基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃的防空反導(dǎo)火力分配

徐 浩, 邢清華, 王 偉

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

信息化條件下,空襲是高度集成的體系化作戰(zhàn)。作為防御方,需要同時(shí)執(zhí)行防空和反導(dǎo)任務(wù),即利用防空反導(dǎo)武器系統(tǒng)擔(dān)負(fù)起同時(shí)反空氣動(dòng)力學(xué)目標(biāo)和反彈道類目標(biāo)的作戰(zhàn)任務(wù)[1]。火力分配(weapon target assignment,WTA)作為防空反導(dǎo)作戰(zhàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié),對(duì)防空反導(dǎo)作戰(zhàn)效能的發(fā)揮具有重要影響。因此研究防空反導(dǎo)WTA具有非常重要的意義。

鑒于WTA的重要性,廣大學(xué)者紛紛采用蟻群算法[2]、遺傳算法[3]、克隆選擇算法[4]、Memetic 算法[5]和粒子群算法[6]等對(duì)WTA問題進(jìn)行了深入研究。這些研究大多以對(duì)敵毀傷概率最大為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建單目標(biāo)優(yōu)化WTA模型,需要分配全部火力,不符合作戰(zhàn)實(shí)際。為此,文獻(xiàn)[5-6]提出以最大作戰(zhàn)效費(fèi)比為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建WTA模型,避免分配全部火力。然而,這種方法本質(zhì)上還是單目標(biāo)優(yōu)化,采用事先提供的決策偏好信息,僅能給出一種WTA方案,對(duì)戰(zhàn)場態(tài)勢變化的適應(yīng)性較弱和對(duì)不同指揮員的決策偏好體現(xiàn)不夠。并且,隨著戰(zhàn)場環(huán)境的日益復(fù)雜化,防空反導(dǎo)作戰(zhàn)過程中獲取的信息具有很強(qiáng)的不確定性,確定型WTA方法[2,6]已很難適用。

為此,考慮到基于多目標(biāo)優(yōu)化的WTA方法[7-8]能提供多種分配方案,具有對(duì)戰(zhàn)場態(tài)勢變化適應(yīng)性較強(qiáng)和能較好地融合指揮員決策偏好的優(yōu)點(diǎn),并針對(duì)防空反導(dǎo)WTA面臨目標(biāo)威脅信息不確定的情況,采用模糊多目標(biāo)規(guī)劃方法構(gòu)建WTA模型以提高不確定情況下防空反導(dǎo)WTA方法對(duì)戰(zhàn)場態(tài)勢變化的適應(yīng)性。鑒于量子行為粒子群算法的優(yōu)良性能,提出具有單/雙勢阱的多目標(biāo)量子行為粒子群算法(multi-objective quantum-behaved particle swarm optimization with double/single-well, MOQPSO-D/S)以求解所建立的WTA模型。

1 基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃的防空反導(dǎo)WTA建模

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)m個(gè)防空反導(dǎo)武器系統(tǒng)參與作戰(zhàn),需要攔截n個(gè)來襲目標(biāo),其中,第1～na個(gè)目標(biāo)為空氣動(dòng)力學(xué)目標(biāo),記為A類目標(biāo),其余為彈道類目標(biāo),記為B類目標(biāo)。

假設(shè)第i個(gè)武器系統(tǒng)發(fā)射xij枚攔截彈攔截第j個(gè)目標(biāo),且單發(fā)毀傷概率為pij。

1.2 模糊多目標(biāo)建模

以攔截效益最大化和攔截?fù)p耗最小化為目標(biāo)建立多目標(biāo)火力分配優(yōu)化模型

(1)

(2)

約束條件為

(1) 武器系統(tǒng)i最多射擊一種類型的目標(biāo)

(3)

(2) 武器系統(tǒng)i攔截的目標(biāo)數(shù)量不能多于其目標(biāo)通道

(4)

(3) 武器系統(tǒng)i發(fā)射的攔截彈數(shù)量不能多于其導(dǎo)彈通道

(5)

(4) 武器系統(tǒng)i發(fā)射的攔截彈數(shù)量不能多于其攜帶的導(dǎo)彈數(shù)量

(6)

(5) 用于攔截目標(biāo)j的攔截彈數(shù)量不少于攔截其所需的最少火力

(7)

