帶有雙滯量的捕食系統的分支分析

李 霞

（河北地質大學<數理學院> 河北 石家莊 050011）

1 引言

由于產期，捕食時間以及食物供給被取代等因素的影響。Volterra[1]等人首先將滯量加入捕食-食餌系統中，這使得新的系統較之原系統呈現出更加復雜的動力學現象，因為當加入滯量后，平衡點將失穩，甚至會使種群密度發生振動的現象，參見文獻[2]。

Wu[3]研究了偏泛函微分方程，得到了系統的結論及其可信服的應用實例。Lin[4]等人得到了偏泛函微分方程中心流形的存在性定理。值得注意的是，Faria[5]將她的規范型方法引入偏泛函微分系統中，為研究其Hopf分支及分支方向，分支周期解的穩定性，振幅及其在中心流形上投影的計算公式提供了可靠工具。

在以上文獻的基礎上，本文著重考慮了具有時滯的捕食系統（1.1），而系統（1.1）乃是熟知的Conway-Smoller常微分系統：

加入時滯之后，將變化為：

在本文中，重點研究（1.2）的穩定性及Hopf分支的存在性。

2 穩定性與分支分析

設條件

那么（2.1）在平衡點附近的線性化部分為：

由[6]中給出的關于（2.3）根的分布與橫截性條件的結果，可以得到

定理2.1假設 分別為：

那么

既有文獻已對（2.1）作了系統研究，當

3 討論

具有時滯的空間擴散的種群模型遍及至各個鄰域。本文僅考慮了捕食系統中的時滯效應，即帶有雙滯量的泛函與偏泛函微分方程組的穩定性與分支分析。首先給出滯量對強Allee效應常微分系統的影響，通過分析正平衡點的局部穩定性，得到了當滯量穿過一些臨界值時系統在經歷了Hopf 分支，而進一步分析Hopf分支的方向和分支周期解的穩定性，這將是我們下一步要做的研究工作。

[1] Volterra V.Lecons sur la tlie orie mathematique de la lucte pour la vie [M]. Paris. Gauthiers Villars,1931.

[2] Dai.L.s.Noncontant periodic solutions in predatorprey systems with continuous time delay[J].Math.Biosci,1981,53:149-157.

[3] Wu. J.H.Symmetric functional differential eguations and nural networks with memory Trans.Amer.Math.Soc.1998,350:4799-4838.

[4] Lin.X.So.J W H,Wu.J. H.Center manifolds for partial differential eguations with delays,proc[J].Roy.Soc. Edin.A.1992,122:237-254.

[5] Faria T.Normal Forms and Hopf bifurcations for patial differential eguations with delays[J].Trans.Amer.Math.Soc. 2000,352:2217-2238.

[6] Wei JJ,Ruan S.Stability and bifurcation in a neural network model with two delays[J] Phy,D,1999,130:225-272.