從笛卡爾到龐加萊
——兼談法國數學家的人文思想

2018-03-07 10:45:08蔡天新

重慶與世界(教師發展版) 2018年2期

關鍵詞：數學

□文/蔡天新

一、引子

在德國數學家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：

有一個異鄉人在巴黎問當地人，“為什么貴國歷史上出了那么多偉大的數學家？”

巴黎人回答，“我們最優秀的人學習數學。”

又去問法國數學家，“為什么貴國的數學一直享譽世界呢？”

數學家回答，“數學是我們傳統文化中最優秀的部分。”

二、笛卡爾以前的法國數學

在中世紀以前，數學的成就主要是在一些文明古國取得的，例如埃及、美索不達米亞，中國、印度和阿拉伯，當然還有希臘。可以肯定的是，如果沒有希臘人的貢獻，數學就不會像現在這樣豐富多彩。而在長達一千多年的中世紀里，整個歐洲似乎只有一個堪稱偉大的數學家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數學王國里發出光輝。歐洲之外，最有名的數學家當數巴格達的花拉子密，正是他命名了代數學，在阿拉伯語里，al-jabr 意為還原移項，譯成拉丁文后就成了algebra，這也是今天英文里的代數學。

十四世紀是歐洲黑死病流行的時期，毀滅了將近四分之一的人口，數學上取得的成績也非常可憐。但疾病和戰爭有時候會改變文明的格局，法蘭西開始嶄露頭角，逐漸走在世界文明的前列。這個世紀最重要的數學家被認為是法國人奧雷斯姆（ORESME），他出生在諾曼底，是天主教會的主教，同時又是亞里士多德著作的法文翻譯，中世紀最偉大的經濟學家。他寫過五部數學書，和他的譯文一樣文筆優美，為科學修辭和法國散文作出了貢獻。奧雷斯姆第一個使用了分數指數，第一個用坐標確定了點的位置，這預示了現代坐標幾何學，影響了包括笛卡爾在內的諸多數學家。

十五世紀開始了歐洲的文藝復興，隨著拜占廷帝國的瓦解（君士坦丁堡最在1453年落入土耳其人之手），難民們帶著希臘文化的財富流入意大利。奧登堡發明了活字印刷，印刷術得到了改進。在這個世紀的尾末，哥倫布到達了美洲，不久，麥哲倫完成了環球航行。可是數學進展仍然不大，十五世紀最杰出的數學家是法國人丘凱（CHUQUET），他出生在巴黎，在里昂生活和行醫。丘凱率先考慮了負的整數指數，他的名著《算術三編》討論了這樣三個問題，有理數的計算、無理數的計算和方程論。他還提出了均值法則：如果A、B、C、D是正數，則（A+B）/（C+D）處于A/C 與 B/D 之間。

十六世紀最偉大的數學家也是法國人。他的名字叫韋達（VIETE），出生在法國中部的普瓦捷（許多年以后笛卡爾也在這座城市上了大學）。韋達是個律師和議員，卻像后來的費爾馬一樣，把絕大部分閑暇奉獻給了數學。韋達的數學成就今天大多為我們所能理解，如中學數學里確立一元二次方程根和系數的關系的韋達定理（對三次方程他也有天才的貢獻），三角學中的半角公式，他還是第一個提出代數系統符號化的人。韋達倡導用輔音字母表示已知數，元音字母表示未知數。后來被笛卡爾的想法所取代，后者用拉丁字母的開頭幾個 (a, b, c) 表示已知數，尾末幾個(x, y, z) 表示未知數。

從以上事實我們可以看出，法國人的數學在文藝復興之初已達到世界先進水平，雖然那時候歐洲政治、經濟、藝術和科學的中心是在亞平寧半島。正是在那個時期，（現今的）初等數學基本上羽翼豐滿了。同時，這也為近代數學和科學的全面發展奠定了相對堅實的基礎。