1.3 模型的等價(jià)清晰化

該WTA模型的目標(biāo)函數(shù)含有模糊參數(shù),不能直接采用優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解,需要對(duì)含有模糊參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行處理,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的清晰等價(jià)形式。

利用不確定理論中的必要性測度[9]將含有模糊參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)式(1)轉(zhuǎn)化為

minc

(8)

式中,θ為來襲目標(biāo)剩余威脅度小于或等于c的必要性測度。

因此，可以將式(8)轉(zhuǎn)化為

minc

(9)

進(jìn)一步得到其清晰等價(jià)形式

(10)

這樣將基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃的WTA模型轉(zhuǎn)化為了清晰的多目標(biāo)規(guī)劃模型,可以利用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解。

2 基于MOQPSO-D/S的模型求解

量子行為粒子群算法[10](quantum-behaved particle swarm optimization,QPSO)相對(duì)粒子群算法具有收斂速度更快、控制參數(shù)更少和全局收斂等優(yōu)點(diǎn),已受到廣大學(xué)者關(guān)注[11-12]。起初,QPSO主要用于求解單目標(biāo)優(yōu)化問題。后來,學(xué)者們將其引入到多目標(biāo)優(yōu)化問題中,提出了多種基于QPSO的多目標(biāo)優(yōu)化算法[13-17]。鑒于這類算法的優(yōu)良性能,將其引入到WTA多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解中。

2.1 MOQPSO-D/S算法

多目標(biāo)優(yōu)化不同于單目標(biāo)優(yōu)化收斂于一個(gè)全局最優(yōu)解,它要求解集多樣性要好、分布均勻、與真實(shí)Pareto解集盡可能接近。然而,QPSO的快速收斂特性,導(dǎo)致基于QPSO的多目標(biāo)優(yōu)化算法具有容易早熟收斂的缺陷;QPSO全局收斂于一個(gè)最優(yōu)解的特性又限制了基于QPSO的多目標(biāo)優(yōu)化算法解的多樣性和分布性。為此,提出MOQPSO-D/S算法用于求解防空反導(dǎo)WTA多目標(biāo)規(guī)劃模型。該算法采用單/雙勢阱粒子位置更新方法均衡解的多樣性、求解精度及速度之間的關(guān)系;采用混合隨機(jī)變異方法避免算法早熟收斂及提高算法整體尋優(yōu)精度;采用兩階段法選取領(lǐng)導(dǎo)粒子,提高解的分布均勻性和求解速度。

2.1.1 單/雙勢阱粒子位置更新公式

所謂單/雙勢阱位置更新方法就是在尋優(yōu)早期,為提高種群多樣性和避免算法早熟收斂,采用兩個(gè)吸引子來更新粒子的位置;在尋優(yōu)后期,為提高算法收斂精度和速度,采用單個(gè)吸引子來更新粒子的位置。具體的位置更新公式為

xk(t+1)=

(11)

(12)

Lk(t)=

(13)

式中,α是擴(kuò)張-收縮因子。

2.1.2 粒子混合隨機(jī)變異方法

為了避免算法在尋優(yōu)早期出現(xiàn)早熟收斂以及提高算法在尋優(yōu)后期的收斂精度,提出混合隨機(jī)變異方法。所謂混合隨機(jī)變異,就是在尋優(yōu)早期采用均勻隨機(jī)變異,在尋優(yōu)后期采用高斯變異。均勻隨機(jī)變異可以使粒子以等概率在[xmin,xmax]上完全遍歷,從而可以提高解的多樣性,避免算法早熟收斂。其中[xmin,xmax]是決策變量的優(yōu)化取值范圍。高斯變異可以使粒子在原位置附近變異,從而避免算法后期因變異范圍過大而導(dǎo)致尋優(yōu)倒退,同時(shí)可以提高算法后期的局部尋優(yōu)精度。具體方法為

(15)

式中,rand是閉區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù);Rand(·)是均勻隨機(jī)變異算子;Gaussian(·)是高斯變異算子;σ是高斯變異均方差;pm是變異概率。

2.1.3 兩階段領(lǐng)導(dǎo)粒子選取方法

(16)

式中,x是粒子的位置；Nf是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。

sigma值法選擇領(lǐng)導(dǎo)粒子的原理如圖1所示。

圖1 Sigma值法選擇領(lǐng)導(dǎo)粒子Fig.1 Selection guider particle by sigma method

圖2 第2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)粒子的選取方法Fig.2 Selection method of the second guider particle

