基于協方差矩陣重構的穩健自適應波束形成算法

王 昊，馬啟明

(杭州應用聲學研究所，浙江 杭州 310023)

0 引言

自適應波束形成技術可以廣泛地應用于雷達、聲納、無線通信等眾多領域。在理想條件下，即陣元協方差矩陣精確已知，導引向量(SV，Steering Vector)準確無誤差的情況下，是輸出信干噪比(SINR，Signal-to-Interference-Plus-Noise Ratio)最大準則下最優的空域濾波器。然而，在實際應用環境中，陣列快拍數往往有限，利用有限快拍得到的采樣協方差矩陣與理論值存在誤差，另一方面，波束指向角度失配會導致導引向量誤差，特別是大角度失配情況下，自適應波束形成器性能嚴重下降[1]。

現有的基于標準Capon波束形成器[2](SCB，Standard Capon Beamformer)的穩健自適應波束形成算法，以Cox提出白噪聲增益約束法[3]最為著名，然而，不同工作環境下最優對角加載量的選取是一個十分困難的問題。穩健Capon波束形成器[4](RCB，Robust Capon Beamformer)是目前較為流行的穩健自適應波束形成算法，但是，它無法解決訓練數據包含期望信號的問題，依然存在信號“自消”的風險，同時在波束指向角失配較大時，算法性能嚴重下降[5-6]。文獻[7]算法可以提高自適應波束形成器在角度失配條件下穩健性。然而，在信噪比較高時，會出現信號“自消”現象。文獻[8]基于干擾噪聲協方差矩陣重構，提出了一種區別于對角加載類算法的新思路，但是，在大角度失配時，導引向量估計不準確，由此會造成輸出信噪比的損失[9]。另外現有的許多穩健自適應算法[10-11]，需要求解半定規劃、二階錐規劃，都用到解最優化問題的工具箱[12]，這就給算法的實用性帶來了不便。

綜上可知，在大角度失配和采樣協方差矩陣中包含有期望信號時，傳統自適應波束形成器的性能將極劇下降。此時，如何提高自適應波束形成器的穩健性是一個亟需研究的問題。本文針對此問題，提出了基于協方差矩陣重構的穩健自適應波束形成算法。

1 陣列信號模型

考慮基陣模型，陣元個數為M，假設有Q個窄帶信源同時入射到陣列，信源之間相互獨立，則陣元接收信號的第k個快拍為：

x(k)=xs(k)+xj(k)+n(k)

(1)

其中，xs(k)表示期望信號成分，xj(k)表示Q-1個干擾成分，n(k)為與信源相互獨立的空時高斯白噪聲。

(2)

R=Rs+Rj+n

(3)

建立最優化準則

(4)

可以得到最大化輸出信干噪比準則下的最優權值w。上式可等價為：

(5)

此式即標準Capon波束形成器，由此可得最優權值為

(6)

利用求解出的最優權值可以得到標準Capon波束形成器的輸出功率為：

(7)

(8)

2 基于協方差矩陣重構的穩健自適應波束形成算法

2.1 干擾加噪聲協方差矩陣重構

當期望信號包含于陣列數據中時，利用采樣協方差矩陣代替干擾噪聲協方差矩陣，常常會出現信號“自消”現象，導致自適應波束形成器性能的急劇下降，為此這里提出一種干擾加噪聲協方差矩陣重構方法。

(9)

(10)

(11)

其中，Nn表示對感興趣區域的劃分點數，可以根據空間區域的大小范圍以及基陣波束寬度或粗或細的進行劃分。

(12)

2.2 期望信號導引向量估計

將采樣協方差矩陣寫成子空間形式

(13)

MUSIC算法是利用噪聲子空間與導引向量的正交性構造空間譜，理想情況下，其空間譜是一個狄拉克δ函數(定義為在目標方位呈現出峰值，而在非目標方向上均為0)。由此利用MUSIC譜估計法重構信號協方差矩陣

(14)

(15)

即可得到估計的期望信號導引向量

(16)

在求取最大特征值及其對應的特征向量時，可以利用乘冪法[15]等迭代算法降低運算量。

(17)

3 仿真與性能分析

仿真一：考察算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化。快拍數固定為K=50，每種SNR條件下進行100次獨立重復實驗，統計平均SINR。

