不同速度段彈體侵徹巖石靶體的理論分析

宋春明，李 干，王明洋，邱艷宇，程怡豪

(陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007)

隨著高速/超高速動能武器的迅速發展,防護工程面臨的打擊速度已涵蓋低、高速和超高速段,針對不同的軍事工程目標,其打擊速度涵蓋300～3 000 m/s的區間。高速動能彈對防護工程的毀傷能力極大,除造成結構的破壞外,還產生強烈的地沖擊效應,是各國防御的重點和難點。

從已有的高速侵徹試驗和研究發現,在不同的速度范圍內,存在完全不同的侵徹機制,侵徹深度也隨撞擊速度增加呈現不同的變化規律[1-2]。以高強合金鋼30CrMnSiNi2A 彈侵徹花崗巖(以剪切失效為主)實驗為例,分析侵徹深度的變化規律。(1)在常規撞擊速度范圍內,侵徹彈體保持為不變形體,隨著侵徹速度的增加,彈體出現微量磨蝕,仍可視為剛體。(2)當侵徹速度進一步增加,彈體自身發生變形并伴隨較顯著的質量損失,侵徹機制由剛體侵徹向半流體動力學侵徹轉變,侵徹效率嚴重下降。(3)當侵徹速度進一步增加到某一臨界速度時,彈體發生嚴重的消蝕或斷裂,其侵徹機制變為流體動力學侵徹,也就是進入超高速侵徹階段。不同的侵徹機制造成侵深隨撞擊速度的變化規律完全不同,在剛性侵徹階段,侵深隨撞擊速度速度準線性增加;撞擊速度超過臨界點后,侵徹機制為半流體侵徹,侵徹深度發生突降;隨速度進一步增加,侵徹深度緩慢增加并趨于流體動力學極限值,侵徹機制為流體侵徹。

從侵徹問題的研究成果來看,剛性彈侵徹理論成果最為豐富，研究最為成熟。Kennedy[3]最早對混凝土撞擊破壞效應進行了分類并總結了相關計算公式。此后Yankelevsky[4]、Chen等[5]和Li等[6]不斷對混凝土侵徹與貫穿的經驗公式和理論方法加以改進。Heuzé等[7]綜述了巖石為主的地質材料侵徹的相關經驗公式和理論計算方法。Forrestal等在空腔膨脹理論方面開展了大量工作,并結合試驗研究得到了分別針對金屬[8]、巖石[9]、混凝土[10]、土/砂和陶瓷等材料的理論計算方法。王明洋等[11]推導給出剛性彈侵徹混凝土類靶體的空腔膨脹理論計算模型。

剛性侵徹階段到不穩定侵徹階段的轉變速度稱為半流體轉變速度。Chen等[2]分別研究了半流體轉變速度上限和下限的臨界判據,認為轉變速度上限決定于彈體的動力強度。Wen[12]考慮了彈體截面的變化,推導了剛體侵徹-變形侵徹-侵蝕侵徹階段的轉變條件。

彈體進入流體侵徹階段后,可采用流體動力學方法近似處理彈體侵蝕過程,Alekseevskii和Tate分別獨立提出了著名的A-T方程。

在巖石侵徹實驗方面,張德志等[13]完成了高強鋼彈對花崗巖的正侵徹試驗研究,彈體的速度范圍在298～988 m/s,并給出該速度范圍內侵徹深度與侵徹速度的經驗公式。沈俊等[14]研究了更高撞擊速度下巖石的破壞問題,實驗最高彈速達1 450 m/s,獲得了高速動能彈侵徹青石石灰巖的實驗數據,得出該速度范圍侵徹深度與侵徹速度之間的關系式,并分析了高速撞擊條件下彈體的侵徹能力、侵徹極限速度和質量損失等問題。

本文中,通過分析彈體在不同撞擊速度段對花崗巖靶體的侵徹規律,提出理論模型并通過實驗驗證模型的有效性。

1 剛體侵徹段理論模型

如圖1所示,剛體侵徹的破壞區域從里向外依次是空腔區(r≤a),破碎區(a

根據每個破壞區的受力狀態和平衡方程,可求得各個變形區內應力的一般解,結合初始條件和邊界條件可求得各區的應力表達式,并得到空腔表面的徑向應力為:

(1)

式中:λs、λd、λe為侵徹阻力系數,ρ0為介質初始密度,a0為波速,a為空腔半徑。

從式(1)可以看出,彈體阻抗由3項組成,分別代表介質的強度項、動應力項和速度的平方項,而侵徹阻力系數的確定需要引入位移連續條件和能量平衡條件,以求得彈體侵徹阻力[15]:

