基于矢量修正的稀疏陣列測向解模糊方法

韓佳輝，畢大平，陳 璐

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

波達方向(Direction of Arrival，DOA)估計是雷達對抗領域的核心研究內容之一，對獲取戰場主動性，爭奪制信息權具有重要的作用。現代電磁環境中，信源密集且復雜多變，往往需要對多信源精確測向，傳統測向體制難以完成使命。超分辨陣列測向技術能夠同時精確估計多個信號的方位，克服了傳統測向體制的缺陷。MUSIC(Multiple Signal Classification)[1]算法作為一種最經典的超分辨算法，自提出以來有很多學者對它進行了大量的改進[2-4]，但是目前的優化算法大多數是針對陣元間距小于半波長的均勻線陣(ULA)設計的，存在著陣列孔徑小、測向精度低和分辨率差等缺點，難以適應現代戰場電磁環境。稀疏陣列是指陣元間距大于半波長的陣列系統，相比于相同陣元數目的常規滿秩陣列，稀疏陣列擁有更大的陣列孔徑，更大的分辨率，更高的自由度。但是當陣元間距大于半波長時，會出現測向模糊問題。

近年來，已經有很多學者將稀疏陣列引入到DOA估計領域，應用較多的稀疏陣列為嵌套陣和互質陣。文獻[5]用 Ziv-Zakai限分析了稀疏線陣測向性能。文獻[6]分析了嵌套陣對陣列自由度的提升情況，系統地對陣列進行了虛擬擴展，實現了在陣元數量低于信源數量下的無模糊測向。文獻[7]詳細推導了嵌套陣陣列結構和可測量信源數目的關系。文獻[8]通過多級嵌套陣列，等效地擴展了虛擬陣元的數量，極大地提升了可測信源的數目，避免了測向模糊問題，但是陣列結構復雜，計算量過大。文獻[9]設計了一種互質陣列結構，利用陣元間距之間互質的原理，實現了無模糊測向，但是存在陣列形式單一的缺點。然而值得注意的是，現有的稀疏陣列DOA估計算法大都在虛擬陣列擴展的基礎上實現測向，存在陣列結構復雜、計算量大、實時性差等缺點，很難滿足雷達對抗的作戰需求。本文針對以上問題，提出了基于矢量修正的稀疏陣列測向解模糊方法。

1 MUSIC算法數學模型及稀疏陣列模型

1.1 MUSIC算法模型

基于天線陣列協方差矩陣的特征分解類DOA估計算法中，MUSIC算法具有普遍的適用性，只要已知天線陣的布陣形式，無論直線陣還是圓陣，不管陣元是否等間隔分布，都可以得到高分辨的估計結果。設有n個遠場窄帶不相干的信源以來波方向θk(k=1,2,…,n)入射到陣元數目為m的線陣，設其陣元位置為z=[z1z2…zm]，如圖1所示。

則整個陣列的接受信號為：

y(t)=A(θ)x(t)+n(t),t=1,2,…,N

(1)

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T為陣列的接受數據矢量；x(t)=[x1(t),x2(t),…xn(t)]T為信源矢量；n(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]T為均值為0方差為σ2的加性高斯白噪聲列矢量；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θn)]為陣列流形矩陣，a(θk)=[ejωkz1,ejωkz2,…,ejωkzm]T為第k個信號的導向矢量，其中ωk=2πsinθk/λ為第k個信號單位距離的相位差；N為快拍數。陣列協方差矩陣為：

Ry=E[y(t)yH(t)]=ARxAH+σ2I

(2)

其中，Rx=E[x(t)xH(t)]表示入射信號矢量的自相關矩陣，將Ry分解為信號子空間US和噪聲子空間UN,A和US相同且和UN正交。定義陣列空間譜函數為：

(3)

由上式，使θ變化，通過尋找波峰來估計到達角。

1.2 稀疏陣列

為了便于分析，假設信源半波長λ/2=1，若以第一個陣元為參考陣元，則陣元數目為m，陣元間距d=λ/2的均勻線陣可以表示為z=[0 1 2 … (m-1)]。由于稀疏陣列陣元間距d>λ/2，那么陣元數目為m，陣元間距d=M均勻稀疏陣列可以表示為：

其中，M>1且M∈N。

圖3 互質陣列(●陣列 1，○陣列 2)
Fig.3 Coprime array (●array 1, ○array 2)

2 稀疏陣列無模糊測向方法

若陣列陣元個數為m，只有對于任意n+1個單位距離相位差ωi(0≤ωi<2π,1≤i≤n+1)，擴展陣列流形Aaug=[a(ω1)a(ω2) …a(ωn)a(ωn+1)]的秩滿足rank(Aaug)=n+1時，MUSIC算法可以無模糊估計出n(n

