依據(jù)平面幾何知識命制帶電粒子在磁場中運動試題實例

吳華瓊+馮慶

摘要：電磁學(xué)部分的高考計算題，常常以帶電粒子在磁場中運動的形式出現(xiàn).掌握幾何基礎(chǔ)知識與電磁學(xué)知識，是對學(xué)生邏輯思維和分析能力的完善和提高.目前國內(nèi)的學(xué)者對電磁學(xué)試題有一定的研究，但少有對帶電粒子在磁場中運動試題命制的研究.文章總結(jié)出帶電粒子在磁場中運動試題的特點及這類問題的核心，并以此為出發(fā)點，列舉了根據(jù)平面幾何知識命制帶電粒子在磁場中運動試題的實例.

關(guān)鍵詞：電磁場；帶電粒子；高考試題；平面幾何

高考物理科要考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力和實驗?zāi)芰?

考試大綱中電學(xué)部分的37個知識點近五年沒有變化.其中，“磁場”、“磁感應(yīng)強(qiáng)度”、“洛倫茲力”、“洛倫茲力的方向”屬于Ⅰ級要求，即要求了解和認(rèn)識.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動”、“洛倫茲力公式”屬于Ⅱ要求，即要求理解和應(yīng)用.基于此，本文將著重研究高考重點——帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動.

1帶電粒子在磁場中運動試題的特點

11通過幾何關(guān)系找圓心

這類問題在簡單試題中最常見，也是很多復(fù)雜題目解題的關(guān)鍵步驟.例如2017年全國Ⅱ卷選擇題第18題、2016年海南高考卷計算題第14題.這類問題找圓心、定半徑是關(guān)鍵.找圓心需要作圖，畫垂線.求解半徑通常用平面幾何知識、勾股定理、余弦定理、正弦定理、特殊角的正余弦值等.

12多軌跡問題

粒子的電性和磁場的方向的不確定性，運動的周期性，還有臨界狀態(tài)的不唯一等都會造成粒子運動軌跡的多種可能.多軌跡問題一般出現(xiàn)在計算題中，例如2014年重慶高考卷計算題第9題、2014年四川高考卷計算題第11題.

13復(fù)合場問題

復(fù)合場包括：磁場和電場共存的場、電場和重力場共存的場、磁場與重力場共存的場、磁場、電場、重力場三者共存的場.復(fù)合場的組成主要有組合場、疊加場和變化的復(fù)合場三種類型.

組合場的電場和磁場通常是分開的.實際應(yīng)用如質(zhì)譜儀、速度選擇器、D形盒回旋加速器.也可以是分開的不同強(qiáng)度的磁場和磁場，如2017年全國卷Ⅲ第24題.變化的復(fù)合場問題綜合性最強(qiáng)，一般較復(fù)雜，通常出現(xiàn)在高考計算題中.受力分析時應(yīng)判定是否存在重力、電場力、洛倫茲力.通常考查動量定理、動能定理、圓周運動、勻變速直線運動、類平拋運動.例如2013年江蘇高考卷計算題第15題.

14數(shù)列問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理的能力是高考物理考查的五個基本能力之一，數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列、等比數(shù)列、特殊數(shù)列求和等經(jīng)常會應(yīng)用到帶電粒子在磁場中的運動問題.如果帶電粒子在磁場中的運動問題考查到數(shù)列，題目一般都有較大的難度，通常出現(xiàn)在高考最后一道壓軸題上.如2011年重慶高考卷壓軸題第12題考查了等比數(shù)列，2015年天津卷壓軸題第12題考查了等差數(shù)列.

2帶電粒子在磁場中運動問題的核心

帶電粒子在磁場中運動僅受洛倫茲力時，洛倫茲力的方向與速度方向垂直，不做功，即不改變速度大小.如果僅考慮洛倫茲力，則粒子做勻速圓周運動.在運動學(xué)部分，高中物理僅研究勻速圓周運動的運動規(guī)律.所以，只受洛倫茲力的情況下，粒子的軌跡是圓或圓的一部分弧.題目中具體會考查圓的圓心角、切線、弦、相交、相切等知識點.所以，帶電粒子在磁場中的運動類試題很多都來源于平面幾何模型.這類問題的關(guān)鍵在于找圓心、定半徑.常涉及到的幾何關(guān)系有直線與圓的關(guān)系、圓與圓的關(guān)系等.

3命題思路

命制電磁學(xué)試題的方法有很多，可以從復(fù)雜的電磁學(xué)原理簡化而來，如2013年上海卷32題.也可以從實際生活中的應(yīng)用而來，如2015年江蘇卷13題.但帶電粒子的運動問題更多來源于平面幾何模型.這里著重介紹應(yīng)用平面幾何知識命制高中物理帶電粒子在磁場中運動試題的思路.

首先找到涉及直線與圓的求解證明等幾何類題目，然后解題，最后根據(jù)幾何題目命制成物理中帶電粒子在磁場中運動的試題.命制時應(yīng)考慮如下問題：題目中運動的對象是帶電粒子，運動的環(huán)境有磁場.基本粒子如電子、質(zhì)子、離子等不考慮重力，但是帶電液滴、帶電小球等物體需要考慮重力.如果僅僅存在磁場，帶電體只能是基本粒子才能做勻速圓周運動.平面幾何中的直線可以看成是粒子滿足合外力為零的情況下的運動軌跡，或者是勻變速直線運動的軌跡.平面幾何中的圓或者圓的一部分圓弧，可以看成是粒子僅受洛倫茲力時運動的軌跡.平面幾何中的組合圖形可以看成是粒子多個運動的軌跡.