F=αs+βsv+ηsv2

(2)

式中:αs、βs和ηs為侵徹阻抗系數，v為彈體速度。

由于彈體侵徹過程中不變形,根據彈體阻力,可由牛頓第二定律建立彈體運動的微分方程,計算出侵徹深度。當彈體著靶速度v0/a0<0.2時,忽略式(2)中等號右邊第3項對侵徹深度的影響后,彈體侵徹深度為:

(3)

式中:h為彈體侵徹深度,M0、v0分別為彈體的初始質量和初始速度。

2 半流體侵徹段理論模型

隨著彈體侵徹速度的增加,彈體出現變形和明顯的質量磨蝕,其侵徹機制轉變為半流體侵徹,侵徹深度隨速度的增加反而減小,且該階段發生在一個狹窄的撞擊速度范圍內。為建立該階段的計算模型,提出以下假設。

(1) 隨著彈體侵徹速度的增加,式(2)中介質強度項與動應力速度項相比存在數量級的差別,為簡化計算可以忽略強度項。

(2) 存在某一臨界速度vcr,當彈體侵徹速度高于該臨界速度時,彈體質量損失明顯增加,而侵徹深度減小,此階段必須考慮該質量損失對侵徹過程的影響,即采用動態變化的彈體質量計算其侵徹深度。當侵徹過程中彈體速度小于vcr時,采用彈體的殘余質量并按剛性侵徹計算。

(3) 依據已有的實驗數據,提出彈體質量變化與侵徹速度的關系式:

(4)

式中:量綱一參數αe>0,vcr為剛體侵徹轉變為半流體侵徹的臨界彈體速度,αe和vcr取決于彈靶材料特性。

根據以上假設,建立半流體侵徹階段彈體的動力方程:

(5)

(6)

為了求侵徹速度從v0下降到vcr期間的侵徹深度h1,將式(4)表達式代入式(6),求得:

(7)

彈體速度降至vcr以下時,根據式(4),速度由vcr下降到0期間的侵徹深度為h2:

(8)

因此，總的侵徹深度為:

(9)

式(9)對應于v0>vcr時彈體總的侵徹深度計算結果,對于v0≤vcr的情形,可由式(7)直接積分求出其侵徹深度計算公式為:

(10)

從式(10)與式(9)的表達式對比可以發現,當撞擊速度滿足v0

因此,侵徹深度計算應該根據初始速度的不同而分段表示為:

(11)

式(11)滿足在v0=vcr時的連續性條件。將式(11)對v0求導,得到:

(12)

從式(12)可以判斷,當v01時,導數為負。由于前面已假定當撞擊速度超過vcr后,侵徹深度應減小,因此αe>1,也就是說當撞擊速度為vcr時,彈體的侵徹深度出現極值點,而vcr就是對應于最大侵徹深度的極限速度。

3 流體侵徹段理論模型

3.1 計算模型

進入流體侵徹階段后,能量以破碎的介質運動耗散為主。巖石類靶體的超高速侵徹實驗表明,介質的變形與破壞狀態通常分為破碎狀態(Ⅰ,近區)、徑向裂紋狀態(Ⅱ)和彈性狀態(Ⅲ),如圖2所示。

對于破碎近區的研究大多采用各種或簡單或復雜的狀態方程及本構關系來描述,但只要彈體侵徹速度滿足條件v0/a0≥0.2,區域Ⅰ介質就可以當作擬流體動力學狀態。此時耗費在介質破壞上能量份額極小,而消耗在巖石介質運動上的能量要遠遠大于破壞能量。

破碎區和裂紋區的邊界為Γ,彈體與破碎區的接觸界面為Γ1,因近區介質噴射而導致破碎區裸露的邊界為Γ2,Γ1由靶體破壞應力σ確定。若將破碎區(Ⅰ)視為理想不可壓縮流體,其運動速度v由其勢函數φ決定,并且有:

(13)

在侵徹過程中Γ隨著彈體的侵入而不斷發展，式(13)的方程是非定常的，無法解析求解。考慮到侵入過程中，Γ的運動主要為x方向，徑向膨脹較小，并且邊界壓強保持恒定，為此就上述問題作如下假設：(1)彈體為剛性體，但質量變化；(2)破碎區Ⅰ視為理想不可壓縮流體；(3)裂紋區Ⅱ和彈性區Ⅲ為剛性體；(4)Γ的邊界應力為σ；(5)Γ的幾何形狀為圓柱面。其中：假設(1)是考慮彈體的質量損失，但忽略彈體塑性流動區。假設(5)的引入無法獲得破碎區Ⅰ的真實形態，但是在獲取破碎區I半徑信息的前提下，模型由非定常變為定常，并可獲得解析解。因此，彈體侵徹過程可簡化為簡單的流體力學問題。

