關(guān)于四大積分公式微課設(shè)計(jì)的思考

郝樹(shù)艷++崔曉曦++周剛++王和和

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的四大積分公式之間存在著非常密切的聯(lián)系，從本質(zhì)到形式，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美。將這一知識(shí)點(diǎn)制作為一次短小精悍的微課，在教學(xué)過(guò)程中展現(xiàn)這種數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美，能夠?qū)虒W(xué)起到很好的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞： 微課 N-L公式 Green公式 Gauss公式 Stokes公式

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）11（c）-0190-02

隨著科技的不斷進(jìn)步，微課作為一種新型的教學(xué)模式正逐漸滲透至教學(xué)過(guò)程中，并且有著越來(lái)越重要的地位。微課在教學(xué)中的普及程度，還存在著一些爭(zhēng)議。筆者認(rèn)為，對(duì)于邏輯性強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，充分利用微課輔助教學(xué)，可以起到事半功倍的效果。高等數(shù)學(xué)中四大積分公式就具有這樣的特點(diǎn)，這幾大公式聯(lián)系緊密，這種聯(lián)系中所體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美，也很值得玩味。將這一知識(shí)點(diǎn)制作為一次微課，作為課堂教學(xué)的擴(kuò)充，將數(shù)學(xué)文化融入課堂，能夠?qū)虒W(xué)起到很好的促進(jìn)作用。關(guān)于這次微課的設(shè)計(jì)制作過(guò)程，筆者做了一些思考。

1 四大積分公式本質(zhì)上的統(tǒng)一之美

中國(guó)有句俗語(yǔ)叫“隔皮猜瓜”，意思是看瓜皮的品相即可判斷瓜瓤。但實(shí)際上想透過(guò)現(xiàn)象窺探事物的本質(zhì)，并不是一件容易的事，然而在數(shù)學(xué)上卻能夠做到這一點(diǎn)。四大積分公式實(shí)際上就是揭示了由表及里、透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的科學(xué)內(nèi)涵。由此引入Newton-Leibniz（N-L）公式：

這里為的一個(gè)原函數(shù)，于是該公式也可以寫(xiě)成下面的形式：

從上面的形式很容易看出，N-L公式表明：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的定積分可以用該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)——也就是區(qū)間邊界上的函數(shù)值表示出來(lái)。

進(jìn)而，將這個(gè)公式推廣到二維平面：被積函數(shù)由推廣為，積分由推廣為，結(jié)果如何呢？

首先考慮為單聯(lián)通凸區(qū)域的情形，如圖1所示。

根據(jù)二重積分的計(jì)算方法，，于是，由N-L公式并結(jié)合第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法得到 。

其中為區(qū)域的正向邊界。

同樣的方法得到，兩個(gè)結(jié)果統(tǒng)一到一起，得到，由此，得到單聯(lián)通凸區(qū)域上的Green公式。

同時(shí)，利用二重積分對(duì)區(qū)域的可加性，即可證明Green公式對(duì)平面上由分段光滑的曲線(xiàn)所圍成的封閉區(qū)域都是適用的。

可以看到不管是N-L公式，還是Green公式都表明，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)在某區(qū)域上的積分可以用該函數(shù)在該區(qū)域的邊界上的值來(lái)表示。

繼續(xù)利用以上的方法，將被積函數(shù)推廣為三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，將二重積分推廣為三重積分，得到Gauss公式

。

它同樣將函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的積分用該函數(shù)在區(qū)域邊界上的值表示出來(lái)。

類(lèi)似的，將Green公式推廣到三維空間曲面，得到Stokes公式

，

Stokes公式同樣反映了函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的積分與函數(shù)在曲面邊界上的值的關(guān)系。

四大積分公式的證明在課堂授課中都會(huì)重點(diǎn)講授，不作為本次微課設(shè)計(jì)重點(diǎn)，而將重點(diǎn)放在闡明幾大公式的聯(lián)系和逐步推導(dǎo)過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)員發(fā)現(xiàn)四大積分公式本質(zhì)上的統(tǒng)一，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）在某種區(qū)域上的積分，可以用函數(shù)在該區(qū)域邊界上的值來(lái)表示。

2 四大積分公式形式上的統(tǒng)一之美

簡(jiǎn)單的說(shuō)，四大公式形式上可以統(tǒng)一為。

這里涉及到外微分的相關(guān)知識(shí)，在工科高等數(shù)學(xué)中一般來(lái)說(shuō)是不涉及的，在本次微課制作中，引入外微分的定義及簡(jiǎn)單運(yùn)算法則，開(kāi)拓學(xué)員視野。

以Green公式為例推導(dǎo)如下：

記為微分形式，引入如下外微分運(yùn)算；其中即二元函數(shù)的微分，類(lèi)似；表示與的外積。

關(guān)于外積運(yùn)算，有如下運(yùn)算規(guī)則：；

代入Green公式，即得Green公式的外微分形式。

其他幾個(gè)公式的外微分形式推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似。

四大積分公式，從形式到本質(zhì)，都反映了同一件事，那就是由表及里，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，可見(jiàn)一斑。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 王金利.微課在促進(jìn)高等學(xué)校教育教學(xué)中的應(yīng)用與思考[J].科技資訊，2004（28）：176.endprint