概率統(tǒng)計(jì)解答題經(jīng)典例題突破

■河南省新蔡縣第一高級中學(xué) 陳 宏

概率統(tǒng)計(jì)是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,考查方式多樣,選擇題、填空題、解答題中都可能出現(xiàn),而解答題常以考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值為主?，F(xiàn)將概率統(tǒng)計(jì)解答題中常考題型歸納如下,希望對同學(xué)們備戰(zhàn)高考有所幫助。

一、以超幾何分布與二項(xiàng)分布為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值

例1 繼微信支付對提現(xiàn)收費(fèi)后,支付寶也開始對提現(xiàn)收費(fèi),隨著這兩大目前用戶使用黏度最高的第三方支付開始收費(fèi),業(yè)內(nèi)人士分析,部分對價(jià)格敏感的用戶或?qū)⒒亓髦羵鹘y(tǒng)銀行體系,某調(diào)查機(jī)構(gòu)對此進(jìn)行調(diào)查,并從參與調(diào)查的數(shù)萬名支付寶用戶中隨機(jī)選取2 0 0人,把這2 0 0人分為3類:認(rèn)為使用支付寶方便,仍使用支付寶提現(xiàn)的用戶稱為“A類用戶”;根據(jù)提現(xiàn)的多少確定是否使用支付寶的用戶稱為“B類用戶”;提前將支付寶賬戶內(nèi)的資金全部提現(xiàn),以后轉(zhuǎn)賬全部通過銀行的用戶稱為“C類用戶”。A類用戶1 2 0人,B類用戶6 0人,C類用戶2 0人。

(1)從這2 0 0人中按A類用戶、B類用戶、C類用戶進(jìn)行分層抽樣,從中抽取1 0人,再從這1 0人中隨機(jī)抽取4人,求在這4人中A類用戶、B類用戶、C類用戶均存在的概率。

(2)把頻率作為概率,從支付寶所有用戶(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取3人,用X表示所選3人中A類用戶的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。

解題突破:(1)先利用分層抽樣的特點(diǎn)分別求出A,B,C三類用戶中應(yīng)抽取的人數(shù),然后運(yùn)用排列組合求概率。(2)理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別和聯(lián)系,二項(xiàng)分布是有放回抽取,超幾何分布是無放回抽取?？傮w個(gè)數(shù)比起抽取次數(shù)來說非常大的時(shí)候,就可以近似按照二項(xiàng)分布的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來計(jì)算。

解:(1)從這2 0 0人中按A類用戶、B類用戶、C類用戶進(jìn)行分層抽樣,從中抽取1 0人,則A類用戶6人、B類用戶3人、C類用戶1人。

設(shè)A類用戶、B類用戶、C類用戶均存在的事件為事件D,則P(D)=

所以在這4人中A類用戶、B類用戶、C類用戶均存在的概率為。

(2)把頻率作為概率,從支付寶所有用戶(人數(shù)很多)中抽取3人,可近似看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以X的所有可能取值為0,1,2,3,且

所以X的分布列為表1。

表1

二、以莖葉圖為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值

例2 某市旅游節(jié)于2 0 1 7年5月1日舉行,為了搞好接待工作,組委會(huì)在A大學(xué)和B大學(xué)中分別招募了8名和1 2名志愿者,將這2 0名志愿者的身高(單位:c m)繪制成如圖1所示的莖葉圖。若身高在1 7 5c m以上(包括1 7 5c m)定義為“高個(gè)子”,身高在1 7 5c m以下(不包括1 7 5c m)定義為“非高個(gè)子”,且只有B大學(xué)的“高個(gè)子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。

圖1

(1)根據(jù)莖葉圖指出B大學(xué)志愿者身高的中位數(shù)。

(2)如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人,再從這5人中選2人,那么至少有1人是“高個(gè)子”的概率是多少?