2.2 MOQPSO-D/S算法求解WTA模型

2.2.1 粒子編碼

由于MOQPSO-D/S算法不能直接求解離散問題,因此需要對(duì)粒子的位置進(jìn)行編碼才能求解WTA模型。記粒子位置為x,采用矩陣式編碼方式進(jìn)行編碼,具體為

式中,xij表示武器系統(tǒng)i攔截目標(biāo)j所使用的攔截彈數(shù)量。

2.2.2 基于MOQPSO-D/S的模型求解過程

基于MOQPSO-D/S算法求解防空反導(dǎo)WTA模糊規(guī)劃模型的具體步驟如下:

步驟1設(shè)置算法參數(shù),隨機(jī)初始化種群。

步驟3初始化外部存儲(chǔ)文件ARCHIVE。根據(jù)粒子的適應(yīng)度計(jì)算粒子間的支配關(guān)系;將非支配粒子存儲(chǔ)到ARCHIVE中,并計(jì)算ARCHIVE中粒子的擁擠距離和sigma值。

步驟4令迭代次數(shù)t=1。

步驟5采用兩階段法選擇各粒子的領(lǐng)導(dǎo)粒子gbest1和gbest2(當(dāng)t>tmax/2時(shí),不選取gbest2),并按式(11)更新粒子位置。

步驟6判斷是否滿足變異條件。若滿足,則對(duì)粒子進(jìn)行混合隨機(jī)變異操作;否則轉(zhuǎn)步驟7。

步驟8計(jì)算粒子xk與ARCHIVE中粒子的支配關(guān)系,若粒子xk支配ARCHIVE中的粒子xg,則將粒子xk加入ARCHIVE中,并刪除粒子xg;若粒子xk與ARCHIVE中的粒子互不支配,則將粒子xk加入ARCHIVE中,轉(zhuǎn)步驟9;否則,轉(zhuǎn)步驟10。

步驟9計(jì)算更新后ARCHIVE中粒子的擁擠距離及新加入粒子的sigma值;判斷ARCHIVE中的粒子數(shù)是否超過容量,若超出容量,則將擁擠距離最小的粒子刪除;否則轉(zhuǎn)步驟10。

步驟10令t=t+1;判斷t>tmax是否成立,若成立,則終止迭代,輸出ARCHIVE中的粒子作為多個(gè)防空反導(dǎo)WTA方案;否則轉(zhuǎn)步驟5。

2.3 MOQPSO-D/S算法的計(jì)算復(fù)雜度分析

設(shè)群體規(guī)模為N,ARCHIVE容量為M,目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)為Nf,則MOQPSO-D/S算法單次迭代的計(jì)算復(fù)雜度主要由以下幾部分決定:計(jì)算各粒子適應(yīng)度的計(jì)算復(fù)雜度O(NfN);粒子個(gè)體最優(yōu)位置更新的計(jì)算復(fù)雜度O(NfN);種群位置更新后,各粒子與ARCHIVE中的粒子進(jìn)行比較的計(jì)算復(fù)雜度O(NfMN);更新ARCHIVE,進(jìn)行擁擠距離排序的計(jì)算復(fù)雜度O(Nf(M+N)2);計(jì)算更新后ARCHIVE中粒子的sigma值的計(jì)算復(fù)雜度為O(N)。以上都是各部分最差情況下的計(jì)算復(fù)雜度。因此,MOQPSO-D/S算法每進(jìn)行一次迭代的計(jì)算復(fù)雜度為O(Nf(M+N)2)。這與文獻(xiàn)[15]中給出的MOQPSO-CD的計(jì)算復(fù)雜度是相同的,在可接受范圍內(nèi)。

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃的火力分配模型的合理性,同時(shí)考察MOQPSO-D/S算法求解火力分配問題的尋優(yōu)性能,給出以下實(shí)例。

假設(shè)某次防空反導(dǎo)作戰(zhàn)中,我方6個(gè)武器系統(tǒng)Wi(i=1,2,…,6)需要攔截5個(gè)來襲目標(biāo)Tj(j=1,2,…,5)。各武器系統(tǒng)所擁有的目標(biāo)通道、導(dǎo)彈通道、彈藥庫存量以及單發(fā)攔截彈的歸一化價(jià)值如表1所示。