4命題實例

41幾何原題

如圖1，⊙C0、⊙C1半徑均為1，互相外切并且均與直線l相切.作⊙C2與⊙C0、⊙C1外切并且與l相切；作⊙C3與⊙C0、⊙C2外切并且與l相切……作⊙Cn與⊙C0、⊙Cn-1外切并且與l相切.求⊙Cn的半徑rn.

解析首先考慮圖2，設(shè)兩圓外切半徑為r、r′，第三個圓與前兩個圓外切，半徑為x，這三個圓又都與直線l相切，那么這時有

AB=r+x2-r-x2=2rx

BC=2r′x

AC=2rr′

于是rx+r′x=rr

即1x=1r+1r′①

這樣，在開始所說的問題中，有

1rn=1rn-1+1②

由于r1=1，可逐步算出r2=14… 假定已有rn-1=1n-12，那么由②式立即得到rn=1n2.根據(jù)歸類法，rn=1n2.

42命制思想

原題中⊙C0、⊙C1和直線l圍成的部分看做粒子運動的區(qū)域.⊙C2、⊙C3…⊙Cn看做多個粒子運動的軌跡.軌跡圓與區(qū)域邊界相切即粒子運動的軌道半徑最大，對應(yīng)的粒子具有最大速度.求解半徑rn，就是物理試題中的定圓心求半徑.

添加帶電粒子在磁場中運動試題常考的周期問題.⊙C2兩邊都有n個圓，可看成是粒子的多軌跡問題.求半徑rn的過程考查了勾股定理、類比歸類和數(shù)列問題，命制成物理試題就體現(xiàn)了考試大綱中要求的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理的能力.endprint

43電磁學(xué)試題

如圖3，AP⌒BP⌒分別是以O(shè)aOb為圓心，r為半徑的一段弧，兩圓相切于P點，且分別與OX軸相切于A、B點，O是AB中點.在AP⌒BP⌒與OX軸圍成的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場.零時刻起，有一束質(zhì)量為m、電荷量為q的離子，以不同速度先后從OX軸射入磁場后不飛出磁場.不計重力和離子間的相互影響.

（1）求離子的最大速度.

（2）若以最大速度運動的離子是在t0時刻進(jìn)入磁場的，求該離子距離圓心Ob最近的時刻.

（3）若I點左右兩側(cè)分別有n個離子入射，且他們的運動剛好互不干擾.求這些離子的入射位置xn到B點的距離xnB與入射速度vn的函數(shù)關(guān)系.

解答（1）設(shè)離子的最大速度為v0，對應(yīng)的軌道半徑為r0.由題意知，以最大速度運動的離子軌跡同時與AP⌒BP⌒和OX軸相切，如圖4所示的圓O0.在ΔObO0C中，由勾股定理得

r+r02=r2+r-r02①

由①得r0=r4②

帶電粒子在磁場中運動由洛倫茲力提供向心力：

qv0B0=mv20r0③

由②③得v0=qB0r4m④

（2）在ΔObO0C中，sin∠ObO0C=r-r0r+r0=35，故∠ObO0C=37°.

離子做圓周運動的周期T=2πr0v0⑤

聯(lián)立②④⑤得T=2πmB0q⑥

當(dāng)離子做順時針運動時：t=n+90+37360T+t0 n=0，1，2……⑦

由⑥⑦得t=n+1273602πmB0q+t0n=0，1，2……⑧

當(dāng)離子做逆時針運動時：t=n+270-37360T+t0 n=0，1，2……⑨

由⑥⑨得t=n+2333602πmB0q+t0n=0，1，2⑩

（3）當(dāng)x>0時，假設(shè)O點右側(cè)第一個離子的運動速度為v1，對應(yīng)的軌道半徑為r1.由題意知，以速度v1運動的離子軌跡圓O1同時與BP⌒、圓O0、OX軸相切.如圖5，過圓O1的圓心作O0O、ObB的垂線，分別交于D點、E點.則線段DE=DO1+O1E，由勾股定理得r0+r12-r0-r12+r+r12-r-r12=r+r02-r-r02

化簡得r0r1+rr1=rr0

即1r+1r0=1r1

同理1r+1rn-1=1rn

當(dāng)n=1時，r1=r9；當(dāng)n=2時，r2=r16；當(dāng)n=3時，r3=r25……

rn=rn+22 n=1，2，3B11

帶電粒子在磁場中運動由洛倫茲力提供向心力：

qvnB0=mv2nrn

vn=qB0rnmB12

由B11B12得

r=n+22mvnB0q n=1，2，3……B13

0點右側(cè)第一個離子與B點的距離：

x1B=r-r0+r12-r0-r12=r-2r0r1

0點右側(cè)第二個離子與B點的距離：

x2B=r-2r0r1-2r1r2

0點右側(cè)第n個離子與B點的距離：

xnB=r-2r0r1-2r1r2-…-2rn-1rn

結(jié)合已知數(shù)據(jù)求得數(shù)列

r0r1+r1r2+…+rn-1rn=12-1n+2

故xnB=2n+2r n=1，2，3……B14

由B13B14得

xnB=2n+2mvnB0q n=1，2，3B15

當(dāng)x>0時，xnB=r+2r0r1+2r1r2+…+2rn-1rn

化簡得xnB=2-2n+2r n=1，2，3……B16

由B13B16得

xnB=2n+1n+2mvnB0q n=1，2，3B17

參考文獻(xiàn)：

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