(3)若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者,用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解題突破:(1)利用莖葉圖的知識求中位數(shù);(2)利用超幾何分布列出分布列。

(2)由莖葉圖可知,“高個(gè)子”有8人,“非高個(gè)子”有1 2人,所以按照分層抽樣抽取的5人中,“高個(gè)子”的人數(shù)為,“非高個(gè)子”的人數(shù)為,則至少有1人是“高個(gè)子”的概率為

(3)由莖葉圖可知,A大學(xué)的“高個(gè)子”有5人,B大學(xué)的“高個(gè)子”有3人,則ξ的所有可能取值為0,1,2,3。

所以ξ的分布列為表2。

表2

三、以頻率分布直方圖為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值

例3 某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì),其中三級跳遠(yuǎn)的成績在8.0m(四舍五入,精確到0.1m)以上的進(jìn)入決賽,把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分,如圖2所示。已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.0 4,0.1 0,0.1 4,0.2 8,0.3 0,第6小組的頻數(shù)是7。

(1)求進(jìn)入決賽的人數(shù);

(2)若從該校學(xué)生(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取兩名,記X表示兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

圖2

(3)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn),甲的成績均勻分布在8～1 0m之間,乙的成績均勻分布在9.5～1 0.5m之間,現(xiàn)甲、乙各跳一次,求甲比乙遠(yuǎn)的概率。

解題突破:(1)借助題設(shè)中的頻率分布直方圖以及頻數(shù)和頻率之間的關(guān)系求解;(2)運(yùn)用二項(xiàng)分布公式求解;(3)運(yùn)用幾何概型公式求解。

解:(1)第6小組的頻率為1-(0.0 4+0.1 0+0.1 4+0.2 8+0.3 0)=0.1 4,所以總?cè)藬?shù)為

所以第4,5,6組成績均進(jìn)入決賽,人數(shù)為(0.2 8+0.3 0+0.1 4)×5 0=3 6(人)。

所以進(jìn)入決賽的人數(shù)為3 6。

(2)由題意知X的可能取值為0,1,2,進(jìn)入決賽的概率為

所以X的分布列為表3。

表3

(3)設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米。

記事件A為“甲比乙遠(yuǎn)的概率”,則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y,如圖3所示。

圖3

四、以變量間的相關(guān)關(guān)系為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值

例4 某廠有4臺大型機(jī)器,在一個(gè)月中,1臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修,每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為。

(1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障都能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于9 0%。

(2)已知1名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資。每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤。若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值。

解題突破:(1)本題先識別為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),其隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。(2)關(guān)鍵確定隨機(jī)變量的取值:若至多2臺機(jī)器出現(xiàn)故障,則獲利4×5-2=1 8,若3臺機(jī)器出現(xiàn)故障,則獲利3×5-2=1 3,若4臺機(jī)器出現(xiàn)故障,則獲利2×5-2=8。

解:(1)1臺機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn),在一次試驗(yàn)中,機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件A,則事件A的概率為。該廠有4臺機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X,則

所以X的分布列為表4。

表4

設(shè)該廠有n名工人,則“每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障都能及時(shí)進(jìn)行維修”為X≤n,即X=0,X=1,X=2,…,X=n,這n+1個(gè)互斥事件的和事件,所以X的分布列為表5。

表5

(2)設(shè)該廠獲利為Y萬元,則Y的所有可能取值為1 8,1 3,8。

所以Y的分布列為表6。

表6

五、以獨(dú)立性檢驗(yàn)為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值

例5 2 0 1 7年1月1日,作為貴陽市打造“千園之城”2 7個(gè)示范性公園之一的泉湖公園正式開園。元旦期間,為了活躍氣氛,主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目向全體市民開放。現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機(jī)抽取了6 0名男生和4 0名女生共1 0 0人進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)出1 0 0名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖4所示。

(1)根據(jù)條件完成如表7所示的列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)。

圖4

表7

(2)水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān),主辦方規(guī)定:挑戰(zhàn)過程依次進(jìn)行,每一關(guān)都有兩次機(jī)會(huì)挑戰(zhàn),通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn),若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為,記甲通過的關(guān)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

附:參考公式與數(shù)據(jù)(表8)。

表8

解題突破:(1)利用公式計(jì)算K2,然后對照數(shù)據(jù)判斷結(jié)論不成立。(2)先確定隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,然后求分布列。

表9

(2)記男生甲第i次通過第一關(guān)為Ai(i=1,2),第i次通過第二關(guān)為Bi(i=1,2),X的可能取值為0,1,2。

所以X的分布列為表1 0。

表10