淺論培養數學思維在高中解析幾何學習中的作用

劉銘揚

摘 要：數學思想方法與數學內容應緊密聯系起來，在課堂學習中真正的滲透其中，才能對數學問題的解決具有指導性的作用，才可以讓我們對數學產生整體的認識，并且靈活的運用數學思想，這對于我們深刻理解數學內容能夠起到事半功倍的作用。作為一名高中生，在高中解析幾何學習中，應該從思想上認識到數學思想方法的重要性，應以課本內容為支撐，充分挖掘其背后所蘊含的數學思想方法，并通過具體的數學內容來顯化，進而提高自身運用數學思想方法分析以及解決問題的能力。

關鍵詞：數學問題;分析能力;解析幾何;數形結合

著名數學家張奠宙先生認為：“對于同一數學成就，當用它去解決別的問題時稱之為方法，當評價它在數學體系中的自身價值和意義時就稱之為思想。”而數學方法是指人們解決數學問題的一種策略或手段，是進行科學研究的一種方法。數學思想是對數學方法的升華，具有內隱性;數學方法是對數學思想的體現，具有外顯性。二者相互促進、相互滲透和相互交融。

一、解析幾何特點

解析幾何是高中數學學科中的重要組成部分，也是歷年來高考中必考的內容。高中數學解析幾何課程具有極強抽象性和邏輯性，同時涵蓋面廣，涉及到直線、圓、圓錐曲線的定義、方程、圖形和性質等，存在很多的學習難點，我們在學習過程中往往會覺得無所適從。而解析幾何學習中最重要的就是“數”與“形”的有效結合，倘若能巧妙的運用數學思想方法，有利于擴寬解題思路，提高解題速度，自然而然的就能突破學習難點。解析幾何分為平面解析幾何和立體解析幾何兩個部分，在高中階段的解析幾何學習，主要是學習平面解析幾何，通過建立平面直角坐標系，建立點和實數之間、方程和曲線之間一一對應的關系，這樣將直線、圓、圓錐曲線等放入坐標系后，都能找到其對應的橫縱坐標（x，y）之間的等量關系，進而運用代數的方法研究幾何問題，這也是曲線的函數方程，反之，只要有函數方程，就能在平面直角坐標系中畫出該函數的曲線，進而用幾何方法研究代數問題，從而將“數”與“形”統一起來，促進了數學歷史的發展。

二、解析幾何解題學習方法概述

學習難點是由于我們原有數學認知結構與學習新內容之間的矛盾而產生的，并且個體的數學認知結構不完全相同，因此會出現遭遇難點或在突破難點的速度上的個別差異。在學習過程中，如何突破學習難點，歸納起來，主要有以下幾種常用手段：

（一）鋪墊法。在講解學習難點以前有意識的做好鋪墊和前奏工作，強調和分析該難點的需要把握的關鍵點，這樣我們分別掌握關鍵點后，再來學習難點知識就能做到心中有數，難點問題自然能攻克。

（二）分層法。在學習過程中，將整個學習難點根據我們的分層情況，按照層次逐個進行講解與分析，讓不同層次的我們在教師的啟發與引導下，都能有效的突破學習難點。

（三）反例法。在數學知識學習過程中，有些學習難點的學習，往往采取“反例法”可能取得事半功倍的效果，通過啟發我們從方面進行思考，可能幫助我們釋疑解惑。

（四）引喻法。引喻，也就是打比方，為了突破學習難點，可以利用我們比較熟悉的生活實例來揭示其所蘊含的數學本質和內涵，這種方法需要教師在日常生活中留心觀察生活中的事與物，這樣才能有效的將其運用到課堂學習中，幫助我們更好的理解知識點。

三、高中數學解析幾何中蘊含的數學思想方法

（一）數形結合思想。數形結合思想是指，在研究數學的問題過程中，將“數”與“形”有機的結合起來，將空間內的點與實數組一一的對應起來，這樣可以將復雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，從而使得數學問題得以有效解決，數形結合的思想貫穿于整個高中解析幾何學習內容中。（1）以形助數.以形助數，是指以所研究的幾何圖形的性質、軌跡及形狀為出發點，借助幾何圖形的直觀形象，來揭示其所對應的數量關系。（2）以數助形.以數助形，是指以已知的數量關系為出發，利用數量的準確關系去探討相對應幾何圖形的圖像、性質及特征。

（二）分類討論思想方法。分類討論思想方法是指在遇到一些視角廣泛、層次復雜的數學問題時，無法對題目中的討論對象進行統一的研究，就可以通過選擇一個適當的標準將研究標準分成幾類，然后對每一類問題進行仔細的分析，最后進行綜合整理結論，從而實現求解問題的目的。分類討論思想是高中解析幾何中的另一重要思想方法，主要體現在兩個方面：第一，含有參數的解析幾何問題，其解題結果隨著參數的變化而發生變化，必須根據題目的實際意義和要求進行分類討論;第二，涉及到點、直線及曲線等幾何元素之間位置關系的不確定的情況下，需要進行分類討論。

（三）函數與方程思想方法。函數與方程是高中數學學習中的兩個重要概念，兩者可以相互轉換。其中，函數思想是指，利用集合的思想及運動的觀點去分析數學問題，通過構造函數，討論函數圖象的性質，進而求解問題;方程思想是指利用變量間的等量關系去分析數學問題，通過構建方程，討論方程解的情況或性質，進而求解題目。函數與方程思想核心的本質是利用數學模型來分析所研究數學問題中的數量關系。在利用函數及方程思想求解題目時，要善于挖掘題目中所隱含的數量關系，并通過構建函數或方程，將原問題轉化為求函數的定義域、值域、最小值和最大值或方程及方程組進行求解。

參考文獻：

[]李大永.基于數學思想方法的理解，整體設計解析幾何的學習[J].數學通報，2016，第11期，13-18.