數學魔術的理論與實踐

◎ 文、圖︱王志偉（北京魔幻久久文化傳播有限公司）

數學魔術，顧名思義，就是魔術背后的秘密是基于數學原理的，代數的、幾何的和拓撲的，等等。但因它終歸是魔術，所以在表演時，魔術師要借助各種形式上的轉換，將數學原理隱藏不露，從而達到讓觀眾大惑不解、驚奇萬分的神秘效果。在魔術表演中，紙牌魔術順理成章地成為數學魔術的理想載體。

接下來給讀者呈現的數學魔術，就是以紙牌方式表演的；表演后我會揭示其數學原理。

一、表演過程

魔術師拿出十張撲克牌給觀眾看，是兩組不同花色的A-5，假設是黑花A-5（S1-5）及紅桃A-5（H1-5）。魔術師將十張牌按順序面朝下攏成一摞，進行若干次切牌，然后開始發牌。他拿出最頂上的一張牌，牌面朝下放在桌面上，然后是第二張牌牌面朝下放在第一張的上面，依此類推，將前五張牌放在桌面上后，將手中其余五張牌直接整體面朝下放在桌面上，形成左右兩摞牌疊。（圖1、2）

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

魔術師拿出四枚籌碼，每枚籌碼都代表一次輪換機會。一次輪換是指將某一摞牌的最上面一張放到這摞牌的最下面。這四枚籌碼可由觀眾以任意方案分配給兩摞牌，如觀眾把三枚籌碼給了左邊一摞，把一枚籌碼給了右邊一摞。（圖3）觀眾分配好籌碼后，魔術師將按籌碼數目對牌摞的牌張進行輪換，如放三枚籌碼的牌摞，每次輪換后的頂牌要放最下面，共輪換三次，放一枚籌碼的，頂牌要放最下面一次。輪換結束后，魔術師將每摞牌最上面一張拿出放在一起，并拿出一枚籌碼壓住這兩張牌。（圖4）

圖6

圖7

第一輪操作后還剩兩摞八張牌，每摞四張，以及三枚籌碼；第二輪操作同樣由觀眾決定，將三枚籌碼在兩摞牌上進行分配，魔術師再次按分配對牌張進行輪換，輪換結束后再將每摞牌的最上面一張拿出放在一起，并從三個籌碼中拿出一枚壓住這兩張牌。（圖5）

依此類推，將所有籌碼用盡，此時兩摞牌均剩一張，每枚籌碼下均有兩張牌。翻開剩下的這兩張牌，呈現出兩張牌是配對的效果；再依次翻開其他籌碼下的牌也是配對成功的。哇！這就是魔術。（圖6、7）

二、原理揭秘

這是一個利用數學的余數原理表現的紙牌魔術。

首先，魔術師要將十張牌多次切牌，如果不進行抽洗只是上下切牌，無論多少次，牌與牌之間的相對順序依舊是不變的。假設切牌前往下數第一到第五張分別為 S1、S2、S3、S4、S5；第六張到第十張依次為H1、H2、H3、H4、H5。若干次完整切牌后，你會發現十張牌的相對順序還是與之前相同。

假設切牌后是停在了S3、S4、S5、H1、H2、H3、H4、H5、S1、S2，魔術師將第一到第五張牌放在桌面上，從上往下依次為H2、H1、S5、S4、S3，這摞牌設為第一摞，此時將手中剩下的五張牌整個放在桌面上，從上往下依次為 H3、H4、H5、S1、S2，這摞牌設為第二摞。

兩摞牌的配對順序是第一摞牌的第一張對應到第二摞牌的第五張，第二張對應到第四張，以此類推。用數學語言表示如下：

在第一摞牌中從下往上處于數第n張（1≤n≤5，且n∈N*）的牌，在第二摞中處于第（6-n）張。在觀眾分配籌碼時，假設將m個籌碼（0≤m≤4，且m∈N）分配給第一摞，則分配給第二摞（4-m）個籌碼。

第一摞中的第n張牌經過m次輪換后變為了第（ n-m）mod5（此處取非負整數）張牌，第二摞中的第（6-n）張牌經過（4-m）次輪換后變為了第[6-n-（4-m）]mod5（此處取非負整數）張牌。

假設（n-m）≡k[mod，（0≤k≤4且k∈N）]

[6-n-（4-m）]≡p（mod5），

（0≤p≤4，且p∈N）

因為[n-m]+[6-n-（4-m）]=2，所以k+p=2（mod5）

考慮到 k，p 的取值范圍，k，p 的可能取值情況為：

（1） k=0，p=2 這種情況表示第一摞中第i張牌變為了第五張，第二摞中第（6-i ）張牌變為了第二張，即輪換后第一摞中的第五張牌與第二摞中的第二張牌相同

（2） k=1，p=1 這種情況表示第一摞中第 j 張牌變為了第一張，第二摞中第（6-j ）張牌變為了第一張，即輪換后第一摞中的第一張牌與第二摞中的第一張牌相同

（3） k=2，p=0 這種情況表示第一摞中第s 張牌變為了第二張，第二摞中第（6-s）張牌變為了第五張，即輪換后第一摞中的第二張牌與第二摞中的第五張牌相同

（4） k=3，p=4 這種情況表示第一摞中第t 張牌變為了第一張，第二摞中第（6-t）張牌變為了第三張，即輪換后第一摞中的第一張牌與第二摞中的第四張牌相同

（5） k=4，p=3 這種情況表示第一摞中第u 張牌變為了第四張，第二摞中第（6-u ）張牌變為了第三張，即輪換后第一摞中的第四張牌與第二摞中的第三張牌相同

第一摞輪換后從上往下變為α,β,χ,δ,ε，第二摞輪換后從上往下對應為α,ε,δ,χ,β

可以看出這兩摞牌的第一張相同，將這對配對的牌取出后，與一枚籌碼放在一起。兩摞牌均剩余四張且互為倒序，籌碼剩余三枚，再次經歷上述類似過程總能保證 k+p≡2（mod4）。

因此有輪換后的兩摞牌的第一張相同，將這對配對的牌取出后，兩摞牌均剩余三張且互為倒序，籌碼剩余 兩枚。

如此過程重復，只要保證兩摞牌互為倒序且每摞牌數量比籌碼數多一，就會有 k+p≡2（modr）（此處 r 表示籌碼數），經過任意方案的輪換后都能使兩摞牌的第一張相同，其余牌互為倒序。直到每摞牌都只剩余一張自動配對。

照此方法找出所有配對紙牌，最終呈現出魔術效果。（待續）■