三、笛卡爾和天才的世紀

在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進程中走在最前列，他們在數學和科學領域也處于領先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達諾在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他們兩人的成就合起來不低于同時代的法國人韋達。可是，這兩位同胞數學家卻相互控告對方剽竊，結果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的兩所大學任數學教授，他發明的扇形圓規通用了兩個世紀，同時對拋物線性質和無限集的等價概念有了正確的理解，他的數學天才和直覺幫助其建立起了自由落體的力學定律。他用自制望遠鏡觀察宇宙，證實了哥白尼的太陽系理論，卻不幸遭到羅馬教會的迫害，含冤而死。

伽利略是在比薩斜塔做實驗時發現自由落體定律的，他任比薩大學數學教授時年方25歲，兩年后就離開了，后來到了威尼斯附近的帕多瓦大學。他第一次聽說荷蘭人發明望遠鏡是在1607年，他已經43歲，之后才自己動手制作望遠鏡，觀察天象，他發表支持哥白尼理論的著作是在1630年，那年他66歲。也就是說，伽利略的兩大科學發現相隔了差不多有四十年。正是在這期間，法國誕生了多位數學天才，德沙格、笛卡爾、費爾馬、帕斯卡爾，法國數學全面超越了意大利。英國哲學家兼數學家懷特海稱十七世紀是天才的世紀，其中以法國人所做的貢獻最多。德沙格建立了射影幾何學，但他和他的幾何學的光芒被晚三年出生的笛卡爾給掩蓋了。下面我們就來談談笛卡爾。

和大多數天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時母親病故，身體贏弱，已另娶妻的父親把他交給外婆撫養，后來又送他進拉弗萊什的一所教會學校。幸虧校長極有人文修養，看出這個孩子心智和身體上的差異，要他先增強體質。校長告訴小笛卡爾，除非想去教室和別的同學們在一起，否則不必離開自己的房間。從那以后，笛卡爾終身保持了晚起的習慣，包括他在部隊當兵時，當他需要思考問題時，就躺在床上冥思苦想。笛卡爾后來回憶，那些在冥思中度過的漫長而安靜的早晨，是他的哲學和數學思想的真正來源。據說，他是在床上看見天花板上蒼蠅的運動才發明坐標系的。值得一提的是，盡管笛卡爾身體虛弱并愛睡懶覺，卻是個勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被他拒絕。

笛卡爾在數學上的主要成就是創立了一門數學分支——解析幾何，同時他又被黑根爾贊譽為“近代哲學之父”。作為一個二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區分開來，其中心靈的作用如同其著名的哲學命題所表達的——“我思，故我在”。而在方法論上，笛卡爾則是一個徹頭徹尾的懷疑主義者，對他來說，懷疑是一種必要的手段，是哲學和心理學方法中的一個工具。笛卡爾認為，我們從童年時代起就接受了許多偏見，如果得不到及時糾正，會持續到成年，進一步他指出，“懷疑是一門藝術，它使我們脫離感覺的影響獲得解放。”

事實上，笛卡爾認為，亞里士多德的三段論只是在推導已知結論時才有用，而不能用以發現或創新。可是，鑒于當時教會和政院哲學的權威，為了避免伽利略所受的那種牢獄之苦，笛卡爾的《幾何學》是作為他的哲學著作《方法論》的附錄三悄然出現的，當然也不在正統的教科書之列。比笛卡爾晚兩輩的英國人牛頓是從社會傳聞而不是從課堂上了解到了笛卡爾的新哲學和新幾何，開始相信物理世界是由運動著的物質粒子所組成的，并掌握了用代數方法解決幾何問題的方法。那以后不久，身為劍橋大學三一學院研究生的牛頓便在自己的農莊里（因為鼠疫放假）構想了微積分學和萬有引力定理。

