小學畢業班數學總復習的例題設計

汪東興

畢業班數學總復習是數學教學的一個重要環節，它是在學生學完小學數學的全部內容后，進行的一次系統、全面的回顧與整理，其重要性不言而喻。教學時，教師除充分運用教材編排的例題，還應根據學情補充設計相應例題，增強總復習的針對性與實效性。畢業班的總復習教學與單元整理復習、學期末總復習相比，時間跨度大、涉及內容多、綜合性強，因而例題設計亦有其獨特的策略和教學價值。筆者擬結合教學實踐，談一談畢業班數學總復習課中的例題設計策略和教法設計。

一、整體規劃，完善認知結構

數學知識的系統性很強，在一定意義上，數學學習的本質是掌握知識間的聯系。因此總復習教學時，教師要根據知識的內容領域、知識間的區別聯系、新舊知識的生長點與連接點，運用系統論的思想，以整體規劃的眼光通盤考慮例題設計，將相關聯的數學知識聚合成一個“知識塊”，凸顯數學知識結構的整體性。通過對例題的整體教學規劃與組織，進一步完善學生的數學認知結構，促進數學知識的前后呼應與多維度理解把握，加強數學技能的觸類旁通與多元化應用。

例1：根據不同條件，列式解答。

求知書店周六賣出漫畫書24本， 賣出教學參考書多少本？

（1）賣出的漫畫書本數是教學參考書的。

（2）賣出教學參考書的本數是漫畫書的1.25倍。

（3）賣出的漫畫書和教學參考書的比是4：5。

（4）賣出的漫畫書比教學參考書少20%。

（5）賣出漫畫書本數是漫畫書和教學參考書總數的。

小學階段的整數、小數、分數、百分數、比的應用等實際問題雖然條件的表現有異，但常用的方法與策略在本質上是相通的，可以說是“殊途同歸”。本例以題組形式將各類實際問題統領起來，5道題雖然已知條件的表述方式不同，但書店賣出的漫畫書和教學參考書的本數間的數量關系相同。通過對已知條件的分析、對比，依據小數、分數、百分數、比之間的關系，將已知條件進行等價轉化（如下所示），使學生明確：5道題的已知條件在本質上是一致的，都可以表示為“賣出的漫畫書本數是教學參考書的”，均可列算式24÷解答。

條件（1）條件（2）→教學參考書的本數是漫畫書的倍。條件（3）→漫畫書4份，教學參考書有5份。條件（4）→漫畫書是教學參考書的80%。條件（5）→教學參考書是漫畫書和教學參考書總數的。

這樣做，既可以將各種實際問題進行很好的溝通，形成最佳思路，促進不同知識范疇內解題方法的相互借鑒、吸納、互補和融合，又能避免按知識類型分門別類重復訓練，減輕學生負擔。更重要的是可以通過轉化，選擇合適的方法解決問題，不僅有助于開闊學生的數學學習視野，而且對學生創新思維能力的培養具有良好的促進作用。

二、靈活變易，發展思維能力

數學是思維的體操。在總復習課中，教師卻常常有意或無意忽略了思維訓練，只顧讓學生大量機械重復做題，既挫傷了他們的學習興趣，又制約或阻礙學生思維的發展。因此，教師設計例題要注意表述形式的多變性、解題方法的多樣性、思維方式的多面性，通過對例題的分析與解答，促進數學知識間的溝通，訓練、發展學生的數學思維，培養學生靈活、發散、流暢等良好的思維品質。

例2：求下面物體圖1-1的體積。（單位：cm）

不規則立體圖形的體積計算沒有確定的公式，解題的常見方法是將其分割成兩個或多個規則立體圖形，再求出體積之和或差。日常教學中，教師常編制此類習題讓學生練習久而久之，學生極易形成思維定勢：認為分割法是解決此類問題的制勝法寶。其實，分割只是解決此類問題的策略之一，合并有時會有意想不到的效果。設計本例的主要出發點，就是給學生提供一個新的思維角度，破除大量同類練習形成的思維深度與廣度上的“懸停”現象，使其認識到有時反常規、背道而行也不失為聰明之舉。

