一道物理奧賽題的解答剖析及另解

徐鐘鴻+李小杰+王捷

摘要：一道物理奧賽培訓試題的原參考解答在計算電場做功時存在對靜電勢能計算公式Ep=qφ的應用錯誤

關鍵詞：靜電能；作功；表面張力

為了方便讀者，將《國際物理奧賽的培訓與選拔》一書中的熱學題220的原題及參考解答轉述于下

題目已知一半徑為R的球形肥皂膜上帶有電量Q，肥皂液的表面張力系數為σ試求：膜內外的壓強差

參考解答設球形肥皂膜的半徑為R，帶電量Q，則膜表面的電勢φ為

φ=Q4πε0R，

設想肥皂膜經一等溫過程，半徑由R變成R+dR，則外界對膜所作的功dW為

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-Qdφ

式中dW1=（pi-p0）dV為內外氣體所作的功，dW2=-Qdφ為電場所作的功

由于在等溫過程中外界對液體（這里為肥皂液膜）所作的功等于液體自由能的增量

即dW=dF=σdA，所以

（pi-p0）dV-Qdφ=σdA，

因為

V=43πR3，dV=4πR2dR，dφ=-Q4πε0R2·dR，

A=2×4πR2，dA=16πRdR

所以（pi-p0）4πR2dR+Q24πε0R2dR=16πσRdR，

即Δp=（pi-p0）=4σR-Q2ε0（4πR2）2

筆者認為該題中在求解dW2即電場所作的功的過程中存在錯誤本文就出現這一問題的原因進行分析，并對原解答進行修正，再從力的平衡角度對該題給出另一解答，從而驗證修正后的解答

原解答利用的是功能原理，即在等溫過程中外界對肥皂液膜所作的功等于液體自由能的增量而外界對肥皂液膜所作的功又等于肥皂液膜在膨脹過程中內外氣體對膜作的功（dW1）與帶電肥皂膜膨脹時抵抗靜電力所作的功（dW2）之和，即原解答中的dW=dW1+dW2但從電場作功dW2=-Qdφ看，原解答出現了錯誤從原解答用表達式Qdφ計算靜電能的變化量來看，原解答考慮到了由于球的膨脹，電勢將會發生變化，但是原解答對一個不可分割的帶電球形肥皂膜的靜電能的理解是不對的對孤立帶電體而言，其靜電能就是它的自能，靜電能的改變量就是自能的改變量在帶電肥皂膜膨脹的過程中，總電荷量Q不會發生改變根據靜電能公式We=12σeφdS（φ為球面電勢，σe為電荷面密度，下同）可得dW2=dWe=12Qdφ，而非原解答中的Qdφ，兩者出現了12倍的差別究竟什么原因導致原解答出現這樣的錯誤，筆者不去妄加推測，但筆者在這里需要強調的是對中學物理十分重要的電勢能公式Ep=qφ的理解在中學物理中，該公式計算的是一個點電荷在靜電場中所具有的電勢能在這里說的電勢能實際上就是這個電荷與產生靜電場的電荷系統間的互能，而將其稱為點電荷所具有的電勢能是一個并非準確、但考慮到中學教學情況的一個妥協的說法而此時的帶電球形肥皂膜是一個電荷連續分布的孤立帶電體，此時它的靜電能就是它的自能，應用公式We=12σeφdS進行計算因此原解中電場所作的功應為dW2=12Qdφ

故正確解答為

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-12Qdφ

其中φ=Q4πε0R

故（pi-p0）dV-12Qdφ=σdA，

Δp=pi-p0=4σR-Q232π2R4ε0

下面從力的平衡角度入手給出該題的另一解答：

帶電肥皂膜表面的電場強度大小由文獻[2][3]可得知為E=σe2ε0，所以電場力對肥皂膜產生的向外的靜電壓強為σeE = σe·σe2ε0 = σ2e2ε0

肥皂膜內、外兩表面張力形成的向內的總附加壓強為4σR

考慮肥皂膜內、外氣體壓強pi、p0和上述壓強平衡，有

pi + σ2e2ε0 = p0 + 4σR

因此，肥皂膜內、外氣體壓強差為

Δ p = pi-p0 = 4σR-σ2e2ε0

將σe=Q4πR2代入，得到

Δp=4σR-Q232π2R4ε0

這與前文根據功能關系所做的修正解答得到的結果是相同的

注釋：

①鄭永令國際物理奧賽的培訓與選拔[M].廈門：廈門大學出版社，2006（第1版）18.

參考文獻：

[1]趙凱華，陳熙謀電磁學[M].北京：高等教育出版社，2006，57-59

[2]蔡莉莉，張曉燕關于均勻帶電球面上電場強度的求解[J].物理與工程，2015，25：65-67

[3]牛慶林，王曉麗均勻帶電球面電場強度的再討論[J].臨沂大學學報，2016，38（01）：142-144endprint