表1 各武器系統(tǒng)的WTA及攔截彈價(jià)值

表2 單發(fā)毀傷概率

在Core i5 3.3 GHz、內(nèi)存4 GB的計(jì)算機(jī)上的Matlab 2013a環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。以單目標(biāo)優(yōu)化算法IDPSO[6],以及MOQPSO-DPS[17]、MOQPSO-CD[14]和MOPSO-CD[20]等多目標(biāo)優(yōu)化算法作為對(duì)比算法,與本文提出的MOQPSO-D/S在求解WTA問題上進(jìn)行性能對(duì)比。各算法均采用相同的粒子編碼和不可行解調(diào)整方式,多目標(biāo)優(yōu)化算法的ARCHIVE容量都設(shè)置為100, MOQPSO-D/S、MOQPSO-DPS和MOQPSO-CD算法的擴(kuò)張-收縮因子α隨著迭代次數(shù)變化由1呈線性遞減到0.4。

3.1 實(shí)時(shí)性分析

在不同群體規(guī)模和迭代次數(shù)下采用MOQPSO-D/S算法求解算例,分別運(yùn)行30次,算法平均運(yùn)行時(shí)間如表3所示。

表3 算法平均運(yùn)行時(shí)間

由表3可知,MOQPSO-D/S算法可以有效滿足防空反導(dǎo)WTA對(duì)算法實(shí)時(shí)性的需要。

在群體規(guī)模和迭代次數(shù)都為100的情況下,采用MOQPSO-DPS、MOQPSO-CD和MOPSO-CD求解算例,分別運(yùn)行30次,將它們的運(yùn)行時(shí)間與本文算法相對(duì)比,結(jié)果如圖3所示。

圖3 各算法的實(shí)時(shí)性比較Fig.3 Comparison of real-time performance

由圖3可知,MOQPSO-D/S的實(shí)時(shí)性要明顯優(yōu)于其他3種算法。

3.2 收斂性分析

采用MOQPSO-D/S求解算例,在群體規(guī)模和迭代次數(shù)都為50的情況下,獲得的結(jié)果如圖4所示。

圖4 MOQPSO-D/S求解算例的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of MOQPSO-D/S solving the example

由圖4可知,采用MOQPSO-D/S求解防空反導(dǎo)WTA的模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型得到的解,分布較為均勻。其中,每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一種WTA方案,可以為指揮員提供多種決策方案。指揮員根據(jù)戰(zhàn)場態(tài)勢和風(fēng)險(xiǎn)偏好做出最終的WTA決策。相較于僅能給出WTA方案的單目標(biāo)優(yōu)化方法,該方法可以更好地適應(yīng)戰(zhàn)場態(tài)勢的變化和融合指揮員戰(zhàn)術(shù)思想來進(jìn)行WTA。

為了驗(yàn)證采用MOQPSO-D/S求解WTA問題得到的結(jié)果的有效性,采用文獻(xiàn)[6]中以最大效費(fèi)比為目標(biāo)函數(shù)建立的單目標(biāo)WTA模型和IDPSO算法求解本算例。設(shè)置群體規(guī)模和迭代次數(shù)均為50,進(jìn)行30次仿真,平均運(yùn)行時(shí)間為0.719 3 s,算法的迭代曲線和最優(yōu)WTA結(jié)果分別如圖5和表4所示。

圖5 基于IDPSO的WTA迭代曲線Fig.5 Iterative curve of WTA based on IDPSO

由圖5可知，單目標(biāo)優(yōu)化算法所得到的最優(yōu)分配結(jié)果與圖4中紅色五角星標(biāo)注點(diǎn)對(duì)應(yīng)結(jié)果相同,而算法在相同群體規(guī)模和迭代次數(shù)條件下的平均運(yùn)行時(shí)間比MOQPSO-D/S算法略小。由此表明,雖然采用MOQPSO-D/S求解WTA問題一定程度上分散了計(jì)算資源,但依然能獲得包含單目標(biāo)最優(yōu)分配結(jié)果的滿意結(jié)果。同時(shí)證明了基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃的WTA模型是合理的,采用MOQPSO-D/S求解模型是可行的。