在笛卡爾時代，他在數學上有好幾位競爭對手。例如，畢生居住在法國南方山區小城圖盧茲的法官費爾馬，他有著“業余數學家之王”的美號。今天我們大家都知道“費爾馬大定理”，它是畢達哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結論截然相反。直到上個世紀末，這個定理才被英國數學家懷爾斯最后證明了。據說在笛卡爾生前，他經常接到費爾馬的挑戰，例如宣布發現某某數學規律卻不告之證明方法，這些挑戰有的是以書面的形式提出，有的是通過一位叫梅森的神甫傳達。說起這個梅森神甫，雖然算不上是偉大的數學家（僅以梅森素數命名），卻是十七世紀法國數學不可或缺的人物。

梅森神甫經常乘自己外出布道的機會，到各地秘密會見數學家，并傳達各種最新的數學成果或發現。另一方面，他又在巴黎舉辦每周一次的數學沙龍，參加這個沙龍的人當中就有一對叫帕斯卡爾的父子。那時候還沒有科學院之類的組織，梅森神甫的沙龍后來成為法國科學院的雛形。就像如今各國媒體每每聚焦娛樂、體育和商業明星，那個時代的智力生活才是巴黎人矚目的中心。老帕斯卡爾是個稅務局的官員，業余研究數學并發現了帕斯卡爾螺線，他的妻子去世以后，為了年幼兒子的教育，他沒有再婚，并把家從外省遷移到巴黎。

父親的教學方法注重解決問題，而不是材料的灌輸，從而提高了兒子動手實驗能力。與此同時，考慮到兒子的體質，做父親的側重于語言教育，至于數學方面，他只講授一些基本原理。這反而使得兒子對這門學科更為好奇和敏感，據說帕斯卡爾12歲那年，從未受過相關訓練的他獨自推導出了幾何學中的一條定理，即三角形的三個內角和等于兩個直角之和。從那以后，父親才開始教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數學沙龍。帕斯卡爾的主要數學成就包括概率論的創立（與費爾馬合作）、二項式系數和射影幾何學中的帕斯卡爾定理（圓錐曲線的內接六邊形三組對邊的交點共線）。

除了數學上的成就以外，帕斯卡爾還發明了計算機（初衷是為了幫助父親進行稅務方面的計算）、流體壓力定律（水壓機便是這個定律的一個應用），計算機中的帕斯卡爾語言和天氣預報中的大氣壓強單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學領域，帕斯卡爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認為是所有法國文學中的珍品，在宗教方面，他宣揚可以通過心靈而不是通過理性來體驗上帝的教義，他建立的直覺主義原理對于后來盧梭、實用主義和存在主義哲學家都有影響。

在達到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同的選擇了隱居生活。笛卡爾說過，“ 我只要求安寧和平靜。” 盡管他和帕斯卡爾之間也有爭論，例如在真空是否真的存在這個問題上，但均是在理智和學術的范圍內進行的。事實上，他們兩人都不愛拋頭露面。笛卡爾成年以后，大部分時光居住在荷蘭，在這個多處地方低于海平面的國家，他不愿意把自己的住處告訴別人，包括一些親近的朋友，為此還多次更換寓所。他的座右銘是：“隱居得越深，生活得越好。”而帕斯卡爾既沒有進過學校，也沒有謀求公職，后來干脆進了巴黎郊外的一座修道院。無論帕斯卡爾還是笛卡爾，他們的創造力一直持續到了暮年。

相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費爾馬把自己的聰明才智全部奉獻給了數論。這當然與費爾馬有著自己的職業、需要養家糊口有關，但我認為更重要的是，費爾馬與高斯、歐拉這三個對數論有杰出貢獻的數學家，他們已經從數論之美中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術、哲學或宗教的滋養。從畢達哥拉斯時代人們就沉湎于發現數的神秘關系，優美、簡潔、智慧是這門科學的特點。記得希爾伯特的傳記作者在談到大師放下代數不變量理論轉向數論研究時寫到，“數學中沒有一個領域能夠像數論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數學家中的精華。”畫家康定斯基也認為：“數是各類藝術最終的抽象表現。”

