常見均勻剛體轉動慣量的計算

楊小云

摘 要：轉動慣量是剛體力學中的一個重要物理量，在許多大學物理教材中，對一些常見均勻剛體的轉動慣量只給出了結論，沒有給出計算過程。本文根據轉動慣量的定義計算出一些常見的幾何形狀簡單、質量連續且均勻分布的剛體繞定軸轉動的轉動慣量，得出了剛體的轉動慣量與一些因素有關。期望這些內容能對大學物理教學和學生的深入理解提供幫助。

關鍵詞：均勻剛體 轉動慣量 轉軸

中圖分類號：P159.3 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）10（b）-0184-02

轉動慣量是剛體力學中一個較為重要的物理量，它描述了剛體在轉動中慣性的大小。它和物體做平動時的質量m地位相當，其定義式可由剛體的轉動動能和動量矩推導出來[1]。幾何形狀簡單、質量連續且均勻分布的剛體對轉軸的轉動慣量的定義為。常見的均勻剛體有圓柱、圓環、圓盤、細棒、球體等，教科書雖給出部分均勻剛體轉動慣量，但沒給出計算過程，本文將根據轉動慣量的定義計算出這些常見均勻剛體的轉動慣量。

1 空心圓柱體轉動慣量的計算

如圖1所示為質量m的空心圓柱體，在半徑r（R1

因空心圓柱體是均勻的，ρ為恒量，因此

，又因為圓柱體的質量

為，所以可得：。

當R1=R2時，得薄壁圓筒（如圖2）對通過中心的幾何軸z軸的轉動慣量為I=mR2。

當R1=0時，得實心圓柱體（如圖3）對通過中心的幾何

軸z軸的轉動慣量為。

根據實心圓柱體的轉動慣量的結論，將實心球在與z軸垂直的方向上切成半徑為r，厚度為dz的薄片，實心球密度為ρ，則該薄片質量為，實心球的質量為

。根據幾何關系，即可知可知實心

球對通過球體直徑z軸的轉動慣量為[4]：

根據實心球的轉動慣量的結論，設空心球的內徑為R1，外徑為R2。同密度的實心球，若以R1為半徑，則質量為

M1；若以R2為半徑，則質量為M2，由m2-m1=m

公式（3）中若R1=R2時，得球殼對通過球心的z軸的轉動慣量為：

2 環形圓盤轉動慣量的計算

如圖4所示質量為m的環形，在半徑r（R1

由于環形圓盤是均勻的，σ為恒量，因此；

將環形圓盤的質量代入（5）可得環形圓盤對z軸的轉動慣量為：

當R1=0時，得圓盤對通過中心且與盤面垂直的z軸的轉

動慣量為。

當R1=R2時，得圓環對通過中心且與圓環垂直的z軸的轉動慣量為I=mR2。

3 細棒和長方形轉動慣量的計算

如圖5所示質量為m的細，在棒內距z軸為x處，取長為dx，橫截面積為S的質元，設棒的密度為ρ，則該質元的質量為，所以細棒A對z軸的轉動慣量為

。由于細棒是均勻的，ρ為恒量，

因此，若細棒A的質量為m=ρlS，則細棒對z軸的轉動慣量為：

如圖6所示質量為m的長方體，沿轉軸z方向取一長為dy，寬為dx，高為 的細長方體，因細長方體橫截面非常小，因此橫截面上任意一處可看成一個坐標為（x，y，z）的點。設長方體的密度為ρ，則該細長方體的質量為。又因細長方體的轉動半徑為則細長方體的轉動慣量為，整個長方體的轉動慣量為

3 結語

轉動慣量是大學物理中關于剛體力學的一個重要的物理量，而關于常見均勻剛體的轉動慣量的計算也是大學物理學習中的一個重點之一。本文利用微元法計算了空心圓柱體和環形圓盤的轉動慣量，并通過討論推廣得到了薄壁圓筒、實心圓柱體、實心球、空心球、球殼、圓盤、圓環相對其中心軸的轉動慣量。

參考文獻

[1] 韓眾.幾種形狀規則剛體轉動慣量的計算[J].山西大同大學學報：自然科學版，2014，30（4）：25-27.

[2] 漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3] 馬文蔚.物理學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒.基于均質球對稱剛體轉動慣量的計算[J].吉林師范大學學報：自然科學版，2016（1）：84-85.