簡諧運動位移方程和平均值公式的應(yīng)用

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

對于簡諧運動,偏離平衡位置的位移即振動位移的起點始終在平衡位置,其大小為振動物體偏離平衡位置的距離,方向從平衡位置指向物體所在的位置.振動位移隨時間按正弦規(guī)律變化,若從平衡位置開始計時,則振動位移方程為x=Asinωt;若從振動端點開始計時,則振動位移方程為x=Acosωt.在解題時,需根據(jù)題意來選擇合適的位移方程.

1 簡諧運動位移方程的應(yīng)用

對于某些簡諧運動問題,需利用振動位移方程來解答,但振動位移方程有兩種不同的形式,關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇計時起點是在平衡位置還是在振動端點,由此寫出相應(yīng)的位移方程.

圖1

例1.如圖1所示,一勁度系數(shù)為k的豎直輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上,開始時彈簧處于原長狀態(tài),現(xiàn)將一小球放在彈簧上端,彈簧被壓縮d后平衡,然后按住小球使彈簧再壓縮c,且c>d,從放開小球開始計時,求小球在運動過程中與彈簧接觸的時間.

解析:由于c>d,利用簡諧運動的對稱性可知,小球在向上運動過程中一定會離開彈簧繼續(xù)上升,因此小球在離開彈簧之前做簡諧運動,離開彈簧后做豎直上拋運動.

圖2

例2.如圖2所示,小車質(zhì)量為M,由靜止開始沿著傾斜角為α的光滑斜面從高度為h處滑下,與一個輕彈簧緩沖器相碰而自由振動,然后又沖上斜面.若緩沖彈簧的勁度系數(shù)為k,求: (1) 在緩沖器上彈簧的最大壓縮量是多少?(2) 小車和彈簧在第一次接觸過程中被緩沖的時間為多少?

解析: (1) 設(shè)最大壓縮量為xm,由機械能守恒定律有

解方程可得

設(shè)小車開始壓縮彈簧到達平衡位置時發(fā)生的位移為x0,即彈簧壓縮量為x0,則有受力平衡方程

Mgsinα=kx0,

可知簡諧運動的振幅為

若從小車經(jīng)平衡位置開始計時,則振動位移方程為x=Asinωt,可知振動位移從0增大到x0的過程經(jīng)歷的時間為

所以小車被彈簧緩沖的時間為

對壓縮彈簧的全過程應(yīng)用機械能守恒定律列方程求最大壓縮量非常簡單.在求緩沖時間時,需對兩個運動過程分別求出時間,但要注意小車被緩沖的過程不只是小車壓縮彈簧的過程,而是小車與彈簧相互作用的整個過程.

2 正弦平均值公式的應(yīng)用

例3.有一個豎直彈簧振子,輕彈簧的勁度系數(shù)為k,小球的質(zhì)量為m,若在彈簧處于自然狀態(tài)時突然釋放小球,對于小球從速度為0變到最大的過程,求: (1) 彈簧彈力的沖量; (2) 小球受到合力的沖量.

方向豎直向上.

還有一種方法,合力的大小為

F=mg-f=mgcosωt,

對于彈簧彈力的沖量,關(guān)鍵是推導(dǎo)出彈簧形變量的表達式,而且利用正弦平均值來求彈力的平均值,可避免積分運算過程.要注意物體在簡諧運動過程中偏離平衡位置的位移、對初始位置的位移和彈簧形變量3者之間的關(guān)系.對于合力的沖量,也可利用最大速度公式vm=Aω和動量定理來求解.

圖3

解析: (1) 小球在豎直方向做加速度減小的加速運動,當合力為0時速度達到最大,此時ky1=mg,可知作用力F=ky的平均值為

對小球的運動過程由動能定理有

可得最大速度為

小球在豎直方向的運動相當于豎直彈簧振子從彈簧形變量為0時開始向下運動,即從振動端點向平衡位置運動，可知某時刻的振動位移大小為x=Acosωt,則小球向下運動發(fā)生的位移大小為y=A-Acosωt,相當于彈簧的形變量，因此小球受到平板的作用力的大小為F=ky=mg(1-cosωt),方向向上,那么平板受到小球的作用力方向向下,可知平板受到水平地面的摩擦力大小為

f=μ(Mg+F)=μ(M+m)g-μmgcosωt.

摩擦力的平均值為

對平板的減速運動過程由動量定理有

可得小球第一次達到最大速度時平板的速度為

對于例題1和例題2的解答,利用了位移方程x=Asinωt;對于例題3和例題4的解答,利用了位移方程x=Acosωt，其方向跟運動方向相反.

總之,對有關(guān)簡諧運動競賽題的解答,需靈活應(yīng)用位移方程和正弦平均值公式.簡諧運動的位移方程有兩種不同的形式,在選用方程時,關(guān)鍵是看振動物體的出發(fā)點是在平衡位置還是在振動端點,如果出發(fā)點不在這兩個特殊位置,則需利用運動的可逆性把運動的出發(fā)點選在平衡位置或振動端點,由此寫出振動位移方程.要注意物體振動位移與實際運動發(fā)生的位移有時不相等.直接利用正弦平均值與最大值的關(guān)系解題,可避免微積分的運算過程,從而化繁為簡.