基于三角級數法合成多維多點非平穩地震動

周劉茜, 鄭史雄, 陳 航

(西南交通大學橋梁工程系, 四川成都 610031)

[定稿日期]2017-08-14

地震動輸入一直是處于地震工程學中的一個研究熱點，對于平面尺寸較大的大跨度橋梁結構，若采用一致激勵對橋梁結構進行抗震計算，不能完全考慮結構的空間相關性，因此采用多點輸入是必要的。且地震波數量的有限性、隨機性和不確定性等限制了多點直接動力分析法應用到實際工程中，因而模擬生成具有特性參數的多點地震動是地震工程學領域的研究熱點。

關于地震動合成研究，Hao[1]等基于單點人工地震波合成，通過分解多點構成的互功率譜矩陣，并假定相位角呈均勻分布，合成了多點人工地震動時程；Ramadan[2]提出了兩種地震波合成方法，考慮了地震動的非平穩性，對比了兩種方法的適用條件和計算效率，應用到了單跨和多跨簡支梁分析中；江近仁[3]、汪夢甫[4]、徐強[5]、牛志國[6]、邢超宇[7]和黃朝光[8]等研究了人工地震波合成技術，為多點激勵地震波的合成奠定了基礎，為準確的結構抗震分析提供了必要條件。

本文基于隨機振動理論，將一維多點激勵地震波的合成理論擴展成為多維多點地震波合成，考慮了地震動的空間效應和非平穩性，通過迭代計算修正幅值提高計算精度，所合成多維多點地震波更能表征實際地震動的特性，便于工程應用。

1 地震動合成與修正公式

1.1 合成公式

基于隨機振動理論，將合成單點地震動擴充到合成多點地震動，并考慮空間變異性、空間效應和場地條件。其合成方法采用三角級數法。

(1)將反應譜轉換為當量功率譜。

(1)

式中：S(ω)為功率譜；Sa(ω)為目標反應譜；T為持續時間；ω為固有頻率；ξ為阻尼比；r為反應不超過反應譜值得概率。

(2)用三角級數迭加法生成零均值的平穩高斯過程。

(2)

(3)將平穩時程乘以非平穩強度包線得到非平穩加速度時程。

a(t)=f(t)·X(t)

(3)

強度包線函數可取為以下形式：

(4)

式中：t1為地震動時程上升段時間；t2為下降段起始時間；c為衰減系數。

1.2 修正公式

初次計算得到的地震動時程轉換的反應譜，一般近似于目標反應譜。為了提高精度，此時對合成地震時程采用頻域方法進行迭代修正[9]。

(1)人工地震動時程生成反應譜R(ω,ζ)，計算公式為[10]：

(5)

式中：h()為單位脈沖響應函數。

(2)人工地震動時程幅值修正，每一個頻率點處人工地震波值，以人工反應譜和目標反應譜的比值作為驗證精度值，當精度值不滿足擬合精度值時，進行幅值調整，調整后再次生成人工地震動，并將新人工地震動生成相應反應譜，再與目標反應譜比較，進行精度值檢驗和調整。如此反復，直至達到精度要求，即擬合精度迭代計算[10]。

(6)

按式(7)對幅值進行調整：

(7)

2 合成多維多點非平穩地震動

本文以某斜拉橋為例，按以上方法采用擬合反應譜法合成多維多點非平穩地震動。將反應譜轉換為當量功率譜，并作為支撐處地震激勵的自功率譜，然后利用三角級數法初次計算得到多維多點非平穩地震動。

第一次生成多點非平穩地震動時程的擬合反應譜與目標反應譜有一定的差別，為了使擬合誤差到達精度要求，通過式(6)、式(7)對幅值譜進行調整生成修正后的幅值譜，并結合相位譜生成地震動時程，迭代計算后的最終擬合反應譜如圖1所示。

圖1 初始和修正的非平穩擬合反應譜

其擬合設計反應譜修正的空間多點非平穩地震動如圖2所示。

圖2 迭代擬合的非平穩地震動

3 合成地震動驗證

為了驗證本文人工合成地震動的準確性，用本文合成的地震動和實際地震動對結構響應進行對比分析。實際地震動記錄的選取利用PEER網站來選取合適的地震波。該網站的首頁為：http://peer.berkeley.edu/peer_ground_motion_database。