如圖3所示，靶體為密度ρt和壓力p=σ的不可壓縮的理想流體，以速度v(侵徹速度)在半徑為R的管道內流動，已知半徑為r0的彈體，要求出彈體所受的阻抗力為Q。

假設流體流經彈體后，在彈體后形成射流的壓縮系數為k，則根據動量守恒可得：

(14)

式中：Q為彈體所受的阻力，vout為流體流經彈體與自由邊界的流動速度，k為射流壓縮系數，ρt和σ分別為靶體密度和靶體的破壞應力，R為靶體破碎區域的半徑。

流體流動過程中還滿足連續性條件和伯努利方程：

(15)

聯立式(14)和(15)，可推得：

(16)

管道中流體經過錐形體的壓縮射流系數k可根據圖4給出的示意圖進行求解。彈體頭部形狀是影響射流系數k的關鍵因素，常見彈頭的形狀包括柱形、球形、錐形和卵形。對于錐形彈的射流系數可以表示為：

(17)

式中：α為彈體半錐角，ζα′=v/vout為流場入口和出口速度的比值，α′=α/π，根據伯努利方程，有：

(18)

求得彈體的阻力值后，根據牛頓第二定律建立侵徹深度的求解方程:

(19)

由式(19)積分即可求得侵徹深度。由式(19)可明顯看出，在流體侵徹階段影響侵徹深度的主要參數是η和k，即主要影響因素為彈頭形狀。

3.2 考慮彈體侵蝕的修正

彈體在侵徹過程中發生質量侵蝕，引入質量修正系數：

(20)

式中：αd是與彈體尺寸和彈靶強度相關的質量損失系數，vd為流體侵徹開始時的臨界速度值。因此，式(20)改為：

(21)

經過公式變換，可求得侵徹速度從v0下降到0期間的侵徹深度

(22)

4 與實驗的對比驗證

利用爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室的二級輕氣炮實驗裝置在1 200～2 400 m/s速度范圍內開展花崗巖靶體的寬速度范圍的撞擊，與前面計算理論進行對比。其中，彈體采用高強合金鋼30CrMnSiNi2A，密度ρp=7.85 g/cm3，單軸強度為1952 MPa，彈長L=54 mm，直徑d=10.80 mm，長徑比L/d=5，彈頭CRH形狀系數為3.0，彈體初始質量M0=32.45 g。花崗巖用圓柱形鋼制套筒包裹，外徑480 mm，壁厚10 mm，實驗測定ρt=2.67 g/cm3，單軸靜態抗壓強度為147 MPa。侵徹實驗的結果如表1所示。

表1 侵徹深度及彈體剩余質量情況Table 1 Penetration depth and residual mass of projectile

根據第3節可計算得到3個侵徹段的彈體侵徹深度。結合實驗數據可求得極限侵徹深度對應的撞擊速度vcr=1 620 m/s，系數αe=12，彈體阻力系數B=304 kg/s，靶體動態破壞應力σ=441 MPa。系數αd=1.42，流體侵徹臨界速度vd=1 750 m/s。

圖5為彈體侵徹過程中，射流系數k與參數η的關系曲線。可以看出侵徹速度v越大，射流系數越大，因此彈體在侵徹過程中該系數是動態變化的。

圖7為彈體侵徹后剩余質量的理論計算值與試驗值的對比圖。可以看出，彈體在侵徹過程中彈體質量變化存在的3個階段。(1) 速度小于vcr時，彈體質量變化很小，可視為剛體。(2) 當撞擊速度超過臨界速度vcr時，彈體發生顯著質量損失，侵徹效率快速下降，與圖5中的侵徹深度下降段對應。(3) 在流體段，彈體質量損失隨速度的增加繼續增大。(4) 彈體質量變化圖與侵徹深度圖的3個階段一一對應，共同揭示侵徹機制的變化規律。

由于彈體不同侵徹階段的臨界速度與彈體、靶體的材料強度、彈體的長徑比等密切相關，不同的彈靶侵徹實驗得出的速度范圍明顯不同，如何從理論上推導出彈體侵徹狀態轉變時的臨界速度以及各速度段內彈靶關聯失效破壞機制仍待進一步研究。

