設點還是設斜率

徐萍

已知什么？點（2，1），點P是AB的中點，這是關鍵詞。

怎么運用“P是AB的中點”？利用中點公式：

怎么求出A，B的坐標呢？它們是直線與直線的交點，可以聯立直線，構建方程組，但是直線ι的方程不知道。

已知一個點，選擇點斜式表示直線方程，就需要設直線ι的斜率為k，當然設斜率為k之前，必須先說明斜率不存在時的情況。

當條件中已知一個點，大家選擇點斜式表示直線方程，那就要根據條件列出方程求斜率。

再思考下，還有其他做法嗎？確定直線，除了一個點加斜率，還可以找兩個點，可以設點A，B的坐標，列出兩個方程。設直線ι與直線y=x+2的交點A為（x1，x1十2），與直線y=-x十2的交點B為（x2，2-x2），則

當然也可以只設一個未知數，用A表示出B，再利用B在直線上，列出一個方程，設直線ι與直線y=x十2的交點A為（x0，x0十2），則直線ι與直線y=-x+2的交點B為（4-x0，-x0），又交點B在直線y =-x+2上，則-x0=-（4-x0）+2，得x0=1，點A坐標知道了，直線方程就可迎刃而解。

對于例題，所求直線的幾何性質對解題沒有明顯直觀的幫助作用，只能選擇代數辦法。而根據條件選擇直線方程形式的時候，顯然應選擇點斜式，這種解法其實就是將題目中的條件按序翻譯成代數語言，直至問題解決！

變式2 過點P（-1，2）的直線ι與x軸，y軸分別交于A，B兩點，若點P為AB的中點，求直線ι的方程。

這道變式題的關鍵是刻畫中點，可以設截距（也就是設點），也可以設斜率確定方程求出截距，再列出方程！當然還可以直接求出截距！這道題目選擇兩點式、截距式、斜截式、點斜式都成！

這道題目已知直線上的一個點，要求的是直線方程。這時需要思考的是，是設斜率呢，還是設點？我們可以稍微權衡下，哪種做法比較簡單，能迅速地解決問題。

如果設斜率，那么先考慮直線斜率不存在時，看是否符合題意；再當直線斜率存在時，設為k，直線方程為y=k（x十4）。

怎么刻畫點A是PB的中點呢？利用中點公式可以得到點A，P，B三點之間坐標的關系，記作（*）式。

點A的坐標怎么求？聯列直線和圓的程的根，代入（*），構建關于k的方程。

當然了，選擇這樣的思路，還可以設A為（x1，yl），B為（x2，y2），借助于韋達定理與（*）式，去求出k的值。

不著急動筆做，再想想其他思路。

如果設點，比如設A為（x1，yl），兩個未知量，需要兩個方程，一個方程是A滿足圓的方程；還有一個就是利用點A是PB的中點，用x1與y1表示出B點的坐標，代入圓的方程，構建第二個方程。解方程組，求出A的坐標，從而得到直線方程。

有了思路，問問自己，這兩種做法中，你會選擇哪一個呢？理由呢？當然，這道題還可以借助網的幾何特征來做，過圓心做直線的垂線，構建兩個直角三角形，利用勾股定理，求出圓心到直線的距離，再由直線方程y=k（x+4），求出斜率k。說到底，還是設斜率，只不過利用幾何特征得到關于k的方程！

直線中，當只給定一個點時，要去求直線方程時，可以設直線的斜率，也可以設直線上的一個點，根據條件，列出方程（組）。一般來說，不管哪個思路都是可行的，大家需要做的，就是去選擇最適合的方法！endprint