表4 基于IDPSO的最優(yōu)WTA

為了進(jìn)一步驗(yàn)證MOQPSO-D/S算法求解WTA問題時(shí)的收斂性,在群體規(guī)模和迭代次數(shù)都為100的條件下,采用MOQPSO-D/S、MOQPSO-DPS、MOQPSO-CD和MOPSO-CD求解算例,將得到的Pareto最優(yōu)解集進(jìn)行對(duì)比。以支配覆蓋率C(X1,X2)[21]衡量各算法的收斂性優(yōu)劣。其中,X1和X2分別表示兩種算法得到的Pareto最優(yōu)解集,C(X1,X2)越大、C(X2,X1)越小,表明X1對(duì)應(yīng)算法的收斂性能越優(yōu)于X2對(duì)應(yīng)算法。各算法的對(duì)比結(jié)果如表5所示,表中A1,A2,A3和A4分別代表MOQPSO-D/S、MOQPSO-DPS、MOQPSO-CD和MOPSO-CD算法所求得的Pareto最優(yōu)解集。

表5 各算法的Pareto最優(yōu)解集之間的支配覆蓋率

由表5可知,MOQPSO-D/S求解WTA問題的收斂性與其他3種多目標(biāo)優(yōu)化算法相比是最好的。

3.3 多樣性分析

為了驗(yàn)證MOQPSO-D/S算法求解WTA問題得到的Pareto解的分布均勻性,采用分布廣度指標(biāo)SP[22]進(jìn)行評(píng)價(jià),SP值越小,表明Pareto解分布越均勻。在群體規(guī)模和迭代次數(shù)都為100的條件下,算法均獨(dú)立運(yùn)行30次,SP值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖6所示。

圖6 各算法的Pareto最優(yōu)解集的分布性Fig.6 Diversification of four algorithms’ Pareto optimal sets

由圖6可知,MOQPSO-D/S算法求解WTA問題得到的Pareto最優(yōu)解集的分布是最均勻的,并且MOQPSO-D/S求得的 Pareto最優(yōu)解集的分布性是最穩(wěn)定的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證MOQPSO-D/S算法求解防空反導(dǎo)WTA問題的有效性,在此對(duì)不同作戰(zhàn)規(guī)模(m×n)算例進(jìn)行仿真求解。各算法求解作戰(zhàn)規(guī)模分別為6×6、20×30和50×80的算例,必要性測度均為0.8,進(jìn)行30次仿真得到的仿真結(jié)果如表6所示。

表6 各算法求解不同作戰(zhàn)規(guī)模算例的性能比較

由于篇幅所限,在此不一一列出各武器系統(tǒng)的火力配置及攔截彈價(jià)值、目標(biāo)威脅度和單發(fā)毀傷概率。由表6可知,求解不同作戰(zhàn)規(guī)模的算例時(shí),MOQPSO-D/S算法在實(shí)時(shí)性及解的分布均勻性方面依然比其他3種算法優(yōu)越。另外,通過采用支配覆蓋率對(duì)比各算法所求得的Pareto最優(yōu)解集可知, MOQPSO-D/S求解不同作戰(zhàn)規(guī)模的WTA問題的收斂性依然是最好的。在此不再列出各算法所求Pareto最優(yōu)解集之間的支配覆蓋率。

4 結(jié) 論

基于模糊多目標(biāo)規(guī)劃方法建立的防空反導(dǎo)WTA模型,考慮了來襲目標(biāo)威脅值不確定的問題,可以為不確定情況下的防空反導(dǎo)WTA提供參考。

基于MOQPSO-D/S的WTA方法可以得到多種WTA方案,相比單目標(biāo)優(yōu)化方法,在輔助WTA決策時(shí),能更好地適應(yīng)戰(zhàn)場態(tài)勢的變化及融合指揮員的戰(zhàn)術(shù)思想。

由于采用了單/雙勢阱粒子位置更新、混合隨機(jī)變異和兩階段領(lǐng)導(dǎo)粒子選取等方法,所提出的MOQPSO-D/S算法相比MOQPSO-DPS、MOQPSO-CD及MOPSO-CD算法,在求解WTA問題時(shí),具有更好的實(shí)時(shí)性、收斂性以及可以獲得分布更為均勻的Pareto最優(yōu)解集,可以為WTA多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解提供優(yōu)良算法。

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