5 結 論

(1)彈體侵徹巖石類靶體，隨撞擊速度的增加其侵徹機制會發生轉變，由剛體侵徹機制逐步轉變為半流體侵徹和流體侵徹機制。對于巖石類靶體，存在最大侵徹深度和對應的極限侵徹速度，超過該速度，彈體進入半流體侵徹階段，侵深隨速度增加發生突降。

(2)在半流體侵徹階段，介質的動應力阻抗項起控制作用，基于該阻抗力和提出的彈體質量損失模型，建立彈體運動方程并推導給出適用于該階段的侵徹深度計算公式。

(3)在流體侵徹階段，通過流體區和剛性區域的假定，將流體侵徹階段的彈體撞擊問題轉為簡單的流體力學問題，并利用動量守恒、連續性條件和伯努利方程，推導出彈體阻抗和該階段侵徹深度的計算公式。

(4)彈體質量的變化與侵徹深度變化的3個階段一一對應，共同揭示了彈體侵徹機制隨速度的變化規律。

(5)通過與花崗巖侵徹實驗結果的對比，數據吻合較好且反應出侵徹變化規律與實驗結果完全一致，本文中方法可用于高強度彈體在寬廣撞擊速度范圍對巖石侵徹深度的計算。

[1] ROSENBERG Z, DEKEL E. On the role of material properties in the terminal ballistics of long rods[J]. International Journal of Impact Engineering, 2004,30(7):835-851.

[2] CHEN X W, LI Q M. Transition from non-deformable projectile penetration to semi-hydrodynamic penetration[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2004,130(1):123-127.

[3] KENNEDY R P. A review of procedures for the analysis and design of concrete structures to resist missile impact effects[J]. Nuclear Engineering & Design, 1976,37(2):183-203.

[4] YANKELEVSKY D Z. Local response of concrete slabs to low velocity missile impact[J]. International Journal of Impact Engineering, 1997,19(4):331-343.

[5] CHEN X W, FAN S C, LI Q M. Oblique and normal perforation of concrete targets by a rigid projectile[J]. International Journal of Impact Engineering, 2004,30(6):617-637.

[6] LI Q M, REID S R, WEN H M, et al. Local impact effects of hard missiles on concrete targets[J]. International Journal of Impact Engineering, 2005,32(1):224-284.

[7] HEUZé F E. An overview of projectile penetration into geological materials, with emphasis on rocks[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1990,27(1):1-14.

[8] FORRESTAL M J, WARREN T L. Penetration equations for ogive-nose rods into aluminum targets[J]. International Journal of Impact Engineering, 2008,35(8):727-730.

[9] FORRESTAL M J, HANCHAK S J. Penetration limit velocity for ogive-nose projectiles and limestone targets[J]. Journal of Applied Mechanics, 2002,69(6):853-854.

[10] FORRESTAL M J, TZOU D Y. A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets[J]. International Journal of Solids & Structures, 1997,34(s31/s32):4127-4146.

[11] 王明洋,陳士林,潘越峰.平頭彈在巖石(混凝土)介質中的侵徹計算方法[J].兵工學報,2005,26(1):46-52.

WANG Mingyang, CHEN Shilin, PAN Yuefeng. Method of calculation for the penetration of a flat-nosed projectile in the rock (concrete)[J]. Acta Armamentarii, 2005,26(1):46-52.

[12] WEN H M. Analytical models for the penetration of semi-infinite targets by rigid, deformable and erosive long rods[J]. Acta Mechanica Sinica, 2010,26(4):573-583.

[13] 張德志,張向榮,林俊德.高強鋼彈對花崗巖正侵徹的實驗研究[J].巖石力學與工程學報,2005,24(9):1612-1618.

ZHANG Dezhi, ZHANG Xiangrong, LIN Junde, et al. Penetration experiments for normal impact into granite targets with high strength steel projectile[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, ,2005,24(9):1613-1618.

[14] 沈俊,徐翔云,何翔,等.彈體高速侵徹巖石效應試驗研究[J].巖石力學與工程學報,2010,29(s2):4207-4212.

SHEN Jun, XU Xiangyun, HE Xiang, et al. Experimental study of effect of rock targets penetrated by high-velocity projectiles[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010,29(s2):4207-4212.

[15] 王明洋,鄧宏見,錢七虎.巖石中侵徹與爆炸作用的近區問題研究[J].巖石力學與工程學報,2005,24(6):2859-2863.

WANG Mingyang, DENG Hongjian, QIAN Qihu. Study on problems of near cavity of penetration and explosion in rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005,24(16):2859-2864.