黃土隧道鎖腳錨管力學特性的解析計算

宋柳柳, 王怡冰

(長安大學建筑工程學院, 陜西西安 710064)

[定稿日期]2017-08-31

錨管是隧道的重要支護手段，在前幾年對黃土隧道支護體系的研究中，我國學者已從工程應用效果研究、理論分析和數值模擬等方面充分證明，黃土隧道中系統錨管作用不大[1]，目前在隧道施工設計中已經取消系統錨管[2]；而鎖腳錨管作用明顯，在保證黃土隧道安全施工和結構穩定性以及處治圍巖大變形等方面的應用非常廣泛，但對于其真實的作用機理以及合理設計施工參數的研究遠遠落后于其實際應用[3]。

黃土隧道鎖腳錨管的作用不可輕視。黃土隧道開挖后自穩能力差，容易產生較大變形，為防止變形可能引起的破壞，黃土隧道初期支護體系必須堅固牢靠。初期支護體系的剛度與穩定性是通過鋼拱架來實現的，而在鋼拱架處打設鎖腳錨管，將拱架鎖定，可防止拱架及圍巖的變形與下沉[4]。目前對于鎖腳錨管的研究主要從工程應用效果、理論分析以及數值模擬三個方面進行，而對鎖腳錨管的解析計算涉及較少，學術界存在較多爭論。針對目前提出的幾種錨管力學計算方法，如半無限體受集中力作用的Mindlin解[5-6]、彈性地基梁法[7]、Winkler計算模型、Pasternak雙參數地基梁模型等，在綜合分析優劣的基礎上，提出對Winkler模型進行改進的一種計算方法，為黃土隧道鎖腳錨桿的設計提供一定的理論參考。

1 計算假定

根據鎖腳錨管的受力機理及其與鋼拱架相互作用特點，計算假定如下：

(1)隧道的圍巖為均質巖土體，且隧道為無偏壓的黃土隧道，圍巖級別為Ⅴ級。

(2)鎖腳錨管與鋼拱架在拱腳連接處焊接牢固，鎖腳錨管在鋼拱架兩側對稱布置。

(3)鎖腳錨管外端受到鋼拱架的作用力集中在最外端一點，作用點位于錨管截面形心，即錨管的外端荷載只考慮彎矩和拉、壓力，不考慮扭矩。

2 計算模型

2.1 鎖腳錨管外端受力分析

鎖腳錨管采用熱軋無縫鋼管，鋼拱架架設后在拱腳處以與水平方向成一定角度斜向下埋設。錨管外端與鋼拱架焊接，焊接點為剛節點，錨管承載著鋼拱架傳來的作用力，包括彎矩Mj、水平力μHj和豎向力Vj。以錨管外端加載點為中心建立直角坐標系xoy(圖1)，設錨管外徑為D，內徑為d，打設角度為β，將μHj和Vj沿錨管的x方向和y方向進行分解，可求得錨管外端的受力情況。

圖1 鎖腳錨管端部受力

(1)

在N0、Q0和M0作用下，鎖腳錨管與圍巖的相互作用如圖2所示。

圖2 鎖腳錨管與圍巖相互作用模型

下面分別考慮鎖腳錨管在外端M0和Q0作用下的橫向作用，以及在N0作用下的軸向作用。

2.2 鎖腳錨管橫向作用分析

在外端M0和Q0作用下，鎖腳錨管在橫向產生撓度，由此受到圍巖的橫向反力作用(圖3)，此時鎖腳錨管可視為跨間無荷載的彈性地基梁。

圖3 鎖腳錨管橫向作用計算模型

根據溫克爾假定：地基表面上任一點的沉降與該點的單位面積上所受的法向壓力成正比，即鎖腳錨管任一點受到的橫向抗力與該點的撓度成正比。運用彈性地基梁的撓曲微分方程式：

p(x)=KD·y(x)

(2)

式中：p(x)為錨管單位長度上橫向彈性抗力(N/m)；K為圍巖彈性抗力系數。綜合考慮錨管外注的砂漿和砂漿外的圍巖強度進行適當選取(Pa/m)，因錨管長度較短，在鎖腳錨管長度范圍內可將K取為常數；y(x)為錨管的橫向撓度(m)。

根據彈性地基梁理論[8]，鎖腳錨管撓曲線微分方程式如下：

(3)

