采用改進的LQR進行Pendubot系統的平衡控制

， ，，，

(東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽110819)

0 引言

Pendubot是一種典型的欠驅動非穩定機器人[1]，由兩個機械臂組成，第一個機械臂(肩部關節)由電機驅動，為主動機械臂，第二個機械臂(肘部關節)可以自由活動，為欠驅動臂。Pendubot可以作為欠驅動基準系統，用于驗證各種非線性控制算法。Pendubot系統的控制分為搖起控制和平衡控制兩部分。搖起控制是從穩定的下垂位置(Down-Down)運動到最高不穩定平衡位置(Up-Up)；平衡控制是使系統穩定在最高不穩定平衡位置。通常，搖起控制和平衡控制分別設計，并通過控制轉換裝置進行切換。

早在1995年美國的Spong等就對Pendubot系統的可控性進行了證明[2]。Pendubot系統的搖起控制主要方法主要有部分反饋線性化方法[2]、能量控制方法[3-4]、混雜控制方法[5]、滑膜控制方法[6-7]和智能控制方法[8]等；平衡控制的主要方法有線性二次型調節器(LQR)[2]、極點配置法、模糊控制[9-10]、角動量控制[11]和神經網絡控制[12]等。在Pendubot系統的控制中，LQR控制器是應用最廣泛的平衡控制器。在已有的文獻中，采用LQR控制器進行Pendubot系統的平衡控制時，兩個機械臂均處于豎直位置，平衡狀態下主動臂的力矩為0。對Pendubot系統處于非最高不穩定平衡位置時的平衡控制進行研究，平衡狀態下主動臂的力矩不為0。在詳細分析Pendubot系統的動力學方程的基礎上，對LQR控制器進行了改進。建立Pendubot系統的仿真模型，對該方法進行了驗證。

1 Pendubot系統的動力學模型

通過拉格朗日方程來建立Pendubot系統的動力學模型(不考慮摩擦力的影響)為:

(1)

圖1 Pendubot系統的模型

在圖1中，m1和m2分別表示主動臂和欠驅動臂的質量，q1表示主動臂相對于坐標軸x的夾角，q2表示欠驅動臂相對于主動臂的夾角，l1和l2分別表示主動臂和欠驅動臂的長度，lc1和lc2分別表示主動臂和欠驅動臂相對于質心的距離，I1和I2分別表示主動臂和欠驅動臂的轉動慣量。下面將Pendubot系統的動力學方程中的參數變為以下的5個新參數。

(2)

將式(2)中的參數帶入到Pendubot系統的動力學方程中，可以得到

(3)

(4)

(5)

假設τ1/θ4g≤1，可以求解出q1和q2為：

其中n=1,3,5,…

(6)

(7)

(8)

2 LQR控制器

線性二次型調節器(LQR)屬于現代控制理論，其性能指標易于分析、處理和計算，并具有很好的魯棒性。LQR的目的是在一定的性能指標下，使系統的控制效果最佳，即利用最少的控制量來達到最小的狀態誤差。根據Pendubot系統在平衡位置進行線性化后的狀態方程，定義如下的性能指標

(9)

矩陣Q是正定或半正定實對稱矩陣，即Q≥0，矩陣R是正定實對稱矩陣，即R>0。矩陣Q和R用來平衡狀態變量和輸入向量的權重。使 J達到最小值的最優控制律為：

τ1=-R-1BTPx= -Kx

(10)

其中，參數K=R-1BTP為最優狀態反饋矩陣，參數P是下面Riccati方程的解。

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(11)

3 改進的LQR進行平衡控制

如果將Pendubot系統穩定在狀態變量xi=[π/2 0 0 0]T的不穩定平衡位置，由于平衡狀態下主動臂的驅動力矩為0，因此可以直接采用式(10)進行平衡控制。本文的控制目標是將Pendubot系統穩定在狀態變量為xq=[3π/8 π/8 0 0]T的不穩定平衡位置，即主動臂的角度為3π/8，欠驅動臂為豎直位置。對于位置xq，由于驅動力矩大于0，不能直接采用式(10)進行平衡控制。為了使Pendubot系統穩定在平衡位置xq，需要對LQR控制器進行改進。

首先求解平衡位置xq處的狀態反饋矩陣K。將狀態變量xq帶入到式(8)中，得到矩陣A和B分別為：

在MATLAB軟件中采用函數lqr()進行LQR控制器的設計，該函數的調用格式為K=lqr(A,B,Q,R)，其中參數Q為4階單位矩陣，參數R=1。在平衡位置xq，得到的狀態反饋矩陣為K=[-71.22 -56.78 -12.76 -8.31]。

