用質心動能定理巧解一道競賽題

周碧華

(上饒中學,江西 上饒 334000)

原題.某根水平固定的長滑竿上有n(n≥3)個質量相同的滑扣(即可以滑動的圓環),每個相鄰的兩個滑扣(極薄)之間有不可伸長的柔軟輕質細線相連,細線長度均為L,滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對滑竿正壓力大小的μ倍.開始時所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓);今給第1個滑扣一個初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動);在滑扣滑行的過程中,前、后滑扣之間的細線拉緊后都以共同的速度向前滑行,但最后一個(即第n個)滑扣固定在滑竿邊緣.已知從第1個滑扣開始的(n-1)個滑扣相互之間都依次拉緊,繼續滑行距離l(0

此題參考答案的解法非常繁雜,在此不再贅述,下面我們先介紹質心動能定理.

慣性系中對質心有

(1)

合外力對質心做的功

(2)

由(2)式得

(3)

(3) 式左右兩邊積分得

W合外力對C=ΔEkC.

(4)

(4) 式就是質心動能定理:合外力對質心所做的功等于質心動能的增加量.我們就用質心動能定理來解此題,設每個滑扣的質量為m,滑扣1的初速度大小為v0,對前面(n-1)個滑扣,設合外力對其質心做的功為W,則有

前(n-1)個滑扣質心動能的增量為

W=a[12+22+32+…+(n-2)2]-

μ(n-1)mgl.

(5)

利用數學公式

12+22+32+…+N2=

(6)

由(5)、(6)式及質心動能定理得

(7)

(8)

我們發現此題用質心動能定理幾乎是“秒解”,為了讓學生更好地掌握質心動能定理,我們再舉一例.

圖2

變式.4個完全相同的小物體(可看作質點),等間距靜止在固定的斜面上,間距為d,斜面的傾角為θ,小物體與斜面間的動摩擦因數為μ,現給最上面的物體一個沿斜面向下的初速度v0,小物體間將發生的碰撞都是完全非彈性的,求v0滿足什么條件,最后上面3個小物體恰好停在最下面的小物體處.(如圖2)

解析:設每個小物體的質量為m,對4個小物體,用質心動能定理有

(9)

由(9)式整理得

(10)

小結:對于多個質點構成的質點系,若過程復雜,比如多次碰撞,如果質點系所受到的合外力已知,且合外力對質心做功可求,我們就可以利用質心動能定理,巧妙地避開質點系內力做功的復雜計算,從而可以快速輕松地求解相關問題,在競賽輔導中有效地開闊學生的視野,激發學生學習物理競賽的興趣,發展學生的思維品質.