2.1 陣元相對位置最大公約數對測向性能的影響

定義g=gcd(z2,z3,…,zm)，其中gcd為最大公約數運算符。為便于分析，假設信源半波長λ/2=1，則單位距離相位差可以表示為ω=2πsinθ/λ=πsinθ，若來波方向θ∈[-π/2,π/2)，則ω∈[-π,π)。

1) 陣元相對位置最大公約數等于信源半波長，即g=1。

(4)

(5)

(6)

(7)

所以

(8)

因為gcd(z2,z3,…,zm)=g，上式可以寫成

(9)

2) 陣元相對位置最大公約數大于信源半波長，即g>1。此時導向矢量可以表示為：

(10)

(11)

2.2 導向矢量修正解模糊方法

若在稀疏ULA位置為N處添加一個陣元，此時陣列表示為zC=[zM|N]如圖4所示，即

(12)

(13)

圖4 稀疏均勻線陣增加陣元(gcd(M,N)=1)
Fig.4 Spare ULA with another element (gcd(M,N)=1)

(14)

若aM(ω1)=aM(ωn+1)，那么

(15)

c1+cn+1=0,c2=c3=…=cn=0

(16)

式(14)最后一行為：

c1ejNω1+c2ejNω2+…+cn+1ejNωn+1=0

(17)

將式(16)代入到式(17)中，得

ejNω1=ejNωn+1

(18)

這就意味著當-π/2≤ω1<ωn+1<π/2時，ωn+1-ω1=2πl/N,1≤l

M/N=k/l

(19)

3 仿真實驗

本節通過仿真實驗首先驗證陣列相對位置的最大公約數與測向模糊之間的關系；然后驗證所提方法解稀疏陣測向模糊的有效性；最后通過與陣元間距為半波長的陣列測向性能相比，驗證所提方法的性能。

實驗1 陣元相對位置的最大公約數與測向模糊關系

采用非等間距稀疏線陣，陣元數目m=7。兩遠場不相干信源分別以θ1=-30°，θ2=40°兩個角度入射。信噪比SNR=0 dB，快拍數1 000。圖5由(a)到(d)為陣元相對位置最大公約數與信源半波長比值分別為g/(λ/2)=1，g/(λ/2)=2，g/(λ/2)=3，g/(λ/2)=6，采用MUSIC算法進行DOA估計得到的結果。

實驗2 解模糊方法有效性分析

從圖6的測向結果可知，對來自于θ1，θ2的兩個遠場不相干信號，未添加陣元的稀疏ULAz1出現了嚴重的測向模糊。但增加一個陣元后，陣列z2極大的抑制了虛假譜峰，基本實現了測向解模糊。可見，所提方法能夠有效地解決稀疏陣列的模糊問題，并且陣列形式更加靈活，有利于工程實現。

實驗3 DOA估計性能比較

從圖7(a)和圖7(b)可知，當5個信源入射時，半波長均勻陣列已經不能有效的分辨出信號的個數。而本文方法仍能夠分辨多個入射信號，具有更好的多目標分辨能力。從圖7(c)和圖7(d)可知，當2個信源以θ2=(30°,32°)入射時，角度差為2°時，半波長均勻陣列因為信源角度差較小，不能準確估計信源入射角，測向精度較低。而本文方法保留了稀疏陣列孔徑大的特點，準確估計出信源入射角，具有更高的測向精度。

實驗4 DOA估計性能統計分析

采用與上一節相同的陣列。一遠場信源以θ=30°入射到兩陣列上。均方根誤差

(20)

式中，L代表蒙特卡洛實驗的次數，進行300次蒙特卡洛實驗，可得到如圖8所示結果。

從圖8(a)可知，在低信噪比條件下，半波長均勻陣列的均方根誤差較大，測向精度顯著下降。而本文方法在低信噪比條件下，仍能準確實現DOA估計。當信噪比較高時，本文方法比傳統的陣元間距為半波長的陣列DOA估計精度更高。從圖8(b)可知，所提方法本文所提方法在快拍數域全面優于半波長均勻陣列。

4 結論

本文提出了基于矢量修正的稀疏陣列測向解模糊方法。該方法通過推導陣元相對位置與稀疏陣列角度估計之間的關系，分析了陣元相對位置的最大公約數對MUSIC算法測向性能的影響，利用在稀疏均勻線陣特定位置添加新的陣元的方法，對原陣列的導向矢量進行修正，解決了稀疏陣列的測向模糊的問題。仿真實驗結果表明，該方法不僅保留了稀疏陣大孔徑的優點，提高了多信號分辨能力和測向精度，并且在低信噪比和小快拍條件下性能較好。

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