為了使Pendubot系統穩定在平衡位置xq，在式(10)中，將狀態變量修改為xqΔ=[3π/8+Δπ/8-Δ0 0]T，即

τ1=-KxqΔ

(12)

參數Δ為補償角度值。下面介紹如何求解Δ。

Pendubot系統處于平衡位置xq時，驅動力矩為恒定值，并滿足式(5)，則驅動力矩為：

τ1=θ4gcos(q1)+θ5gcos(q1+q2)

=0.783 1 N·m

(13)

將力矩τ1，狀態變量xqΔ和反饋矩陣K帶入公式(12)，可以求得 Δ=0.054 3。

3 仿真分析

在仿真中采用的Pendubot系統[3]模型參數為θ1=0.030 8 kg·m2，θ2=0.010 6 kg·m2，θ3=0.009 5 kg·m2，θ4=0.208 6 kg·m，θ5=0.063 0 kg·m。

采用MATLAB/Simulink建立Pendubot的系統模型，系統的仿真時間為3 s，初始狀態的狀態變量為xi=[π/2 0 0 0]T，仿真步長為1 ms。

將Pendubot系統從初始狀態穩定到狀態變量為xq=[3π/8 π/8 0 0]T的不穩定平衡位置。采用LQR控制器和改進的LQR控制器的結果如圖2和圖3所示。在圖2中，采用LQR控制器時，系統穩定時主動臂的角度q1=1.226 0，大于設定的角度值3π/8；欠驅動臂的角度q2=0.344 8，小于設定的角度值π/8。采用改進的LQR控制器時，系統穩定時主動臂的角度q1=3π/8，欠驅動臂的角度為q2=π/8，即穩定在位置xq。

圖2 Pendubot系統的輸出角度

在圖3中，采用LQR控制器時，穩定狀態下的驅動力矩為0.691 7 N·m；采用改進的LQR控制器時，穩定狀態下的驅動力矩為0.783 1 N·m，和式(13)的計算值相等。采用LQR控制器和改進的LQR控制器都能使Pendubot系統穩定。直接采用LQR控制器時，Pendubot系統并沒有穩定在設置的平衡位置xq，但是改進的LQR控制器能夠使系統穩定在設置的位置xq。

圖3 輸入力矩

4 結束語

在利用LQR進行Pendubot系統的平衡控制中，當主動臂和欠驅動臂都處于豎直位置時，在穩定狀態下主動臂的輸入力矩為0，可以直接采用LQR進行平衡控制。利用LQR對Pendubot系統的平衡位置進行控制時，主動臂不在豎直位置，只有欠驅動臂在豎直位置。如果直接采用LQR進行控制，由于平衡位置的力矩大于0，Pendubot系統并不能穩定在設置的位置。根據設定的平衡位置，以及平衡位置處的力矩值，設計了一個補償參數，并給出了補償參數的詳細計算方法。通過改進的LQR控制器，使得Pendubot系統能夠穩定在設置的平衡位置。

[1] LIU Y, YU H. A survey of underactuated mechanical systems[J]. IET Control Theory and Applications, 2013, 7(7):1-15.

[2] SPONG M W, BLOCK D J. The pendubot: a mechatronic system for control research and education[C]//Proceedings of the 34th Conference on Decision & Control, 1995, 555-556.

[3] FANTONI I, LOAZNO R, SPONG M W. Energy based control of the pendubot[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2000, 45(4):725-729.

[4] XIN X, TANAKA S, SHE J, et al. New analytical results of energy-based swing-up control for the Pendubot [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2013, 52(3):110-118.

[5] ZHANG M, TARN T J. Hybrid control of the pendubot[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2002, 7(1):79-86.

[6] 王偉，易建強，趙冬斌,等. Pendubot的一種分層滑膜控制方法[J]. 控制理論與應用, 2005, 22(3):417-422.

[7] 牛瑞燕，許午嘯，劉金琨. 欠驅動機械臂滑膜控制與實驗研究[J]. 儀器儀表學報, 2016, 37(2):348-355.

[8] EOM M, CHEA D. Robust swing-up and balancing control using a nonlinear disturbance observer for the pendubot system with dynamic friction[J]. IEEE Trans. Robotics, 2015, 31(2):331-343.

[9] LI W, TANAKA K, WANG H O. Acrobatic control of a Pendubot[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2004, 12(4):549-552.

[10] Sanchez E, Flores V. Real-time underactuated robot swing-up via fuzzy PI+PD control[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2006, 17(1):1-13.

[11] AZAD M, FEATHERSTONE R. Angular momentum based balance controller for an under-actuated planar robot [J]. Autonomous Robots, 2015, 40(1):1-15.

[12] XIA D, WANG L, CHAI T. Neural-network-friction compensation based energy swing-up control of Pendubot[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(3):1411-1423.