四、從費爾馬到龐加萊

自從費爾馬于1665年去世后，法國數學界有半個世紀的沉寂，之后從1820年代開始，接連誕生了一批數學大師，幾乎每隔七、八年就有一位，依次是克雷羅、達朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、蒙日、卡諾、傅立葉、泊松、柯西、蓬斯萊、伽羅瓦，可以說法蘭西源源不斷地滋生出大數學家。他們中的每一個都成就非凡，如果放在其他國家里，都可能成為該國歷史上最偉大的數學家。而法國人也是以此為傲，僅巴黎以數學家命名的街道、廣場、車站等就有百余處，巴黎二十個街區也是以阿拉伯數字命名，并以平面幾何學中的雙曲螺線為序排列。

以下我們選擇其中的七位數學家，他們后來走上不同的人生道路，但都能從不同的角度給我們以啟示。

達蘭貝爾，偏微分方程的開拓者，最早寫出了動力學原理的著作，著名的《百科全書，或科學、藝術和工藝詳解詞典》的副主編（主編是哲學家狄德羅）。這是世界上第一部影響巨大的百科全書，網羅了一大批啟蒙思想家，并在編撰過程形成了一個被后人稱之為“百科全書”的哲學流派。他們反對封建特權制度和天主教會，向往合理的社會。主張一切制度和觀念要在理性的審判庭上受到批判和衡量，同時推崇機械工藝和體力勞動，從中孕育了資產階級務實謀利的精神，并為1789年的法國大革命作了輿論準備。

拉格朗日是拿破侖的親密朋友，后者稱他是“數學領域高聳的金字塔”，并讓他做上了參議員。他在微積分學的完善、微分方程、變分法、數論和群論等方面都有許多開創性的工作，他的名字遍布數學的各個領域。可是中年以后，拉格朗日的經歷與牛頓有著相似之處，即數學熱情銳減，正如他寫給達朗貝爾的信中所說的，“我開始感覺到我的惰性一點點地增加，我不能說從現在起還能再干十年數學。礦井已經挖得夠深了，除非發現新的礦脈，否則就不得不拋棄它了。”果然，他轉向了形而上學、宗教史、思想史、語言學等的研究。拉格朗日活得還算長壽，在有生之年他看到高斯完成了一部分偉大的事業，發現他當年認為數學已進入衰敗時期的預想是錯誤的。

拉普拉斯也是拿破侖的親密朋友，做為一個政治上的機會主義分子，他在法國大革命最動蕩的日子里，無論哪個黨派得勢，他都能逢場作戲，迎合當權者。他在概率論、微分方程、測地學和天體力學領域，都做出了杰出的貢獻，并享有“法蘭西的牛頓”的稱號。事實上，他畢生都積極投入把牛頓的萬有引力定律應用于整個太陽系這項事業中。由于拉普拉斯在政治上比拉格朗日花費了更多的精力（因此樹立起諂媚者的形象），他無暇顧及其他。早年的學生拿破侖把一切榮譽給了他，又任命他做了內政大臣；王朝復辟以后，他隨即效忠于路易十八，又被封為候爵，并親手簽署了流放恩人的法令。

蒙日，畫法幾何的創立者（開拓了機械制圖和機械工程），微分幾何之父（用微積分學研究曲率，啟發高斯，進而黎曼，發展出應用于相對論的黎曼幾何學）。出身卑微，父親是磨刀匠，后來成為軍事學院的教官，與拿破侖結為密友。后者派蒙日為特使前往意大利接受作為“戰爭賠償”的藝術品，當他發現有比布置盧浮宮多出六倍的繪畫、雕塑作品被裝船時，出面制止。否則的話，今天羅馬梵蒂岡博物館和佛羅倫薩烏菲茨美術館里的許多價值連城的藏畫都不會留在意大利了。蒙日后來與裁縫的兒子、數學家傅里葉一起隨拿破侖遠征埃及，在一次戰斗中拿破侖還救了他一命。