當學生窮盡分割求體積的方法與思路仍無法獲得滿意結果，心生疑惑時，教師借助推導三角形面積公式采用的“合二為一”策略，啟發思考：“合二為一”策略，對我們解答本題有何借鑒？有了常規思路帶來的解題迷局以及方法策略的引領，相信學生會有“山窮水盡”過后的“柳暗花明”之感：不妨也“合二為一”試一試？由此很容易得出圖1-2的解法：立體圖形的體積是底面直徑2 cm，高（3+5） cm的圓柱的體積的一半，即：3.14×（2÷2）2×（3+5）÷2=12.56（cm3）。

三、生動鮮活，強化應用意識

數學真實反映著現實中某方面的關系，數學學習要善于在現實中尋找“原型”，獲得生動直觀的體驗。這樣做，既有利于學生掌握形式上的數學概念和數學結論，更有利于掌握數學概念和結論背后蘊含的豐富事實及本質屬性。教師設計例題時，應從生活實際和學生背景知識出發，選取具有鮮活生活色彩的內容，結合實例創設現實的問題情境展開教學，貫穿應用主線，使學生在主動探索中感悟數學的力量和實用價值，體驗并學會數學建模，強化數學應用意識，發展解決問題能力，提高數學應用水平。

例3：2016年9月15日晚，長征二號F T2運載火箭搭載我國自行研制的“天宮二號”空間實驗室順利升空。某同學繪制了如圖2所示的火箭模型截面圖。請解決下面問題：

（1）用含有a、b的代數式表示該截面的面積；

（2）當a=2.8 cm，b=2.2 cm時，求這個截面的面積。

例題是教師用作示范的具有代表性的典型數學問題，是溝聯概念、定理、公式等抽象數學知識和具體生活實踐之間的橋梁，促進學生的數學知識轉化為數學能力的重要環節。例題考查學生列代數式（用字母表示數）、平面圖形面積計算、代數式化簡及求值等多方面知識，具有一定的綜合性。設計本例，意在將用字母表示數及求值與“天宮二號”空間實驗室升空的新聞事件融合，讓學生在充滿生活氣息的現實情境中用數學、品數學，感受數學魅力。

四、層次分明，踐行因材施教endprint

十個手指有長短。同樣，班級學生的智力發展水平也不可能處于同一層面。因此，總復習的起點不能“齊步走”，教師要注意因材施教，善于從本班學生的實際情況出發，精心設計有層次、有坡度的例題，對不同基礎的學生提出不同的學習要求，使各種程度的學生都能通過例題的學習確有所獲，并都能在原有的基礎上有所提高。

例4：如圖3，已知圓的直徑是8 cm，求陰影部分的周長和面積。

小學生數學學習的認識過程大致要經過“憑借舊知同化新知→新知納入到原有知識結構→在相應情境中運用提升”三個層次。原有認知結構是影響新知識學習質量的重要因素。用統一的標準去要求原有認知結構各異、發展水平有別的學生，就會出現 “吃不飽”或“吃不了”的教學困局。本例教學可分層設定標準，學習能力較弱的學生，以教師“扶”為主，掌握基本解法1；學習能力有提升空間的學生，“扶”與“放”結合，在教師的引導與點撥下掌握解法2；學習能力強的學生，大膽“放”，對其解題方法提出更高要求，要求跨越解法1和2，憑借自主探究習得解法3。

解法1：陰影部分的周長是直徑8 cm的大圓周長的一半與直徑4cm的小圓兩個半周長的和；面積是半徑4cm的圓面積的一半減去半徑2cm的圓面積的一半的差，再加上半徑2cm的圓面積的一半。

解法2：圖中的兩個小半圓相等，陰影小半圓恰好補充空白小半圓，陰影部分周長是直徑4 cm的小圓周長與直徑8 cm的大圓周長一半的和；面積是半徑4 cm的大圓面積減去它的面積的一半。

解法3：因為大圓直徑是小圓直徑的2倍，小圓周長和大圓半周長相等，所以陰影部分周長是直徑8 cm的圓的周長；將陰影小半圓移到空白小半圓使其重合，陰影部分面積是半徑4 cm的圓面積的一半。

五、積聚經驗，提升數學素養

教學實踐表明，畢業班總復習是學生形成、總結學習經驗的絕佳時機。借此時機，可幫助學生總結個人數學學習與活動經驗，并通過彼此之間的經驗分享，促進學生的發展。教學時，教師要善于設計例題，組織學生通過就題論理、論思路等學習活動，引導他們總結解題策略，積累數學學習與活動經驗，促進解題策略和學習經驗的遷移，感悟例題包含的數學思想和方法，提升自身數學素養。

