魯棒性和對噪聲的低敏感性。對于模型匹配性能M(s),中頻段的小值可以保證較好的模型匹配效果[18]。

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)性能目標(biāo)和實(shí)際性能對比Fig.5 Closed-loop target and shaped performance

由圖5可知,基于H∞設(shè)計(jì)的全階控制器性能是最好的;具有固定結(jié)構(gòu)的控制器較全階控制器在性能上相差較小;基于Hankel奇異值降階的控制器性能指標(biāo)為無窮大,將直接導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)散。考慮到控制器的工程可實(shí)現(xiàn)難易度與控制器階次相關(guān),而全階控制器比固定結(jié)構(gòu)的控制器高34階,因此,在3種控制器中,具有固定結(jié)構(gòu)的控制器最具優(yōu)勢。

通過SSV來分析閉環(huán)系統(tǒng)對于參數(shù)攝動的穩(wěn)定性,用于分析魯棒穩(wěn)定裕度的結(jié)構(gòu)奇異值上下界曲線，如圖6所示。

由圖6可知,SSV始終小于1。因此,閉環(huán)系統(tǒng)對于系統(tǒng)內(nèi)攝動的參數(shù)具有魯棒穩(wěn)定性。

在參數(shù)攝動范圍內(nèi)隨機(jī)取100個(gè)點(diǎn),得到閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線與參考模型階躍響應(yīng)曲線的對比，如圖7所示。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig.7 Closed-loop step responses of the uncertain system

由圖7可知,閉環(huán)系統(tǒng)基本上可以按照參照模型來跟蹤輸入指令。

3.2 全局控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

將續(xù)航段的特征點(diǎn)選擇為按照0.3 s時(shí)間和25 m/s速度所劃分的網(wǎng)格,時(shí)間和速度范圍分別是5～14.24 s和800～925 m/s;將無動力飛行段的特征點(diǎn)選擇為在525～900 m/s按照25 m/s所劃分的節(jié)點(diǎn)。按照上述特征點(diǎn)選擇方法,多次重復(fù)第3.1節(jié)的過程,得到增益調(diào)度控制器。各特征點(diǎn)處的最大結(jié)構(gòu)奇異值如圖8所示。

由圖8可知,在各特征點(diǎn)處,閉環(huán)系統(tǒng)均是局部魯棒穩(wěn)定的。

在設(shè)計(jì)過程中引入不確定性的目的在于應(yīng)對火箭彈飛行過程中各參數(shù)的時(shí)變性和非線性,從本節(jié)開始直接使用火箭彈6自由度非線性時(shí)變模型作為被控對象,仿真在9°發(fā)射高低角、0°發(fā)射方向角下進(jìn)行,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,按照5 m/s2、幅值5 s、周期50%占空比的方波給出縱向、側(cè)向加速度指令,兩通道指令具有不同的相位,過載自動駕駛儀對方波指令的響應(yīng)情況如圖9所示。由于孤立特征點(diǎn)的性能并不能完整體現(xiàn)閉環(huán)全局系統(tǒng)的性能,因此在全局閉環(huán)系統(tǒng)中出現(xiàn)控制效果存在較大超調(diào)量的時(shí)刻。

圖8 各特征點(diǎn)的SSV最大值Fig.8 Maximum SSV values of the scheduling points

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)非線性仿真曲線Fig.9 Non-linear simulation of the closed-loop system

等效舵偏角曲線如圖10所示。

圖10 仿真中等效舵偏角隨時(shí)間變化曲線Fig.10 Equivalent canard deflection during the simulation

由圖10可知,在推力消失后,速度下降導(dǎo)致提供同樣過載所需的等效舵偏角增大。

3.3 平飛控制

火箭彈的設(shè)計(jì)目標(biāo)是平飛控制,平飛高度100 m,參照文獻(xiàn)[19]基于線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection control, LADRC)分別設(shè)計(jì)縱向和側(cè)向的位置控制器,以縱向?yàn)槔?線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(linear extended state observer, LESO)帶寬為6 rad/s,控制器帶寬為1.3 rad/s,控制結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 高度控制框圖Fig.11 Closed-loop height control system block diagram

在9°發(fā)射高低角,0°發(fā)射方向角的情況下,初始俯仰角速度為-0.1 rad/s,平飛控制結(jié)果如圖12所示。

圖12 高度和側(cè)偏隨時(shí)間變化曲線Fig.12 Height and offset vesus time

這種情況下，自動駕駛儀指令與響應(yīng)曲線如圖13所示。

若發(fā)射角高低角和偏角均有0.03°的誤差,初始速度有2 m/s的擾動,空間彈道及其在側(cè)向平面的投影如圖14所示。

圖13 自動駕駛儀指令與響應(yīng)隨時(shí)間變化曲線Fig.13 Command and response of the autopilot

圖14 擾動下的空間彈道曲線Fig.14 3-D trajectories under perturbation

由圖14可知,閉環(huán)系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況,說明在當(dāng)前仿真條件下,閉環(huán)系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

基于雅可比線性化推導(dǎo)了火箭彈的俯仰、偏航動力學(xué)的線性化模型,使用魯棒增益調(diào)度分別設(shè)計(jì)了針對火箭彈續(xù)航段和無動力飛行段的自動駕駛儀,設(shè)計(jì)中考慮了模型的時(shí)變特性和飛行狀態(tài)中的參數(shù)不確定性。在續(xù)航段將速度、時(shí)間作為調(diào)度變量,在無動力飛行段將速度作為調(diào)度變量,將其他參數(shù)的攝動作為不確定性。通過SSV檢驗(yàn)了各特征點(diǎn)下的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:通過本文方法設(shè)計(jì)的自動駕駛儀可以實(shí)現(xiàn)俯仰和偏航通道的解耦,同時(shí)能按照參考模型近似跟蹤輸入指令;附加較簡單的位置控制回路可以實(shí)現(xiàn)定高平飛控制,對發(fā)射偏差具有魯棒性。

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