二元冪級數的收斂性

郭志華，秦小雨，曹懷信

(陜西師范大學數學與信息科學學院，西安710119)

冪級數是數學分析的重要概念之一，在級數理論中具有極其重要的地位。關于一元冪級數的概念、收斂性及和函數等性質已有一套成熟的理論［1］，而對于多元冪級數的相關概念和性質研究甚少。多項式函數是一類結構簡單、性質良好的函數類，在基礎數學與計算數學中具有重要應用［2－3］。在文獻［4］中，筆者引入了多元函數項級數的概念，給出了其收斂域及和函數的定義，通過詳實的例子討論了多元冪級數的收斂域、和函數及多元函數展開為多元冪級數的計算方法。文獻［5］討論了二元冪級數收斂半徑的計算公式，但沒有明確給出二元冪級數收斂半徑的定義。文獻［6］討論了一個關于SP(n)的無窮級數的收斂性問題，文獻［7］研究了關于冪級數在自然數列中的應用。

本文根據一元冪級數相關原理，通過探究二元函數項級數的概念及收斂性，引出二元冪級數及其收斂半徑等概念，給出收斂半徑的相關性質，證明一些收斂和絕對收斂性定理，并以實例給出求解收斂半徑的方法。

1 二元函數項級數

1.1 二元函數項級數的概念

設{un(x，y)}是定義在區域D上的一個函數列，稱表達式

為函數項級數(1)的部分和。

1.2 二元函數項級數的收斂性

定義1 若點P0=(x0，y0)∈D使得數項級數

收斂，即當n→∞ 時，部分和

的極限存在，則稱二元函數項級數(1)在點P0=(x0，y0)收斂，且稱點P0=(x0，y0)為級數(1)的收斂點;若級數(3)發散，則稱級數(1)在點P0=(x0，y0)發散。若級數(1)在D的某個子集H上每一點都收斂，則稱級數(1)在H上收斂。……