例5：學校計劃在長80 m、寬60 m的長方形大院中，用31.4米的木柵欄圍成一塊地作為勞動實習基地。請你設計一個方案，使得基地的面積盡可能大一些。

例題要求學生利用所學的數學知識解決生產、生活中的實際問題，以此體會到數學的價值，強化“用數學”的意識，既考察學生的實踐能力，又培養創新思維能力。設計本例意在激活學生有關平面圖形面積的學習與活動經驗，考察學生綜合運用所學平面圖形面積計算方法解決問題的能力。

先激活學生已有認知經驗，明確“周長相等的平面圖形中，圓的面積最大”。獲得設計方案1：在長方形大院內，圍一塊圓形的地，面積是3.14×（31.4÷3.14÷2）2=78.5（m2）；

接著啟發思考：圍成的地一定要在大院正中間嗎？靠墻圍可不可以？憑借以往學習經驗，確定“靠墻圍也可以”。再聯系“周長相等的正方形和長方形，正方形面積大”獲得設計方案2：靠一面墻圍一塊正方形地，面積是（31.4÷3）2≈110（m2）；

以方案2為基礎，變化方案1（將圓往下平移）發現方案3：靠一面墻圍成半圓形地，面積是3.14×（31.4÷3.14）2÷2=157（m2）。

借助已有思維成果，再次引導猜想：兩面靠墻可以圍嗎？因為有了方案3的經驗積累，直接考慮圓的情形，發現方案4：靠兩面墻，在墻角處圍成個圓，面積是3.14×（31.4×2÷3.14）2÷4=314（m2）。

這樣的教學，通過“地在院內→地在邊上→地在角上”的位置變化和“圓→正方形→半圓→扇形”的形狀變化，由簡單到復雜，從常規到特殊，由淺入深，先易后難，使得問題解決、經驗激活、遷移與積累相生相伴，相互促進，從而有效提升學生的數學素養。

六、查漏補缺，形成準確認知

概念的清晰把握、技能的熟練運用，是提高靈活應用所學知識與能力解決問題的基礎。因此，教師應根據課堂教學、批改作業和課后輔導中了解到的情況，對學生還有哪些概念比較模糊、哪些方法不夠熟練、哪些疑難尚未解決等做到了然于胸，并以此為基礎設計例題，展開教學，予以彌補。通過知識的再認、再現和質疑問難，并輔以必要練習，使模糊的概念清晰起來，使生疏的技能熟練起來。

例6：聯系小學階段的學習，談一談你對0的認識。

小學生對數學概念的掌握直接受其自身概括水平發展的制約。小學生思維發展的階段性特點，決定了其對數學概念的掌握也要經歷一個由淺入深、由零散到系統的螺旋上升，直至較為完整的過程。0是小學數學中較為特殊的數，小學生對0的認識貫穿低、中、高三個學段，導致其對0的認識處于碎片化的散亂狀態，不利于對數的完整感知和把握。設計本例，意在通過學生的討論交流，對0進行一次較為系統的梳理，形成清晰、準確認知，從而構建和完善數的認知結構。組織教學時，應堅持學生的充分交流分享和教師的相機點撥引導相結合，使其在觀點爭鳴與思維碰撞中集聚智慧，在教師的有序引領與分類指導中習得并完善認知。以下是學生的總結：

數的角度：0是最小的自然數；0是最小的偶數；0既不是整數，也不是負數；寫數時，0可以用來占位；研究因數與倍數時，都不考慮0……

算的角度：任何數加0都等于原數；任何數減0都等于原數；任何數乘0多等于0；0不能做除數……

用的角度：商不變性質、分數基本性質、比的基本性質、等式的性質中涉及除法時，規定“0除外”的理由；小數的末尾添上0或去掉0，小數大小不變的原因等。

形的角度：在用數對表示位置時，0是行與列的共同起點；用數軸表示數時，0代表起點……

統計的角度：在條形統計圖與折線統計圖中，0是橫軸與縱軸的交點，表示相應數據的起始狀態。

[責任編輯：陳國慶]endprint