3.1 計算模型簡介

以某西部山區高墩剛構橋梁為背景，橋梁布置為89 m+168 m+89 m，兩個墩高分別76 m和103 m。在墩底施加上述基于三角級數擬合合成的地震動時程，并與在墩底施加實際的RSN81_SFERN_PPP000地震動時程進行響應對比。剛構橋梁示意圖如圖3所示，三維有限元數值模型如圖4所示。

圖3 連續剛構橋示意

圖4 有限元數值模型

該剛構橋梁采用一致激勵時程分析法計算，即1號墩和2號墩加載的地震動相同，計算基于三角級數和實際地震動時程的橋梁響應。為了更明確驗證結構響應結果，只對縱橋方向添加地震動時程。

3.2 響應結果對比分析

以ANSYS為計算平臺，對本文合成的地震動和實際地震動加載的剛構橋梁進行響應分析。取時程響應的最大值為研究對象，響應結果如圖5～圖7所示。

(a) 主梁縱向位移

(b) 1號橋墩縱向位移

(c) 2號橋墩縱向位移圖5 縱向最大位移響應

從圖5～圖7可以得到如下驗證結論：(1)主梁和橋墩的位移、剪力和彎矩響應在兩種地震動下響應規律一致；(2)主梁及墩的位移響應在兩種地震動下差距較為明顯，基于三角級數合成地震動下比實際地震動下大5 mm，而剪力響應和彎矩響應相差不大，在墩底處基于三角級數合成的地震動要大一些。

(a) 1號橋墩縱向剪力

(b) 2號橋墩縱向剪力圖6 縱向最大剪力響應

(a) 1號橋墩縱向彎矩

(b) 2號橋墩縱向彎矩圖7 縱向最大彎矩響應

通過以上的時程響應計算分析，以基于三角級數人工地震動和地震動RSN81_SFERN_PPP000地震動的反應譜大致相似為前提，其縱向的位移、剪力和彎矩響應分布規律基本一致，且數值上相差不大。因此說明了本文合成的人工地震動時程具有實際地震動的相應特性，能如實際地震動一樣用于結構計算且響應值準確可靠。

4 結論

本文基于三角級數法這一地震動合成方法合成一非平穩 地震動，再利用設計反應譜擬合法對其幅值譜進行調整生成修正后的譜，并結合相位譜生成地震動時程。對比分析了合成的人工地震動和基于PEER地震動數據庫選取的地震動作用下高墩鋼構橋梁結構的響應，得出以下結論：

(1) 理論上講，多維多點非平穩地震波合成比一維多點激勵地震波的合成更符合實際地震動特性，為大跨度結構抗震分析提供更實際的地震動輸入；

(2) 合成的多維多點非平穩人工地震動時程通過擬合反應譜的方法進行幅值修正，得到了滿足精度的非平穩地震動時程，為結構地震動時程的響應分析提供了正確的地震動輸入保障；

(3) 合成多維多點地震波克服了實測地震波有限的缺點，為橋梁抗震規范多維多點抗震分析提供了多維地震波合成的理論依據；

(4) 基于PEER地震動數據庫選取的地震波和人工合成地震動作用下高墩剛構橋梁結構的響應，說明了本文所合成的人工地震動時程具有實際地震動的相應特性，能如實際地震動一樣用于結構計算且響應值準確可靠。

[1] Hao H, O liveira C S, Penzien J. Multiple-station ground motion processing and simulation based on SMART-1 array data [J]. Nuclear Engineering and Design, 1989, 111(3)：293 -310.

[2] Ramadan O, Novak M. Simulation of spatially incoherent random ground motions [J]. Journal of Engineering Mechanics. 1993, 119(5)： 997-1016.

[3] 江近仁，洪峰. 功率譜與反應譜的轉換和人造地震波[J]. 地震工程與工程振動. 1984， 4(3): 1-11.

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[5] 徐強，陳健云，李靜. 基于小波理論合成人工地震波[J]. 振動與沖擊， 2009， 28(8): 180-183.

[6] 牛志國，李同春，王亞莉. 基于水工設計反應譜的人工地震波合成[J]. 河海大學學報：自然科學版， 2007，1(3)：262-266.

[7] 靳超宇，廖旭. 遼河特大橋項目空間相關多點地震動合成研究[J]. 防災減災學報， 2010，26 (2)：1-5.

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[9] 胡聿賢,何訓.考慮相位譜的人造地震動反應譜擬合 [J].地震工程與工程振動,1986, 6(2)：37-51.

[10] 江近仁，洪峰.功率譜與反應譜的轉換和人造地震波[J].地震工程與工程振動, 1984, 4(3)：1-11.