蓬斯萊（又譯蓬賽列），數學界的馬可?波羅，他早年參加拿破侖的軍隊，1812年，當法軍從莫斯科退卻時他和其他數十萬士兵一起被捕。在這批法國戰俘中，惟一受益的是這位年僅24歲的數學家。當時他身邊什么書也沒有, 就開始在戰俘營里構思巨著《論圖形的射影性質》。他被釋放回國后, 于1822年在巴黎出版了此書, 這部著作開創了射影幾何史上的所謂“輝煌時期”。事實上，射影幾何因其引人矚目的美及其證明的優雅，成為十九世紀幾何學家特別鐘愛的研究課題。而對于業余愛好者或某一階段感興趣的專業人士，它都是一個容易學到并有所成就的學科。

柯西，法國大革命那年出生在巴黎。極具文學天賦和詩才，也是帕斯卡爾之后所有法國數學家中最虔誠的。柯西一家避居鄉下時和拉普拉斯做了鄰居，后來父親出任參議院的秘書，因此小柯西又有機會得以見到拉格朗日，他贏弱的身體和聰明使得參議員給了同僚這樣的忠告，“在17歲以前，不要讓這個孩子摸數學書。”“如果你不趕快給他一點可靠的文學教育，他的趣味會使他沖昏頭腦。”做父親的牢記在心，后來他的兒子獲得了學校拉丁詩比賽的頭名和一次全國比賽的勝利。但這不妨礙柯西成為那個時代僅次于高斯的數學家，他在數學分析、實變和復變函數論、微分方程、線形代數、概率論和數學物理方面都有杰出的貢獻。

伽羅瓦，天才的最典型的例子，他21歲那年死于情人決斗，此前還兩次作為政治犯被捕入獄，卻是十九世紀最偉大的數學家之一。在決斗前夜他以致友人書信的方式寫下自己的數學發現，包含了所謂的伽羅華理論，這個理論奠定了群論的基礎。事實上，他是嚴格意義上用“群”（GROUP）這個詞的第一人，后來人們發現，群的概念不僅是抽象代數在二十世紀興起的重要因素，在幾何學中也起到立法分類的作用，同時它還推動了量子力學的發展。伽羅瓦之所以會卷入愚蠢的決斗，固然與父親含冤自殺，他本人兩次報考大學未果，參與政治活動被學院開除，有創見的論文被科學院忽視等事件有關，也與他自小偏科，被對數學的瘋狂主宰不無關系。

在伽羅瓦去世二十多年以后，法國才誕生了一位大數學家，他就是新近因為以其名字命名的猜想獲得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫跨了科學與人文兩大領域。龐加萊被認為是通曉全部數學與應用數學知識的最后一個人，他涉足的研究領域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。他還是數學的天才普及者，其平裝本的通俗讀物被人們爭相搶購，并被譯成多種文字，在不同的國度和階層廣泛傳播，就如同后來的英國理論物理學家、《時間簡史》的作者斯蒂芬·霍金那樣。

龐加萊出生在法國東北部小城南錫，父親是一位著名的醫生。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準確持久地記住讀過的內容。小龐加萊擅長的科目包括文學、歷史、地理、自然史和博物學，他對數學的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴黎綜合工科學校（就是伽羅瓦兩次報考未被錄取的大學），開始了他的數學生涯。

龐加萊從未在一個領域作過久的逗留，一位同僚戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。整個數學都是龐加萊的領域，但他對拓撲學的貢獻無疑最為重要。以他名字命名的猜想曾并被懸賞一百萬美元。這個猜想說的是，任意三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。有意思的是，這個猜想的推廣，即四維和四維以上的情形先期被兩位美國數學家證實，加上證明原猜想的俄國人佩雷爾曼，一共有三位數學家因為研究它先后獲得菲爾茲獎，這在數學史上絕無僅有。在數學以外，龐加萊的貢獻也難以勝數：相對論、光學、電學、電報、彈性力學、熱力學、量子論、勢論、毛細現象、宇宙起源，等等。

