Mock theta函數(shù)研究進展綜述

陳 斌

(渭南師范學院數(shù)理學院，陜西 渭南714099)

1 研究背景

1920年，印度數(shù)學家Srinivasa Ramanujan［1－5］給大數(shù)學家G．H．Hardy的最后一封信中提到了一類他自己命名的所謂“mock theta functions”，但是他卻沒有給出這類函數(shù)準確的科學定義，只是僅僅列出了17個經典的例子來描述它們的特殊性質。S．Ramanujan發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)在尖點處具有和模形式類似的漸近展開式，但它們卻不滿足模形式所具有的模變換律。而這種隱藏的聯(lián)系就成為一個神秘的謎團。

1936年，G．N．Watson［6］就任倫敦數(shù)學會主席，他就職演講的題目就是“The Final Problem:An Account of the Mock Theta Functions”。1937年，G．N．Watson［7］先后研究了3 階和 5 階 mock theta函數(shù)之間的線性關系。1938年，A．Selberg［8］等研究了7階mock theta函數(shù)之間類似的問題，但他沒有發(fā)現(xiàn)它們之間的線性關系式。在1987年舉辦的S．Ramanujan誕辰百年紀念大會上，F(xiàn)．Dyson［9］指出揭示mock theta函數(shù)類似模形式的一致的群論結構仍然是“a challenge for the future”。之后，許多著名的數(shù)學家，如G．E．Andrews［10］、B．Gordon、R．McIntosh［11］、A．Selberg［8］等發(fā)現(xiàn)并證明了 mock theta 函數(shù)的很多重要的恒等式，但卻沒有發(fā)現(xiàn)其神秘的本質。之后，G．E．Andrews［12］等人對 Ramanujan遺留的筆記本進行了整理和研究，先后又發(fā)現(xiàn)了許多新的mock theta函數(shù)，例如2階、6階、8階、10階等。

然而，在沉默了近80余年之后，mock theta函數(shù)及其半整權模形式在其理論和應用方面出現(xiàn)令人矚目的重大突破和迅速發(fā)展:一是奇異模理論取得極大進展。2000年，在Borcherds杰出工作的推動下，D．Zagier［13］證明了奇異模跡的生成函數(shù)是權為3/2 的弱全純模形式，J．Bruinier和 J．Funke［14］推廣到了一般的模函數(shù)上。二是mock theta函數(shù)之謎被徹底揭開。2002年，S．P．Zwegers［15］在導師D．Zagier指導下完成的博士論文中，首次揭開了mock theta函數(shù)所具有的模形式的本質屬性。在2004年，Bruinier和Funke［16］首次研究發(fā)現(xiàn)了每一個mock theta函數(shù)是權為1/2的弱調和Maass形式的全純部分，而其非全純部分是一個權為3/2的一元theta函數(shù)。……