式中：α為鎖腳錨管的變形系數，1/α稱為特征長度(m)；Em、Im為鎖腳錨管體的等效彈性模量(Pa)和橫截面慣性矩(m4)。EmIm=EsIs+EgIg，稱為錨管體的等效抗彎剛度(N·m2)，其中Es、Is和Eg、Ig分別為鎖腳錨管和砂漿的彈性模量(Pa)和橫截面慣性矩(m4)。

式(3)為四階常系數齊次線性微分方程，其通解為：

y=eαx[A1cos(αx)+B1sin(αx)]+

e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(4)

根據彈性地基梁理論[8]，有限長度的梁可簡化為半無限長度的梁來處理，故鎖腳錨管可按半無限長梁計算。由無限遠處的邊界條件確定常數A1和B1：由x→∞時，y(x)→0，可得A1=B1= 0。則式(4)可簡化為：

y=e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(5)

若忽略剪力對梁撓度的影響，由材料力學知識得：

(6)

鎖腳錨管加載點處的邊界條件為：

(7)

解方程式(7)可得C1、D1：

(8)

將式(8)代入式(2)、式(5)和式(6)可得：

(9)

若規定：

(10)

則式(9)可以簡化為：

(11)

根據式(11)可以計算得出在外端M0和Q0作用下，鎖腳錨管在任意截面處的撓度、轉角、彎矩、剪力以及橫向彈性抗力。

2.3 鎖腳錨管軸向作用分析

鎖腳錨管在外端N0的作用下，產生軸向應變，同時受到管身周圍圍巖的摩阻力與錨管底端彈性抗力的作用。由式(1)知，軸力N0=μHjcosβ+Vjsinβ，所以軸力的大小與方向直接受其打設角度β的影響。隧道中鎖腳錨管的打設角度一般為銳角，所以N0一般為壓力。

鎖腳錨管在N0的作用下，可看作打設在土中端部受荷的單承樁，并可借鑒單承樁的荷載傳遞法[9]進行受力分析。鎖腳錨管在端頭集中軸力N0的作用下產生軸向變形，錨管側周和底端圍巖為其提供約束，設側摩阻力τ和底端支持力N′，則受力如圖4所示。由于鎖腳錨管的管徑通常較小(一般為φ42或φ51)，且圍巖為黃土，底端支持力N′通常較小，所以在軸向荷載N0的整個作用過程中，錨管受到的側摩阻力τ為主要抗力。

圖4 鎖腳錨管軸向作用受力

假設在外端N0作用過程下，錨管與圍巖之間不發生相對滑移，則沿x方向兩者的位移協調。鎖腳錨管在外端N0作用下，其任意截面的位移S(x)(外端截面的位移用S0表示)滿足如下微分方程及邊界條件[10]：

(12)

式中：Em為錨管體的等效彈性模量(Pa)；Am為錨管體的橫截面面積(m2)；L為鎖腳錨管的長度(m)；k1為圍巖沿錨管軸向單位長度的等效剛度系數(Pa)；k2為錨管底端圍巖沿錨管軸向的等效剛度系數(N/m)，且k2的值與Am的值成正比。

若令：

(13)

則由式(12)可解得錨管任意截面的位移和軸力：

(14)

從而有在錨管頂端(x=0)處：

(15)

進而可得鎖腳錨管外端軸向位移和軸向荷載的關系：

(16)

由式(13)、式(14)和式(16)得：

(17)

錨管周圍圍巖沿錨管軸向單位長度的等效剛度系數k1：

(18)

此時，錨管任意截面的位移和軸力的表達式為：

(19)

錨管側摩阻力為：

f(x)=k1S(x)=εN0e-εx

(20)

3 計算結果的規律分析

將常見的圍巖參數和錨管參數代入鎖腳錨管的解析計算公式進行作圖，進一步分析計算規律。

3.1 圍巖和錨管參數

表1和表2為圍巖與錨管的物理力學參數[2-3]。

表1 圍巖參數

表2 錨管參數

錨管的特征長度1/α遠遠小于其長度L=2.5 m，所以可采用彈性地基梁的方法計算錨管的橫向作用。根據式(11)可知，錨管任意一點彎矩的表達式：

(21)