龐加萊的哲學著作包括《科學與假設》、《科學的價值》和《科學方法論》，他是唯心主義約定論哲學的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數歸結為集合論，認為數學最基本的直觀是自然數，這使他成為直覺主義的先驅者之一。正是由于這些成就的取得才使他既當選為法蘭西科學院的院士（后成為院長），又當選為法蘭西學院的院士，他同時處身于科學和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術家和科學家之間創造力的共性，相信“只有通過科學與藝術，文明才體現出價值”。

五、結束語

法國人喜歡幻想并善于幻想，除了涌現出無數杰出的詩人、畫家和音樂家之外，他們在數學方面提出了許多偉大的猜想，例如費爾馬定理、龐加萊猜想，均出自法國人的頭腦，還有一個中國人熟知的哥德巴赫猜想。在徐遲的同名報告文學里，談到了哥德巴赫這位18世紀的德國中學數學老師，他在給瑞士大數學家歐拉的信中提出了自己的猜想，這個猜想至今仍無人能夠證明。但不久以前，有人在笛卡爾散失的遺作里發現，早在哥德巴赫之前一個世紀，這位多才多藝的法國人便發現了這一數字規律，即每個大于或等于六的偶數均可表示成為兩個奇素數之和。當然，由于笛卡爾早已經鼎鼎大名了，連法國人也沒有要求把這個猜想的名字更改。

如果說工業革命的需要促使牛頓在英國發明了微積分，那么流血的法國大革命尤其是拿破侖的好戰也使得法國成就了一批精通理論和應用的數學家。如上所述，那個時代的法國數學家幾乎都與拿破侖交上了朋友，他們中的許多位曾在軍事學院和準軍事學院就讀或任教。即便1789年出生的柯西，也在離拿破侖滑鐵盧之戰尚有五年時，到英吉利海峽的港口瑟堡擔任一名軍事工程師，當時他身上只帶著四本書，拉普拉斯的《天體力學》、拉格朗日的《解析函數論》，一本天主教的教義和一冊維吉爾的詩集。從笛卡爾、帕斯卡爾、柯西等人的成才例子和伽羅瓦的早夭也可以看出，身體和智力上的平衡、科學與人文素養的兼備是何等重要。

或許是法蘭西的面積狹小，數學家們抬頭不見低頭見，加上鄰國之間的相互競爭，使得多數對數學感興趣的人有著高起點，他們相互影響和勉勵，形成了合理的良性循環。不僅如此，法國人研究數學的形式也別出心裁，例如著名的布爾巴基學派。1930年代，幾位在大學教授微積分學的青年人覺得現行使用的教材已經過時, 尤其是對多重積分等的處理不盡人意。幾番探討之后, 他們決計要寫一本盡可能現代的分析教程，結果有了一整套《數學原理》。這幫年輕人不計較個人名利，在相當長的時間里，只用布爾巴基這個筆名發表數學論文，其中的多位成員如韋伊、嘉當等后來成為大師級人物。他們引進了數學結構的概念，主要考慮一些對象的集合，而非具體的形、數、函數或運算，這一思想構成了現代數學的核心，但當被應用到中學教材改革時并不成功。

需要指出的是，本文提到的半數法國數學家與巴黎綜合工科學校（1794）結緣，而另一座同樣誕生于法國大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學校（1808）則在上個世紀培養了八位菲爾茲獎得主。可以說，正是笛卡爾以降法國數學家擁有的人文素養，使得數學在法國長盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國人萊布尼茨，他從一個肩負外交使命的秘密使臣一躍成為大數學家和大哲學家，他那轟動一時的微積分學便是在巴黎期間發明的。萊布尼茨的出現標志著德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同時也使得法國數學又多了一個強有力的競爭者。而布爾巴基學派的誕生，便是迫于德國數學后來居上的壓力和形勢之下。