根據速度圖象和矢量三角形的幾何性質速解2017年高考物理壓軸題

席明珍

摘要：2017年普通高等學校招生全國統一考試理科綜合能力測試試題卷Ⅱ第25題，試題條件具有隱蔽性，不明顯，常規解法費時費力，過程復雜，如采用速度圖象法，根據運動的合成與分解和分運動的獨立性，逐層推進，輕松拿下，全面取勝.

關鍵詞：高考壓軸題；速度圖象；運動的合成與分解

2017年全國卷II25題如圖1所示，兩水平面（虛線）之間的距離為H，其間的區域存在方向水平向右的勻強電場.自該區域上方的A點將質量為m、電荷量分別為q和-qq>0的帶電小球M、N先后以相同的初速度沿平行于電場的方向射出.小球在重力作用下進入電場區域，并從該區域的下邊界離開.已知N離開電場時的速度方向豎直向下；M在電場中做直線運動，剛離開電場時的動能為N剛離開電場時的動能的1.5倍.不計空氣阻力，重力加速度大小為g.求

（1）M與N在電場中沿水平方向的位移之比；

（2）A點距電場上邊界的高度；

（3）該電場的電場強度大小.

解析設A點距電場上邊界的距離為h，初速度為v0，電場強度為E，小球M、N穿出電場下邊界的速度分別為v1、v2.根據題意，過拋出點A沿水平向右（沿電場方向）建立x軸，豎直向下建立y軸，小球M、N在復合場上面的重力場中做平拋運動，在復合場中分別做直線運動和類“斜上拋”運動，運動軌跡如圖2所示.

（1）根據力的獨立作用性、分運動的獨立性，確定小球穿過復合場運動的水平速度和時間.

小球M、N沿電場水平x方向上只受大小相等的電場力qE，方向相反，加速度大小均相同，為a=qEm，小球M做初速度為v0，加速度為a的勻加速直線運動，小球N做初速度為v0，加速度為a的勻減速直線運動，穿出電場時水平速度減為0.豎直方向兩個小球只受重力，而做自由落體運動，進入電場時豎直方向速度均相同，穿出電場時豎直方向速度也相同，那么穿過電場的時間相同，速度圖象如圖3所示，

圖線與時間軸所夾“面積”就是水平方向的位移，容易看出小球M與N在電場中沿水平方向的位移之比為31；小球M的水平速度增大為2v0，小球N穿出電場時的速度就是自由落體運動時的速度v2=2gh+H.

（2）根據小球實際運動速度是由水平速度與豎直自由落體運動速度的合速度，確定平拋運動初速度與豎直位移的關系.

小球M、N離開電場時的動能關系，存在EkM=32EkN，即12mv21 = 34mv22，又v1 = v22 + 2v02，v2=2gh+H，可得到速度關系2gh+H+2v02=32×2gh+H，解得v0=gh+H2.

（3）根據小球M在復合場中做直線運動，合速度、合力的方向均在軌跡直線上，力的矢量三角形與速度矢量三角形相似，確定電場強度.

小球M在重力場、勻強電場的復合場中做直線運動，重力mg與電場力qE的合力一定在這條直線上，合速度也一定在這條運動軌跡直線上，小球M進入電場P點時水平速度為v0，豎直速度為2gh，離開電場時水平速度為2v0，由速度三角形相似，那么豎直速度一定也有2倍關系為22gh，根據自由落體運動性質，平拋運動與穿過電場的時間相等，為相同的時間間隔，自由落體運動速度vy=gt，小球N穿出復合場的速度v2=2gh+H=22gh，即得A點距電場上邊界的高度h=H3.

力的矢量三角形與速度矢量三角形相似對應邊成比例，小球M在進入復合場的P點有mgqE=2ghv0，根據以上關系v0=gh+H2=gH3，代人得mgqE=2gH3gH3，電場強度為E=mgq2=2mg2q.

析評題目涉及平拋運動，直線運動，類“斜上拋運動”，根據運動的合成與分解，彼此看水平方向運動和豎直方向運動，使問題大大簡化.endprint