3.2 打設角度對受力的影響

以錨管豎直面內的彎矩為例，作出錨管彎矩沿長度方向的分布圖，圖5分別為不同β下的計算結果。

(a) β=0°

(b) β=30°

(c) β=45°

(d) β=60°圖5 錨管彎矩分布

由圖5可知：

(1)彎矩沿著錨管從外端開始迅速增大，在0.5 m左右增大到峰值；

(2)隨后彎矩沿著錨管長度(0.5～1.5 m范圍內)迅速減小并趨于0，此后彎矩變為負彎矩；

(3)沿著錨管長度(1.5～2.5 m范圍內)，彎矩由負再次平緩地減為0；

(4)不同β下，彎矩的分布規律基本相同，β=30°時，錨管承受的彎矩峰值最大。

由此可知，鎖腳錨管在外端豎向荷載作用下，主要依賴其管口附近部分來承受荷載。錨管的彎矩在距外端1.5 m左右的時已經趨于0，設計中可以忽略不計。所以，鎖腳錨管取2.5 m左右的長度能夠滿足承載要求。

3.3 圍巖強度對受力的影響

以β=30°為例，錨管外端豎向荷載為6 kN時，不同圍巖強度(彈性抗力)下鎖腳錨管彎矩沿其長度的分布規律如圖6所示。

圖6 不同圍巖強度下錨管的彎矩-長度曲線

由圖6可知：

(1)隨著圍巖彈性抗力的減小，錨管所受到的彎矩峰值逐漸增大；

(2)隨著圍巖彈性抗力的減小，彎矩峰值對應的錨管長度增大，即錨管需要更長的長度來抵抗荷載。

由此可知，鎖腳錨管打設在圍巖強度較低的隧道中時，為提高支護效果，可通過適當增大錨管的抗彎剛度和管身長度；而打設在圍巖強度較高的隧道中時，可以適當選擇短而細的錨管，避免造成不必要的浪費。

需要強調，此規律僅為定性研究，僅揭示一般情況下錨管的受力規律，具體到特定圍巖強度下錨管的合理管徑和長度應通過更為精確和全面的計算論證。

4 結束語

針對目前鎖腳錨管受力特性的解析計算理論依據不充足的現狀，充分考慮了鎖腳錨管、鋼拱架和圍巖三者之間的相互作用與變形協調，采用結構力學、彈性地基梁理論、荷載傳遞法等計算方法，對鋼拱架和鎖腳錨管的解析計算進行了研究，推導了黃土隧道鎖腳錨管內力計算公式，對計算結果作了規律分析。結果可為我國黃土隧道支護設計中鎖腳錨管的設計提供理論參考，具有一定的現實意義。

[1] 陳建勛, 喬雄, 王夢恕. 黃土隧道錨管受力與作用機制[J]. 巖石力學與工程學報, 2011, 30(8): 1690-1697.

[2] 陳建勛, 楊善勝, 羅彥斌, 等. 軟弱圍巖隧道取消系統錨管的現場試驗研究[J]. 巖土力學, 2011, 32(1): 15-20.

[3] 張濤. 軟弱圍巖隧道鎖腳錨管(管)支護特性研究[D]. 西安: 長安大學, 2011.

[4] 陳麗俊, 張運良, 馬震岳, 等. 軟巖隧洞鎖腳錨管-鋼拱架聯合承載分析[J]. 巖土力學與工程學報, 2015, 34(1): 129-138.

[5] 陳廣峰, 米海珍. 黃土地層中錨管受力性能試驗分析[J]. 甘肅工業大學學報, 2003, 29(1): 116-119.

[6] 姚顯春, 李寧, 陳蘊生. 隧洞中全長粘結式錨管的受力分析[J]. 巖石力學與工程學報, 2005, 24(13): 2272-2276.

[7] 張保善, 宋雅涵. 砌體中懸臂挑梁計算方法的研究與建議[J]. 鄭州工學院學報，1984(2): 31-52.

[8] 馭球. 彈性地基梁的計算[M]. 北京：人民教育出版社，1982：14-26.

[9] 羅惟德. 單樁承載機理分析與載荷-沉降曲線的理論推導[J]. 巖土工程學報，1990, 12(1): 35-44.

[10] 橫山幸滿. 樁結構物的計算方法和計算實例[M]. 唐業清， 吳慶蓀, 譯. 中國鐵道出版社, 1984.