由上圖可以看出SCB受期望信號導引向量估計誤差以及期望信號的影響，性能嚴重偏離理論最優值，這種性能惡化隨著輸入信噪比的增加不斷增大。RCB和文獻[7]算法相較SCB，性能均有所改善，然而由于利用包含期望信號的采樣協方差求取最優權值，隨著信噪比的增大，性能惡化，在低信噪比情況下，文獻[7]算法由于導引向量估計偏差，性能甚至劣于SCB，文獻[8]算法由于利用重構的干擾加噪聲協方差矩陣求取最優權值，避免了信號“自消”現象的發生，但是由于期望信號角度失配較大，求解最優化得到的導引向量不準確，性能偏離了理論最優。相較前述幾種方法，本文所提算法的SINR最高，與理論最優誤差最小。然而可以看出，在極低信噪比(SNR<-10 dB)情況下，本文方法亦偏離了理論最優，這是由于低信噪比條件下，子空間劃分不準確導致的導引向量估計偏差引起的，后續將針對此開展相關工作。

仿真二：考察算法的輸出信干噪比隨快拍數的變化。假設期望信號的信噪比為5 dB，快拍數在K=[10∶4∶100]之間變化，同樣地，每種快拍數下進行100次獨立重復實驗，統計平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨快拍數變化的曲線。

由上圖可知，由于大角度失配，SCB隨快拍數的增加，性能急劇惡化，RCB和文獻[7]算法相較SCB有所改善；SINR隨快拍數的增加而增加，然而由于期望信號的影響，SINR與理論最優始終有較大差距；文獻[8]算法，受快拍數影響較小，相較前述幾種方法收斂速度快，SINR高于前述方法，然而由于大角度失配導致的期望信號導引向量估計不準確，SINR依然偏離理論最優；本文所提算法由于采用了重構協方差矩陣，避免了由于快拍數有限，波束形成器性能下降的問題，同時，本文所提算法由于采用了子空間理論，在采樣協方差矩陣不滿秩時，即可得到噪聲子空間的估計，進而得到期望導引向量的估計值；而文獻[7]和文獻[8]需要在快拍數N≥M的條件下才能得到期望導引向量的估計，故而本文算法需要的快拍數更小，收斂速度更快，在相同快拍數情況下，SINR最高，性能最好。

仿真三：考察不同算法的波束圖。假設期望信號的信噪比為5 dB，快拍數K=50，畫出不同算法的歸一化波束圖。

由上圖可以看出，RCB算法和文獻[8]算法由于大角度失配，主瓣指向方向偏差，在期望信號真實入射方向附近產生了零陷；文獻[7]算法的主瓣雖然指向了真實入射方向，但是由于快拍數有限，因而具有很高的旁瓣；本文方法由于采取了干擾加噪聲協方差矩陣重構以及期望信號導引向量估計，故而糾正了主瓣指向，避免了期望信號方向出現零陷，同時沒有抬高旁瓣級。

仿真四：考察不同角度失配條件下算法的性能。假設期望信號的信噪比為5 dB，快拍數為K=50，期望信號以及兩個干擾的角度失配在[-6∶1∶6]之間變化，每種失配角度下進行100次獨立重復實驗，統計平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨角度失配變化的曲線。

可以看出SCB與文獻[7]以及RCB受采樣協方差矩陣當中期望信號成分的影響，輸出SINR均不同程度的偏離理論最優值；文獻[8]優于前述方法，但是在大角度失配條件下，求解最優化得到的導引向量不準確，導致性能偏離理論最優；本文方法性能優于其他幾種算法，在不同角度失配條件下，性能均接近理論最優值。

4 結論

本文提出了基于協方差矩陣重構的穩健自適應算法，該算法將全空域劃分成若干互不重疊的區域，分別對應干擾區域和期望信號區域，先利用標準Capon波束形成器及采樣協方差矩陣的最小特征值對干擾加噪聲協方差矩陣進行重構，再利用MUSIC譜估計法重構出信號協方差矩陣，以其主特征向量估計出期望信號導引向量，最終得到自適應波束形成器的最優權值。仿真實驗結果表明，算法能夠避免訓練數據包含有期望信號和導引向量角度失配引起的自適應波束形成器性能下降的問題，在大角度失配和少快拍數的情況下具有良好的性能。

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